2021松原乾安七中高二下学期第七次质量检测数学（理）试卷含答案

乾安七中2020-2021学年度第七次质量检测

高二数学（理）试题

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分）

1. 复数z满足，则复数z在复平面内的对应点位于（　　）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

2. 用反证法证明命题“若,则,全为0（）”其反设正确的是（    ）

A.,至少有一个为0 B.,至少有一个不为0

C.,全不为0 D.,中只有一个为0

3. 现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是（　　）

A.  B.  C.  D.

4. 已知随机变量ξ的分布列为，则实数m＝（    ）

A.  B.  C.  D.

5. 已知随机变量，若，则实数n的值为（    ）

A. 4 B. 6 C. 8 D. 24

6. 设，则展开式中的常数项为（　　）

A. 560 B. 1120 C. 2240 D. 4480

7. 某电视台娱乐节目中，需要在编号分别为、、、、的五个礼品盒中，装四个不同礼品，恰有两个礼品盒是空盒．不同的装法有（    ）

A. 120种 B. 240种 C. 300种 D. 360种

8. 已知随机变量服从正态分布, 且, 则

A.  B.  C.  D.

9. 已知(1＋ax)·(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝（    ）

A. －4             B. －3               C. －2            D. －1

10. 如图，在边长为1的正方形内任取一点，用表示事件“点恰好取自曲线与直线及轴所围成的曲边梯形内”，表示事件“点恰好取自阴影部分内”，则（    ）

A.  B.  C.  D.

             （第10题图）                       （第11题图）

11. 如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE.则直线AM与平面BCE所成角余弦值大小为（   ）

A.  B.  C.              D.

12. 已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）

13. 若直线l的方向向量为=(1,-2,3),平面α的法向量为=(2,x,0),若l∥α,则x的值等于______ ．

14. 用数学归纳法证：（时）第二步证明中从“到”左边增加的项数是______ ．

15. 甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是，假设各局比赛结果相互独立．则甲队获胜的概率为______ ．

16. 2021年3月，为促进疫情后复工复产期间安全生产，乾安县某医院派出甲、乙、丙、丁4名医生到A，B，C三家企业开展“新冠肺炎”防护排查工作，每名医生到一家企业工作：

①若企业最多派1名医生，则所有不同分派方案共48种

②若每家企业至少分派1名医生，则所有不同分派方案共36种

③若每家企业至少分派1名医生，且医生甲必须到A企业，则所有不同分派方案共12种

④所有不同分派方案共种

以上结论正确的有______ ．

三.解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（10分） 已知展开式中的第三项的系数为，求：

（1）各项系数和；

（2）二项式系数最大的项．

18.（12分）老师要从7道数学题中随机抽取3道考查学生,规定至少能做出2道即合格,某同学只会做其中的5道题.

（1）求该同学合格的概率;

（2）用X表示抽到的3道题中会做的题目数量,求X分布列及其期望.

19.（12分） 已知在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD＝2，AB＝1，PA⊥平面ABCD，E、F分别是线段AB、BC的中点．

(1)证明：PF⊥FD；

(2)若PB与平面ABCD所成的角为45°，求二面角A－PD－F的余弦值．

20.（12分）已知函数，其中，且曲线在点处的切线垂直于.

（1）求的值；

（2）求函数的单调区间与极值.

21.（12分）乾安七中为庆祝建党100周年举办了第二届校园艺术节文艺演出，受到了师生的普遍好评.假设男同学认为演出好看的概率为，女同学认为演出好看的概率为.校团委就节目是否好看的问题随机采访了4名学生（其中2男2女）.

（1）求这4名学生中女生认为好看的人数比男生认为好看的人数多的概率；

（2）设表示这4名学生中认为好看的人数，求的分布列与数学期望.

22.（12分）已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）当时，，记函数在上的最大值为，证明：.

乾安七中2020-2021学年度下学期第七次质量检测

高二数学答案（理）

 一、选择题

二、填空题

13、1            14、2k           15、           16、①②③

三、解答题

17.

n=10

(1)1024

(2)T6=252

18.

（1）解: 设“该同学成绩合格”为事件A

（2）解: 可能取的不同值为当时

当时当时

X的分布列为

19.

(1)因为PA⊥平面ABCD，∠BAD＝90°，AB＝1，AD＝2，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0,0)，B(1,0,0)，F(1,1,0)，D(0,2,0)．

不妨令P(0,0，t)，则＝(1,1，－t)，＝(1，－1,0)．

所以·＝1×1＋1×(－1)＋(－t)×0＝0，所以PF⊥FD.

(2)易知AB⊥平面PAD，所以＝(1,0,0)是平面PAD的一个法向量．

又因为PA⊥平面ABCD，所以∠PBA是PB与平面ABCD所成的角，故∠PBA＝45°，所以PA＝1，则平面PFD的一个法向量为n＝，

则cos〈，n〉＝＝＝，

由题图可判断二面角为锐角．故所求二面角A－PD－F的余弦值为.

20.（1）对求导得，

由在点处切线垂直于直线，

知解得；

（2）由（1）知，

则

令，解得或.

因不在的定义域内，故舍去.

当时，故在内为减函数；

当时，故在内为增函数；

由此知函数在时取得极小值.

21.设表示2名女学生中认为好看的人数，表示2名男学生中认为好看的人数，

则，.

（1）设事件表示“这4名学生中女生认为好看的人数比男生认为好看的人数多”，则

,

.

（2）的可能取值为0，1，2，3，4，

，

，

= ，

,

，

,

，

，

∴的分布列为

∴.

22.（1）因为，所以，当时，；当时，，

故的单调递减区间为，单调递增区间为.

（2）当时，，

则，

当时，，令，

则，所以在上单调递增，

因为，，

所以存在，使得，即，即.

故当时，，此时；

当时，，此时.

即在上单调递增，在上单调递减.

则 .

令，，则.

所以在上单调递增，所以，.

故成立.