2020【KS5U解析】济南高二下学期末考试数学试题含解析

济南市2020年7月高二年级学情检测数学试题

一、单项选择题

1. 复数（是虚数单位），则的共轭复数（ ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【详解】试题分析：，则.

故选：A．

考点：复数的运算．

2. 展开式中的常数项为（    ）

A. 120 B. 70 C. 20 D. 1

【答案】C

【解析】

【分析】

首项写出展开式的通项，再令的指数为0，从而计算可得；

【详解】解：二项式展开式的通项为，

令，解得，所以.

故选：C.

【点睛】本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

3. 正方体中，（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

利用及向量加法法则计算．

【详解】∵是正方体，

∴．

故选：D．

【点睛】本题考查空间向量加法法则，属于基础题．

4. 已知某种动物由出生算起活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4，则现为20岁的这种动物活到25岁的概率是（    ）

A. 0.6 B. 0.5 C. 0.4 D. 0.32

【答案】B

【解析】

【分析】

由条件概率公式计算．

【详解】设事件“某种动物由出生算起活到20岁”，事件“某种动物由出生算起活到25岁”，

则，显然，即，

∴．

故选：B．

【点睛】本题考查条件概率，掌握条件概率计算公式是解题关键．

5. 曲线在点处的切线方程为（    ）

A  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

由可求得导函数及对应的函数值，进而可求，即可得处的切线方程

详解】由原函数知：且

∴，则在点处的切线方程为

故选：C

【点睛】本题考查了导数的几何意义，根据导数的几何意义求函数上某点处的切线方程

6. 若随机变量，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据二项分布的方差，结合方差的性质，即可容易求得结果.

【详解】因为，故可得，

故.

故选：.

【点睛】本题考查二项分布的方差求解，涉及方差的性质，属综合简单题.

7. 若对任意的，恒成立，则实数a的最小值是（    ）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

【答案】A

【解析】

【分析】

参数分离可得，构造函数，利用导数求出的最大值即可.

【详解】对任意的，恒成立，

在恒成立，

设，

，

令，解得，

当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

，即的最小值为2.

故选：A.

【点睛】本题考查不等式的恒成立问题，分离参数，构造函数，利用导数求函数最值是解决问题的关键.

8. 《山东省高考改革试点方案》规定：2020年高考总成绩由语文、数学、外语三门统考科目和思想政治、历史、地理、物理、化学、生物六门选考科目组成，将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A、，B、、C、、D、E共8个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%，7%，16%，24%，24%、16%、7%、3%，选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到，，、、、、、、八个分数区间，得到考生的等级成绩，如果山东省某次高考模拟考试物理科目的原始成绩～，那么D等级的原始分最高大约为（    ）

附：①若～，，则Y～；②当Y～时，.

A. 23 B. 29 C. 36 D. 43

【答案】B

【解析】

【分析】

由于原始分与对应等级分的分布情况是相同的，由等级分40即有原始分，结合原始分满足～的正态分布即可得均值和标准差，而且知，即有求解即可

【详解】由题意知：～则有，

设D等级的原始分最高大约为x，对应的等级分为40 ，而等级分40

∴有原始分

而，由对称性知

∴有，即

故选：B

【点睛】本题考查了正态分布的应用，根据两个有相同分布情况的数据集概率相等，由已知数据集上某点上的概率找到另一个数据集上有相等概率的点，即可找到等量关系，进而求点的位置。注意正态分布的对称性应用

二、多项选择题

9. 已知复数，其中是虚数单位，则下列结论正确的是（    ）

A.  B. 的虚部为

C.  D. 在复平面内对应的点在第四象限

【答案】AB

【解析】

【分析】

求得、的虚部、、对应点所在的象限，由此判断正确选项.

【详解】依题意，所以A选项正确；

，虚部，所以B选项正确；

，所以C选项错误；

，对应点为，在第三象限，故D选项错误.

故选：AB

【点睛】本小题主要考查复数的概念和运算，考查复数对应点所在象限，属于基础题.

10. 在一次恶劣气候的飞行航程中，调查男女乘客在机上晕机的情况，如下表所示：

则下列说法正确的是（    ）

附：参考公式： ，其中.

独立性检验临界值表

A.

B.

C. 有的把握认为，在恶劣气候飞行中，晕机与否跟男女性别有关

D. 没有理由认为，在恶劣气候飞行中，晕机与否跟男女性别有关

【答案】ABD

【解析】

【分析】

由列联表数据关系求出各参数值即可确定A得正误，根据的参考公式求值，由结合临界值判定表知“没有理由认为，在恶劣气候飞行中，晕机与否跟男女性别有关” ，由此可确定B、C、D的正误

