2021朝阳高三下学期3月普通高等学校招生全国统一模拟（一模）数学试题扫描版含答案

数学参考答案

第I卷（选择题）

一、单项选择题

1．A  2．B  3．C  4．C   5．B  6．B  7．D  8．A

二、多项选择题

9． AD     10．BD    11．ACD     12．ABD

12.【解析】对于A选项，函数的的定义域为，函数的导数 ，

∴时，，函数单调递减，时，，函数单调递增，∴，故A正确；

对于B选项，，∴，

∴ 函数在上单调递减，又∵ ，，

∴ 函数有且只有1个零点，故B正确；

对于C选项，结合A选项可知，不存在负实数，使得恒成立，故C错误；

对于D选项，设，结合A选项可知，可证，D正确.故选：ABD.

第II卷（非选择题）

三、填空题

13.【答案】（答案不唯一）   14.【答案】    15. 【答案】；       16. 【答案】

16【解析】由已知，，，可得， ，

所以，，，因此.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（本小题满分10分）

解：数列是等比数列，数列，，所以，

故数列是公比是等比数列，因此.  …………………………………………2分

方案一：选条件①.

数列是公差是，首项为1的等差数列，因此.  ….………………………4分

则，由解得，. ………………………8分

因此存在，使得对任意的，恒有成立.    ………………………10分

方案二：选条件②

数列是公比是，首项为1的等比数列，因此…..….………………………4分

则，所以由可知，

数列是公比是，首项为的递增等比数列，….……………….……………………8分

因此不存在，使得对任意的，恒有成立.  ….……………………….10分

方案三：选条件③

，所以，…..….………………………4分

所以，即，

，当时，，…..….……………………….…………………………….8分

因此存在，使得对任意的，恒有成立.  …….……………………10分

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答给分.

18.（本小题满分12分）

解：（1）由得.…………2分

由正弦定理得，因为，所以.…………4分

又因为△ABC是锐角三角形， 所以．………………………6分

（2）解法一：因为，，

由余弦定理得，，即.…………………………8分

所以，即． 

所以，当且仅当时，等号成立

因此的最大值是4．…………………………………………………12分

解法二：因为，，

由正弦定理得， .……………………………………………………8分

所以，

当且仅当时，等号成立，

因此的最大值是4．…………………………………………………12分

19. （本小题满分12分）

解：（1）采用3局2胜制，甲获胜有两种可能的比分2：0或2：1，因为每局比赛的结果是独立的，所以

甲、乙比赛，甲获胜的概率为................................4分

甲、丙比赛，甲获胜的概率为.............................................6分

（2）采用5局3胜制，甲获胜有3种可能的比分3：0，3：1或3：2，

因为每局比赛的结果是独立的，所以

甲、乙比赛，甲获胜的概率为

甲、   丙比赛，甲获胜的概率为

...........................................................10分

因为，所以甲、乙比赛，采用5局3胜制对甲有利；

因为，所以甲、丙比赛，无论采用5局3胜制还是采用3局2胜制，甲获胜结果是一样的，这说明比赛局数越多对实力较强者越有利。................................... .....................................................12分

20. （本小题满分12分）

解：（1）分别是的中点，与交于点，

则点是的重心，连接并延长交于点，所以，................................2分

连接，则直线是平面与平面的交线，

因为平面，所以，

所以在中，，

由已知，所以．....................................................................................4分

（2）不妨设，则，所以，

在中，，所以，

由题意在三棱锥中，底面，

所以，．

以点为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，...................................................................6分

则，，，，，

当时，由（1）可知，在中，，，

所以，

，..........................................................................................8分

设平面的法向量为，则，即，

取

设平面的法向量为，则，即，

取.......................................................................................................................................10分

设二面角的大小为，由题意可知，为钝角，

所以.............................................................................12分

21.（本小题满分12分）

解：（1）设双曲线的焦距为，则

不妨设双曲线的两条渐近线方程为，，

则由题意得，

即

又因为，所以，即

由，可得，

所以双曲线的方程为；................................4分

（2）由（1）可得双曲线的两条渐近线方程为，，

由于直线与双曲线右支相切，切点为

当时，则直线的斜率不存在，

此时分别交两条渐近线，于、，面积为...............................6分

当时，则直线的斜率存在，

设直线的方程为，

则消得，由题意可知

由，可得................................8分

设与轴交于一点，，

，

由，解得

由，解得，.............................................................10分

因为，所以

.

综上，面积为定值，该定值为..............................................................12分

22.（本小题满分12分）

解：（1），则，

已知函数在点处的切线方程为，

所以.....................................................................................................................3分

下面证明对恒成立.

当，

当时，可证明（证明略），

因此，欲证，只需证明，即证明.

因为成立，所以对恒成立................................6分

（2）由题意可知，，

当单调递增，

故在上存在唯一零点.

当时，设

在上单调递增

又

故存在唯一，使得即

当单调递减

当时，， 单调递增..... .............................................................10分

又

故存在唯一的，使单调递增

单调递减

而故在上没有零点

综上，在上只有一个零点................... .............................................................12分