2021北京平谷区高三下学期3月质量监控（零模）数学试卷含答案

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平谷区2020-2021学年度第二学期质量监控高三数学试卷参考答案一.选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.题号12345678910答案ABCBACBDAD二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共25分. 注：第15题第一空3分,第二空2分；第15题全部选对得5分，不选或有错选得分，其它得3分。11. ；     12.2；    13.-1；0.   14. 中的一个值； 15.  ②; ③ . 三、解答题：（本大题共6小题，共80分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．16.(本小题满分13分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，为正三角形，且侧面PAB⊥底面ABCD， .（I）求证：PB // 平面ACM；（II）求二面角的大小（Ⅰ）证明：连接,与交于，在中，因为 ，分别为，的中点，所以 .………… 4分因为 平面，平面，所以 平面. ………… 6分                 (Ⅲ) 因为ABCD是正方形，为正三角形，E是AB的中点，所以PE⊥AB .又因为面PAB⊥底面ABCD，所以平面ABCD…………8分过作平行于与交于.以为原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，…………9分则，，，，． ………10分所以，，设平面的法向量为，则，,令．则得．…………11分因为PE⊥平面ABCD，所以平面ABCD的法向量，所以．………… 12分所以二面角的大小为………… 13分17. (本小题满分13分)在锐角△中，角的对边分别为，且．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）再从下面条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：△的面积．① ②，，解（Ⅰ）因为，由正弦定理…………. 5分所以…………. 7分所以…………. 8分（Ⅱ）解法一：因为 根据余弦定理得 ，        ………………9分化简为 ，解得 ．             ………………11分所以 △的面积．                  ………………13分解法二：因为 ，， 根据正弦定理得 ，                   ……………7分所以 ．                               ………………8分因为 ，                   ………………9分所以 ，               ………………11分所以 △的面积．                  ………………13分18.  (本小题满分14分)随着人民生活水平的提高，人们对牛奶需求越来越大，品质要求越来越高，某牛奶企业针对生产的鲜奶和和酸奶，在一地区进行了质量满意度调查，现从中随机抽取500人次作为样本，得到下表（单位：人次）：满意度老年人中年人青年人酸奶鲜奶酸奶鲜奶酸奶鲜奶满意100120120100150120不满意503030505080  (Ⅰ)从样本中任取1个人，求这个人恰好对生产的酸奶满意的概率；(Ⅱ)从该地区的老年人中抽取2人，青年人中随机选取1人，估计这三人中恰有2人对生产的鲜奶质量满意的概率；(Ⅲ) 依据表中三个年龄段的数据，哪部分人对鲜奶的满意度提升0.1，使得整体对鲜奶的满意度提升最大？ （直接写结果）解：(Ⅰ)设这个人恰好对生产的酸奶满意人数事件为A,总人次为500人,共抽取了100+120+150=370人次对酸奶满意,所以.…………5分(Ⅱ)由频率估计总体，由已知抽取老年人满意度的概率为,抽取青年人满意度的概率为,抽取这三人中恰有2人对生产的鲜奶质量满意的概率，，所以这三人中恰有2人对生产的鲜奶质量满意的概率为.…………11分(Ⅲ)青年人 …………14分  19．(本小题满分15分)                                    已知椭圆的离心率为，并且经过点（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点的直线与轴交于点，与椭圆的另一个交点为，点关于轴的对称点为，直线交轴于，求证：为定值。解：（Ⅰ）由已知   解得   所以椭圆 ：.…………5分（Ⅱ）证明：由已知斜率存在 以下给出证明：由题意，设直线的方程为,,，则. ………….7分由 得 ，                       ……………… 9分所以 ， ，.                所以即…………11分
 直线的方程为令得所以令由得所以…………13分所以=…………15分法二：设，则…………3分则直线的方程为…………5分令所以同理…………9分所以=…………. 12分因为所以所以=…………. 15分20(本小题满分15分)已知函数 .（1）当时，求函数的单调区间； （3）当时，过点可作几条直线与曲线相切？请说明理由．（Ⅰ）因为当时,，     由,令,解得，………… 3分则及的情况如下：00极大值所以函数的递减区间为;递增区间为.       …………7分（Ⅱ）因为当时,，所以………… 9分设切点为,则切线方程为:,又因为切线过, 所以   所以 ,化简得,…………11分令,所以,则及的情况如下：0+00+极大值极小值1所以函数的递减区间为;递增区间为,.,所以在有唯一一个零点, …………. 13分所以方程有唯一一个解.所以过只能作一条曲线的切线. …………15分21(本小题满分15分)已知数列具有性质：对任意，与两数中至少有一个是该数列中的一项,为数列的前项和.（Ⅰ）分别判断数列与数列是否具有性质；（Ⅱ）证明：，且；（Ⅲ）证明：当时，成等差数列. （Ⅰ）因为，，所以数列不具有性质；因为；；；；；，六组数中，至少有一个属于，所以数列具有性质。…………5分（Ⅱ）∵数列具有性质，∴与中至少有一个属于A，∵，，故，∴，∴。由A具有性质可知.∴，∴           ；从而，∴，∴…………10分（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知，∴,  ,∴  ,∴,,,∴数列是以0为首项，共差为的等差数列。   …………15分