【详解】由列联表数据，知

，得

∴，即A正确

∴< 2.706，即B正确

且没有理由认为，在恶劣气候飞行中，晕机与否跟男女性别有关；即D正确

故选：ABD

【点睛】本题考查了独立性检验的基本思想，求列联表中参数值以及的观测值，进而判断选项的正误

11. 如图，棱长为的正方体中，为线段上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（    ）

A. 直线与所成的角可能是

B. 平面平面

C. 三棱锥的体积为定值

D. 平面截正方体所得的截面可能是直角三角形

【答案】BC

【解析】

【分析】

对于A，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求出直线D1P与AC所成的角为；对于B，由A1D1AA1，A1D1AB，得A1D1平面A1AP，从而平面D1A1P平面A1AP；对于C，三棱锥D1﹣CDP的体积为定值；对于D，平面APD1截正方体所得的截面不可能是直角三角形．

【详解】对于A，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，

，设

∴直线D1P与AC所成的角为，故A错误；

对于B，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1D1AA1，A1D1AB，

∵AA1AB＝A，∴A1D1平面A1AP，

∵A1D1平面D1A1P，∴平面D1A1P平面A1AP，故B正确；

对于C，，P到平面CDD1的距离BC＝1，

∴三棱锥D1﹣CDP的体积：

为定值，故C正确；

对于D，平面APD1截正方体所得的截面不可能是直角三角形，故D错误；

故选：BC．

【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

12. 已知函数，则下列结论正确的是（    ）

A. 存在，使得

B. 时，点是函数图象的对称中心

C. 时，在上存在减区间

D. 时，若有且仅有两个零点，，且，则

【答案】ACD

【解析】

【分析】

由零点存在定理判断A，由函数的对称性判断B，利用导函数判断C，由导函数确定极值点，得单调性，确定极大值点也是零点，结合解高次不等式穿根法的思想可利用零点得出函数的解析式，与已知解析式比较可判断D．

【详解】，不论为何值，当充分大时，

一定有，那么在上一定有零点．A正确；

时，，

因此函数图象不关于对称，B错；

，当时，，

必有两不等实根，在上，

，即递减，C正确；

，设的两根为（），

，∴，在和上递增，

在上递减，所以极大值点，是极小值点，

若有且仅有两个零点，，且，

又，∴，，，

根据解高次不等式的穿根法思想得，

，

∴，即．D正确．

故选：ACD．

【点睛】本题考查命题的真假判断，考查知识点较多，零点存在定理，函数图象的对称性，导数与单调性、零点的关系．考查了学生分析解决问题的能力，逻辑推理能力，属于中档题．

三、填空题

13. 已知向量，，且，则的值为______.

【答案】

【解析】

【分析】

根据空间向量平行的坐标计算公式，即可容易求得结果.

【详解】因为向量，，且，

故可得，解得.

故答案为：.

【点睛】本题考查由空间向量共线求参数值，属简单题.

14. 某老师安排甲、乙、丙、丁4名同学从周一至周五值班，每天安排1人，每人至少1天，若甲连续两天值班，则不同的安排方法种数为______.（请用数字作答）

【答案】24

【解析】

【分析】

首先在周一到周五任选连续的两天安排甲值班，即有种方式，其它三天安排乙、丙、丁值班，有种方式，由分步计数原理，即有总方法有种，即可求得所有安排方法数

【详解】从周一至周五值班，甲连续两天值班，乙、丙、丁每人值班一天，可知

1、周一到周五任选连续的两天安排给甲值班，则有：种安排方法

2、甲值班两天除外，其它三天安排乙、丙、丁值班，则有：种安排方法

以上两步是分步计数方法：故总的不同的安排方法为 = 24种

故答案为：24

【点睛】本题考查了排列组合，应用分步计数原理求总计数，注意其中“对甲连续两天的值班安排”应用了捆绑法

15. 如图，正三棱柱的底面边长为，侧棱长为，则与面所成的角为______.

【答案】

【解析】

【分析】

取的中点，连接、，证明出平面，可得出直线与面所成的角为，计算出和，进而可求得.

【详解】如下图所示，取的中点，连接、，

为等边三角形，为的中点，则，

平面，平面，，

又，平面，直线与面所成的角为，

易得，，

在中，，为锐角，则.

因此，直线与平面所成的角为.

故答案为：.

【点睛】本题考查直线与平面所成的角的计算，考查计算能力，属于中等题.

16. 甲乙两名同学进行羽毛球比赛，采用三局两胜制，甲每局获胜的概率为，甲赢得比赛的概率为.若，则的取值范围是______；当取得最大值时，的值为______.

【答案】    (1).     (2).

【解析】

【分析】

用表示出，结合概率的知识以及，求得的取值范围，求得的表达式，利用导数求得最大时的值.

【详解】依题意可知.

所以，，，解得.

令，

，令，解得（负根舍去）.

所以在区间，，递增；在区间，，递减，所以当时，也即取得最大值.

故答案为：；

【点睛】本小题主要考查相互独立事件概率计算，考查利用导数研究最值，属于中档题.

四、解答题

17. 已知展开式中只有第5项的二项式系数最大.

（1）求展开式中含的项；

（2）设，求的值.

【答案】（1）；（2）0.

【解析】

【分析】

（1）根据二项式系数的最大项求得，再利用二项式展开式的通项公式即可求得的项；

（2）利用赋值法，即可容易求得结果.

