2021省哈尔滨宾县一中校高二下学期第二次月考数学（理）试卷含答案

宾县一中2019级高二下学期第二次月考

数 学 试 卷（理）

第I卷（选择题）

一、单选题（每题5分，共60分）

1．2021年3月，学校组建了五个精品社团：摄影社，朗诵社，编导社，播音社和舞蹈社，采取校外专业老师授课，校内专职老师管理模式，深受广大同学欢迎．报名当天，邟正直、周俭朴，司尚礼，钟扬善四个同学去填报名表，考虑到时间冲突，决定每人只报一项，请问收上的报名表有多少可能（    ）

A． B． C． D．

2．元宵节是中国的传统节日之一，元宵节主要有赏花灯、吃汤圆、猜灯谜、放烟花等一系列传统民俗活动，北方“滚”元宵，南方“包”汤圆．某超市在元宵节期间出售个品牌的黑芝麻馅汤圆，个品牌的豆沙馅汤圆，个品牌的五仁馅汤圆．若将这种汤圆随机并排摆在货架的同一层上，则同一种馅料的汤圆相邻的概率为（    ）

A． B． C． D．

3．已知随机变量服从正态分布，则（    ）

A．0.16 B．0.34 C．0.66 D．0.84

4．设，随机变量的分布列是

若，则（    ）

A． B．

C． D．

5．函数图像的切线斜率为k，则的最小值为（    ）

A． B． C．1 D．2

6．若，则（  ）

A． B．—80 C． D．—160

7．将《红楼梦》《西游记》《三国演义》《水浒传》《唐诗三百首》《徐志摩诗集》和《戏曲论丛》7本书放在一排，下面结论成立的是（    ）

A．戏曲书放在中间的不同放法有7！种

B．诗集相邻的不同放法有种

C．四大古典名著互不相邻的不同放法有3！种

D．四大古典名著不放在两端的不同放法有种

8．某重点中学计划安排甲､乙等5名骨干教师在3个平台上发布自己录好的视频课件，每个平台至少安排一名教师，每名教师也只能在一个平台上发布视频课件，若甲､乙2名教师不在同一个平台上发布视频课件，则不同的安排方法有（    ）

A．120种 B．114种 C．108种 D．96种

9．已知函数的导函数为，且满足，则（    ）

A． B． C． D．

10．设直线与轴交于点，与曲线交于点，为原点，记线段，及曲线围成的区域为．在内随机取一个点，已知点取在内的概率等于，则图中阴影部分的面积为（    ）

A． B． C． D．

11．若函数在区间内单调递减，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

12．已知函数，函数有5个零点，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

二、填空题（每题5分，共20分）

13．我国传统历法中的“二十四节气”是指导农耕生产的时节体系，也包含了丰富的民俗文化，人们为了方便记忆，编组出如下的节气歌：

春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连，秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒．

若从每句诗歌中各随机取一个字，则恰好取出“春、夏、秋、冬”的概率为______．（用分数作答）

14．若，则___________.

15．设随机变量ξ服从二项分布，则函数f(x)=x2+4x+ξ存在零点的概率是________.

16．已知函数，，若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是______．

第II卷（非选择题）

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三、解答题（共70分）

17．已知的展开式中，前三项的系数成等差数列.

（1）求；

（2）求展开式中的常数项.

18．先后抛掷一枚骰子两次，将出现的点数分别记为.

（1）设向量，，求的概率；

（2）求在点数之和不大于5的条件下，中至少有一个为2的概率.

19．已知函数，.

（1）当时，求的图象在点处的切线；

（2）求函数的单调区间；

20．新高考方案的考试科目简称“”，“3”是指统考科目语数外，“1”指在首选科目“物理、历史”中任选1门，“2”指在再选科目“化学、生物、政治和地理”中任选2门组成每位同学的6门高考科目.假设学生在选科中，选修每门首选科目的机会均等，选择每门再选科目的机会相等.

（1）求某同学选修“物理、化学和生物”的概率；

（2）若选科完毕后的某次“会考”中，甲同学通过首选科目的概率是，通过每门再选科目的概率都是，且各门课程通过与否相互独立.用表示该同学所选的3门课程在这次“会考”中通过的门数，求随机变量的概率分布和数学期望.

21．已知函数，曲线在点处的切线方程为.

（1）求实数、的值；

（2）令，函数的极大值与极小值之差等于，求实数的值.

22．已知函数有最小值M，且.

