2021鹰潭高三下学期3月第一次模拟考试数学（文）试题含答案

鹰潭市2021届高三第一次模拟考试

数学试题(文科)

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，时间120分钟

第Ⅰ卷

一、单选题：本大题12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

    合题目要求的。

1．已知复数z满足(1+i)z=i，则z的共轭复数在复平面内对应的点所在象限为

A．第一象限        B．第二象限        C．第三象限        D．第四象限

2．已知集合M={x|x2-2021x≤0},,则集合

A．     B．     C．    D．

3．以下说法：

    ①将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变；

    ②设有一个回归方程，变量增加1个单位时，平均增加5个单位

    ③线性回归方程表示的直线必过点

    ④设具有相关关系的两个变量的相关系数为，那么越接近于0，之间的线性相关程度越高；

    其中错误的个数是

A．0     B．1     C．2    D．3

4．已知直线，，则“”是“”的

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件  C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

5．图①是程阳永济桥又名“风雨桥”，因为行人过往能够躲避风雨而得名。已知程阳永济桥上的塔从

  上往下看，其边界构成的曲线可以看作正六边形结构，如图②所示，且各层的六边形的边长均为

  整数，从内往外依次成等差数列，若这四层六边形的周

  长之和为156，且图②中阴影部分的面积为，则

  最外层六边形的周长为

  A．30       B．42     C．48      D．54

6．袋子中有四张卡片，分别写有“学、习、强、国”

   四个字，有放回地从中任取一张卡片，将三次抽

   取后“学”“习”两个字都取到记为事件，用随机       

   模拟的方法估计事件发生的概率，利用电脑随机产生整数0，1，2，3四个随机数，分别代表“学、

   习、强、国”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取卡片三次的结果，经随机模拟产生了以

   下18组随机数,由此可以估计事件发生的概率为

   A．    B．    C．   D．

7．如图1，直线EF将矩形ABCD分为两个直角梯形ABFE和CDEF，

   将梯形CDEF沿边EF翻折，如图2，在翻折过程中（平面ABFE

   和平面CDEF不重合），下列说法正确的是

   A．在翻折过程中，恒有直线AD||平面BCF

   B．存在某一位置，使得CD||平面ABFE

   C．存在某一位置，使得BF||CD

   D．存在某一位置，使得DE⊥平面ABFE

8．已知是圆上任意一点，若是定

   值，则实数的取值范围是

   A．    B．   C．  D．

9．过点的直线与抛物线交于A、B两点，，则△ABC面积的最小值为

   A．  B．              C．           D．2

10．下图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是

A．3     B．4     C．5   D．6

11．已知四棱锥P-ABCD的顶点都在球O的球面上，底面ABCD是矩形，AB=2AD=4，平面PAD

    ⊥底面ABCD，△PAD为等边三角形，则球面O的表面积为

A．     B．     C．    D．

12．已知曲线在点处的切线与直线垂直，若是函数  

    的两个零点，则

A．      B．      C．    D．

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分

13．已知,则________

14．已知{an}、{bn}均为等比数列，其前n项和分别为Sn,Tn，若对任意的，总有， 

    则_____．

15．已知向量，且，若,其中、且，则的

    最小值为____.

16．已知，是双曲线的左，右焦点，点在双曲线的右支上，如果

    ，则双曲线经过一、三象限的渐近线的斜率的取值范围是__________．

三、解答题

17．（本小题满分12分）已知函数的最小正周期为.

    （1）求f(x)的单调递增区间；

（2）若a,b,c分别为△ABC的三内角A,B,C的对边，角A是锐角，f(A)=0,a=1,b+c=2,，求△ABC

    的面积.

18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，AD||BC，BC⊥平面PAB，   

     PA=PB=AB=BC=2AD=2，点E为线段PB的中点.

    （1）求证：平面DAE⊥平面PBC；

    （2）求三棱锥D-ACE的体积.