【详解】（1）因为展开式中只有第5项的二项式系数最大，所以

，，

所以当时，.

（2）令，得，

又，

所以

【点睛】本题考查二项式系数的单调性，以及用二项式展开式通项公式求指定项系数，以及用赋值法求系数和，属综合基础题.

18. 已知函数.

（1）当时，求的单调区间；

（2）求的极值.

【答案】（1）的单调减区间是，单调增区间是；（2）当时，无极值；当时，有极小值，无极大值.

【解析】

【分析】

（1）求导，令导数大于0得增区间，导数小于0得减区间（2）先求导函数，分类讨论函数的单调性，根据单调性得极值即可.

【详解】解：（1）当时，，所以，

令，得，

令，得，

所以的单调减区间是，单调增区间是.

（2）

若，则，所以在递增，所以无极值，

若，则在单调递减，上单调递增.

所以当时，有极小值，无极大值.

综上，当时，无极值；当时，有极小值-，无极大值.

【点睛】本题考查了求函数的单调区间，函数极值，意在考查学生对于函数性质的综合应用，中档题.

19. 某学校组织一次自然科学夏令营活动，有10名同学参加，其中有6名男生、4名女生，为了活动的需要，要从这10名同学中随机抽取3名同学去采集自然标本.

（1）已知10名同学中有2名共青团员，求抽取的3人中至少有1名共青团员的概率；

（2）设表示抽取的3名同学中女生的人数，求的分布列及数学期望.

【答案】（1）；（2）分布列见解析，.

【解析】

【分析】

（1）根据对立事件的概率公式进行求解即可；

（2）根据概率的计算公式，结合离散型随机变量分布列、数学期望公式进行求解即可.

【详解】（1）记事件“抽取的3人中至少有1名共青团员”，

则

所以.

所以抽取的3人中至少有1名共青团员的概率是

（2）由题意知，可能的取值为0，1，2，3.

，，

，.

所以随机变量的分布列为

.

【点睛】本题考查了对立事件的概率公式的应用，考查了离散型随机变量分布列和数学期望公式的应用，考查了数学运算能力.

20. 如图，三棱锥中，，，，平面，于点

（1）求证：平面；

（2）求二面角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

【分析】

（1）建立空间直角坐标系，利用、，证得平面.

（2）通过平面和平面的法向量，计算出二面角的余弦值.

【详解】（1）取中点，连接，由于，则，又由面知，面面，所以面.取中点，连接，则，又因为面，所以，所以，所以，，两两垂直.

以为坐标原点建系如图.

由题意知，，，，

则，，，

所以，，即；

，即；

又，面，，

所以平面

（2）由题意知，，，，

在中，因为，，，所以，

又因为，所以，所以，

故，

设面的一个法向量，

则，即，取，则

又易知面的一个法向量，

则，

由图知二面角为钝角，

所以二面角的余弦值为.

【点睛】本小题主要考查线面垂直的证明，考查二面角的求法，属于中档题.

21. 自新型冠状病毒肺炎（COVID—19）疫情爆发以来，国家采取了强有力的措施进行防控，并及时通报各项数据以便公众了解情况，做好防护.以下是济南市2020年1月24月~31日的累计确诊人数统计表与对应的散点图.将1月24日作为第1天，连续8天的时间作为变量，每天累计确诊人数作为变量.

（1）由散点图知，变量与具有较强的线性相关关系，求关于的回归直线方程；

（2）经过医学研究，发现新型冠状病毒极易传染，如果每一个健康个体被感染的概率为0.3，在一次9人的家庭聚餐中，有一位感染者参加了聚餐，记其余8人中被感染的人数为，求取得最大值时的值.

参考公式及数据：，；，，，

【答案】（1）；（2）2.

【解析】

【分析】

（1）根据所给公式计算回归直线方程中的系数，得回归方程；

（2）由题意，得出，然后由求得，即得结论．

【详解】（1），

，

所以（或）

（2）由题，所以，（）

因为时取最大值，

所以，

，

又因为，所以时取得最大值.

【点睛】本题考查线性回归直线方程，考查二项分布，求二项分布中概率的最大值，可通过解不等式组的方法求解：即由确定概率最大值时的值．

22. 已知函数，.

（1）若，求的最值；

（2）若存在，使得，求实数的取值范围.

【答案】（1），；（2）.

【解析】

【分析】

（1）求得的定义域和导数，利用导数研究在区间上的最大值和最小值.

（2）将问题转化为，.对分成，两种情况进行分类讨论，结合导数进行分析，由此求得的取值范围.

【详解】（1）的定义域为，，

令，得，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增

又，.

所以，

（2）

由题意知：只需，，

由（1）知在单调递减，单调递增，

①若，则在单减，则只需，

即，

记，，

因为，所以在减，增，

而，，所以在恒成立，

又因为，所以对任意恒成立.

②若，，只需，

即，解得，

综上，.

【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的最值，考查利用导数研究不等式成立的存在性问题，属于中档题.