（1）求的最大值；

（2）当取得最大值时，设，有两个零点为，若，不等式恒成立，求的取值范围.

参考答案

1．C

2．D

3．A

4．B

5．B

6．D

7．B

8．B

9．C

10．B

11．D

12．A

13．

14．

15．

16．

17．（1）；（2）.

【详解】

（1）二项式展开式的第项为，

因为该二项式的展开式中，前三项的系数成等差数列，

所以，即，整理得，解得或，又显然不满足题意，所以；

（2）由（1）得，

令得，

所以展开式中的常数项为.

18．（1）；（2）

【详解】

解：先后抛掷一枚骰子两次，

“将出现的点数分别记为”包含的基本事件有：(1，1)，(1，2)，(1，3)，

(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，…，(6，5)，(6，6)，共36个.

（1）记“向量，，且”为事件，

由得：，

从而事件包含共3个基本事件，

故.

（2）设“点数之和不大于5”为事件，

包含(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，

(2，3)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，共10个基本事件；

设“中至少有一个为2”为事件，

包含(1，2)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，2)，共5个基本事件，

故“在点数之和不大于5的条件下，中至少有一个为2” 的概率：

.

【点睛】

本题考查了古典概型的概率计算公式、条件概率计算公式、列举法求基本事件个数，属于基础题.

19．（Ⅰ）；（Ⅱ）的单调递增区间为，的单调递减区间为；（Ⅲ）在上单调递减，在上单调递增.

【详解】

（Ⅰ）当时，，，所以切点坐标为.

因为，则，

所以切线的斜率为0，切线方程为.

（Ⅱ），，

令，得或.

当时，，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增，

所以的单调递增区间为，的单调递减区间为；

当时，，单调递增，

所以的单调递增区间为；

当时，，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增，

所以的单调递增区间为，的单调递减区间为.

（Ⅲ）当时，，

由（Ⅱ）知，的单调递增区间为，的单调递减区间为.

因为，

令，

当时，取极小值也是最小值，

，

所以，

所以在上单调递减，在上单调递增.

【点睛】

知识点点睛：（1）求切线方程注意是在点处的切线还是过点处的切线；（2）求函数的单调区间，求导之后若为二次函数，讨论的顺序一般是先讨论开口方向，然后再讨论根的大小.

20．（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.

【解析】

【分析】

（Ⅰ）显然各类别中，一共有种组合，而选修物理、化学和生物只有一种可能，于是通过古典概率公式即可得到答案；

（Ⅱ）找出的所有可能取值有0，1，2，3，依次求得概率，从而得到分布列和数学期望.

【详解】

解：（Ⅰ）记“某同学选修物理、化学和生物”为事件，

因为各类别中，学生选修每门课程的机会均等

则，

答：该同学选修物理、化学和生物的概率为.

（Ⅱ）随机变量的所有可能取值有0，1，2，3.

因为，

，

，

，

所以的分布列为

所以数学期望.

【点睛】

本题主要考查分布列和数学期望的相关计算，意在考查学生处理实际问题的能力，对学生的分析能力和计算能力要求较高.

21．（1），；（2）.

【详解】

（1）因为，所以，

因为曲线在点处的切线方程为，

所以，即，解得，，.

（2）因为，所以，

，

当时，，函数无极值，不满足题意，；

当时，函数在、上单调递增，在上单调递减，

则函数的极大值为，极小值为，

因为函数的极大值与极小值之差等于，

所以，解得；

当时，函数在、上单调递增，在上单调递减，

则函数的极大值为，极小值为，

因为函数的极大值与极小值之差等于，

所以，解得，

综上所述，实数的值为.

【点睛】

关键点点睛：本题考查根据曲线的切线方程求参数以及根据极值求参数，考查导函数的应用，曲线在某点处的导函数即在这点处的切线斜率，考查利用导函数求极值，考查计算能力，考查分类讨论思想，是难题.

22．（1）最大值为；（2）.

【详解】

（1）有题意

当时，，在上单增，此时显然不成立；

当时，令，得，此时在上单减，在上单增，

，即，所以.

所以的最大值为.

（2）当取得最大值时，，.

的两个零点为，则，

即，

不等式恒成立等价于.

两式相减得，

带入上式得

令，，，

其中；

①当时，，函数在上单调递增，，满足题意.

②当时，，函数在上单调递减，此时，不满足题意.

综上所述：的取值范围是.

【点睛】

导数作为研究函数的工具，可求得函数的单调性、最值，也可以用来研究不等式恒成立问题.