19．（本小题满分12分）2019年12月份至今，新冠肺炎的爆发引起全球关注．新冠肺炎的感染病原

   体为新型冠状病毒，其传染性强，可通过呼吸道飞沫进行传播，传染后容易引起发热、干咳、乏

   力、呼吸困难等表现新冠肺炎具有一定的潜伏期，为研究潜伏期与患者年龄的关系，一研究团队

   统计了某地区200名患者的相关信息，

   得到如下列联表：

  （1）根据列联表判断是否有95%的把

       握认为潜伏期与患者的年龄有关？

  （2）佩戴口罩可以有效预防新冠肺炎，  

       N95、R95、P95是三种不同材质的

   口罩，已知某药店现有N95、R05、P95口罩的个数分别为54个，36个，18个，某质检部门按

   分层抽样的方法随机抽取6个进行质量检查，再从这6个口罩中随机抽取2个进行检验结果对比，

   求这2个口罩中至少一个是N95口罩的概率．

   附：，其中   

    ．

20．（本小题满分12分）已知椭圆的两个焦点均在以原点为圆心，短半

    轴长为半径的圆上，且该圆截直线x+y-2=0所得的弦长为.

   （1）求椭圆C的标准方程.

   （2）已知直线y=k(x-1)与椭圆C的两个交点为A、B，点D的坐标为.问：的值

        是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由.

21．（本小题满分12分）已知函数（其中，为自然对数的底数）．

   （1）若函数无极值，求实数的取值范围；

   （2）当时，证明：．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．

22．（本小题满分10分）（选修4-4：极坐标与参数方程）

在平面直角坐标系中，直线过点，倾斜角为，以坐标原点为极点，轴的正半轴

为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是.

    （1）写出直线的参数方程和曲线的直角坐标方程；

    （2）若，设直线与曲线交于两点，求的面积..

23．（本小题满分10分）（选修4-5：不等式选讲）已知函数，其中．

    （1）若，求正实数的取值范围；

    （2）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围．

鹰潭市2021届高三第一次模拟考试数学试题(文科)参考答案

一、选择题

二、填空题

13．2;  14．9;  15．;  16．;

三、解答题

17．（Ⅰ）；（Ⅱ）.

解析：（Ⅰ）

…………2分

∴，从而得到  ∴.………4分

由可得：，

所以的单调递增区间为.………………6分

（Ⅱ）∵，∴，又角是锐角，∴，

∴，即.………………………8分

又，所以，

∴，∴.……………………10分

∴.…………………12分

18．（1）证明见解析；（2）.

（1）由己知，平面，平面，所以；

由，点为线段的中点，所以；

又，平面，平面，所以平面；

又平面，所以平面平面；……6分

（2）因为，平面，平面，所以平面；

所以点到平面的距离等于点到平面的距离，

由己知平面，，所以平面，

由，，所以，……9分

因此，

即三棱锥的体积为.……12分

19．（1）

故没有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关．  

（2）由题意，N95、R95、P95口罩分别抽取的个数分别为3个、2个、1个，

记3个N95口罩为，2个R95口罩为，1个P95口罩为，

抽取的全部结果为：，，，，，，，，，，，，，共15种

至少一个是N95口罩的有，，，，，

，，，，，，，共12种 

所以至少一个是N95口罩的概率为

20．（1）以原点为圆心，短半轴长为半径的圆的方程为.

∵圆过椭圆的两焦点，∴.……1分

（由圆过椭圆的焦点知点，在该圆上，代入圆的方程即得）

∵圆截直线所得的弦长为，

圆心到直线的距离与弦长一半的平方和等于半径的平方，

∴，解得.∴.……3分

∴椭圆的标准方程为.……4分

（2）设，，联立椭圆和直线方程得

消去，得，，……6分

由根与系数的关系得，.

因为，所以，，……8分

∴

.

∴的值为定值.……12分

21．（1）函数无极值， 在上单调递增或单调递减.

即或在时恒成立；

又，令，则；……2分

所以在上单调递减，在上单调递增；，

当时，，即，

当时，显然不成立；所以实数的取值范围是. ……6分

（2）由（1）可知，当时，当时，，即.

欲证 ，只需证即可.……8分

构造函数= （），

则恒成立，故在单调递增，

从而.即，……10分

亦即.得证.……12分

22．(1)由题意可得直线的参数方程为：

， ……2分

将代入上式，可得，

∴曲线的直角坐标方程为．  ……5分

（2）当时，直线的参数方程为代入可得

……7分

……8分

        9分

    .……10分

23．（1）由题可得，所以，

即或，

解得或，故正实数的取值范围为．……5分

（2）由题可得，

因为，所以，当且仅当时取等号，

因为对任意的，恒成立，

所以，故实数的取值范围为．……10分