2021绵阳东辰国际学校高三第五次月考数学（文）试卷含答案

数学试卷    文科

一、选择题：本大题共12小题,每小题5分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1．复数的虚部是（    ）

【详解】由复数，所以复数的虚部为.故选：C

2．设集合，，则（    ）

【详解】由，得或，所以，由，得，所以所以.故选：A

3．已知数列为等差数列，为其前 项和，，则（   ）

【答案】D【解析】由等差数列的性质可得，.

4. 从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是               (　　)

A．“至少有1个白球”和“都是红球”

B．“至少有1个白球”和“至多有1个红球”

C．“恰有1个白球”和“恰有2个白球”

D．“至多有1个白球”和“都是红球”

解析：该试验有三种结果：“恰有1个白球”、“恰有2个白球”、“没有白球”，故“恰有1个白球”和“恰有2个白球”是互斥事件且不是对立事件．

答案：C

5.已知命题“”是“”的充要条件；，，则（    ）

为真命题 为真命题

为真命题 为假命题

【答案】B【解析】由函数是R上的增函数，知命题p是真命题．对于命题q，当，即时，；当，即时，，由，得，无解，因此命题q是假命题．所以为假命题，A错误；为真命题，B正确；为假命题，C错误；为真命题，D错误。故选B。

6.已知点，直线与椭圆相交于两点，则的周长为（    ）

【详解】由椭圆，可知，，，直线过定点，所以、是椭圆的焦点，由椭圆定义知：，．的周长为，故选：．

7.函数在上的图象大致为（    ）

【答案】C【解析】由可知函数为奇函数，所以函数图象关于原点对称，排除选项A，B；当时，，，排除选项D，故选C。

8.已知，则（    ）

【详解】设，则，故．故选：B

9.若圆上有且仅有两个点到原点的距离为，则实数的取值范围为（    ）

【详解】由题意可得：已知圆与圆相交，∴，∴，解得且，故选：B.

10. 设，则的最小值是(     )

【解析】Dw_w w. k#s5_u.c o*m当且仅当时等号成立，如取满足条件。

11．如图，已知与相切于两点，则函数有下面三个命题，正确的是（    ） 

①有个极大值点，个极小值点； ②有个极小值点，无极大值点；③有个零点  

①            ②         ①③        ②③

答案：A

12. 已知为坐标原点，分别是双曲线的右顶点和右焦点，以为直径的圆与一条渐近线的交点为（不与原点重合），若的面积满足，则双曲线的离心率是（    ）

【详解】因为以为直径的圆与一条渐近线的交点为P（不与原点重合），所以为直角三角形；设，在中，，，，因为，所以，又，所以，两边平方得，可化为，解得.故选: C.

二、选择题：本大题共4小题,每小题5分，共20分.

13．如图的矩形长为5、宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，则我们可以估计出阴影部分的面积为        

解析：利用几何概型的概率计算公式，得阴影部分的面积约为×(5×2)＝.

14．已知向量，满足，其中是单位向量，则在方向上的投影______．

【详解】是单位向量，∴，∵，，化简得，即，

∴在方向上的投影是．故答案为：.

15.已知椭圆的左右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，若的最大值为，则

答案：

16．若函数有唯一零点，则．

答案：

三、解答题：本大题共5小题,共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）

如图是年月日到月日，某地区甲流疫情新增数据的走势图.

⑴从这天中任选天，求新增确诊和新增疑似的人数都超过的概率；

⑵从新增确诊的人数超过的日期中任选两天，求选取的两天中恰有一天新增确诊人数超过140的概率。

【详解】（1）由图知，在统计出的20天中，新增确诊和新增疑似人数超过100人的有3天，

设事件为“从这20天中任取1天，新增确诊和新增疑似的人数都超过100”，则.

（2）由图知，新增确诊的日期中人数超过100的有6天中，有2天人数超过140，设选取的两天中恰有一天新增确诊人数超过140为事件B.

记表示人数超过140的两天，表示其余4天，则任选两天有以下

共15种情况，其中恰有一天新增确诊人数超过140有 8种情况，

故事件的概率

18．（本小题满分12分）

在中，角、、所对边为、、，．

⑴求角的大小；

⑵的面积为，外接圆半径为，试判断的形状．

【解析】（1）由已知，，

∵，∴

∵∴

（2）∵,∴

∵∴

∵∴

∵∴∴∴

∴为等边三角形

19.已知数列的前项和为，且、、成等差数列，

⑴证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；

⑵记，若数列中去掉数列的项后余下的项按原顺序组成数列，求的值.

【解析】⑴证明：因为n，，成等差数列，所以，①所以.②

①－②，得，所以.又当时，，所以，所以，故数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以，即.

（2）根据（1）求解知，，，所以，

所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列.

又因为，，，，，，，，

，，，

所以

.

20.在平面直角坐标系中，已知，动点满足

⑴求动点的轨迹的方程；

⑵过点的直线与交于两点，记直线的斜率分别为，求证：为定值.

【解析】⑴设，则由知化简得：，即动点的轨迹方程为；

⑵设过点的直线为： ，由得，

，将代入得

故为定值

21．已知函数，．

⑴若函数与的图像在点处有相同的切线，求的值；

⑵当时，恒成立，求整数的最大值；

⑶证明：．

⑶由，令，

即，即

由此可知，当时，，

当时，，

当时，，

……

当时，．

综上：

．

即．

请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.

22．已知在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

⑴求曲线的普通方程以及曲线的直角坐标方程；

⑵若曲线、交于、两点，，求的值．

【详解】⑴曲线的参数方程为为参数）．转换为．

所以①，②，      ②①得：．

曲线的极坐标方程为．根据，转换为直角坐标方程为．

⑵点在直线上，转换为参数方程为为参数），

代入，得到和为点和对应的参数），

所以，，所以．

23．已知函数，其中．

⑴当时，求不等式的解集；

⑵若函数的图象与，轴围成的三角形面积大于，求实数的取值范围．

【详解】（1）当时，，

当时，由得，，解得；

当时，无解；

当时，得，，解得．

的解集为或．

（2）记，则，

所以，即为，，

解得．即的取值范围为