2021咸阳实验中学高二下学期第三次月考数学（理）试题含答案

2020—2021学年第二学期高二年级第三次月考

数学（理科）试题

注意事项：

1.试卷分第I卷和第Ⅱ卷两部分，请将答案填写在答题卡上，考试结束后只交答题卡；

2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号，填写在试题和答题卡相应位置；

3.本试卷共5页. 满分150分，考试时间120分钟．

第I卷

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.

1．已知复数(是虚数单位)，则（    ）

A．1 B． C． D．

2．，则等于（    ）

A．32 B．0 C．1 D．-1

3．的值是（    ）

A． B． C． D．

4．已知，则“”是“z为纯虚数”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

5．“干支纪年法”是中国历法上使用的纪年方法.甲，乙，丙，丁，戊，己，庚，辛，壬，癸被称为“十天干”，子，丑，寅，卯，辰，巳，午，未，申，酉，戌，亥被称为“十二地支”.“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，其相配顺序为：甲子，乙丑，……，癸酉，甲戌，乙亥，……壬戌，癸亥，甲子，……，周而复始，循环记录，此为干支纪年法.已知2021年是“干支纪年法”中的辛丑年，那么2035年是“干支纪年法”中的（    ）

A．甲寅年 B．乙卯年 C．丙辰年 D．丁巳年

6．已知随机变量，且，则（    ）

A． B．8 C．12 D．24

7．用数学归纳法证：（时）第二步证明中从“k到”左边增加的项数是（   ）

A．项 B．项 C．项 D．项

8．现有橡皮泥制作的底面半径为4，高为3的圆锥一个.若将它重新制作成一个底面半径为，高为的圆柱(橡皮泥没有浪费)，则该圆柱表面积的最小值为（    ）

A． B． C． D．

9．“总把新桃换旧符”（王安石）、“灯前小草写桃符"（陆游），春节是中华民族的传统节日，在宋代人们用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现代人们通过贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿，某商家在春节前开展商品促销活动，顾客凡购物金额满50元，则可以从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件，若有3名顾客都领取一件礼品，则他们三人领取的礼品种类都不相同的概率是（    ）

A． B． C． D．

10．的展开式中，的系数为（    ）

A．120 B．480 C．240 D．320

11．从混有张假钞的张百元钞票中任意抽出张，将其中张放到验钞机上检验发现是假钞，则另张也是假钞的概率为（    ）

A．       B．          C．         D．

12．若函数在区间存在单调递减区间,则的取值范围是

A． B． C． D．

第II卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置.

13．若随机变量服从正态分布, 且, 则_____；

14．将由直线和曲线所围成的平面图形绕轴旋转一周，所得旋转体体积为_____________.

15．已知曲线的切线为，则m+n=__________;

16．已知三棱锥，从、、三点及各棱中点共9个点中任取不共面4点，共有______种不同的取法.（用数字作答）

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．（本小题10分）

（1）请用分析法证明：；

（2）请用反证法证明：设，，则与中至少有一个不小于2．

18．（本小题12分）已知函数．

（1）求函数的单调区间．

（2）若对恒成立，求实数的取值范围.

19．（本小题12分）甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与，且乙投球2次均未命中的概率为.

（Ⅰ）求乙投球的命中率；

（Ⅱ）若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为，求的分布列和数学期望.

20．（本小题12分）为推行“新课堂”教学法,某老师分别用传统教学和“新课堂”两种不同的教学方式在甲、乙两个平行班进行教学实验,为了解教学效果,期中考试后,分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计,作出如图所示的茎叶图,若成绩大于70分为“成绩优良”.

(1)由以上统计数据填写下面2×2列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”?

(2)从甲、乙两班40个样本中,成绩在60分以下(不含60分)的学生中任意选取2人,记ξ为所抽取的2人中来自乙班的人数,求ξ的分布列及数学期望.

附:K2=(n=a+b+c+d),

21．（本小题12分）近年来，共享单车进驻城市，绿色出行引领时尚．某公司计划对未开通共享单车的县城进行车辆投放，为了确定车辆投放量，对过去在其他县城的投放量情况以及年使用人次进行了统计，得到了投放量（单位：千辆）与年使用人次（单位：千次）的数据如下表所示，根据数据绘制投放量与年使用人次的散点图如图所示．

（1）观察散点图，可知两个变量不具有线性相关关系，拟用对数函数模型或指数函数模型对两个变量的关系进行拟合，请问哪个模型更适宜作为投放量与年使用人次的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由），并求出关于的回归方程；

（2）已知每辆单车的购入成本为元，年调度费以及维修等的使用成本为每人次元，按用户每使用一次，收费元计算，若投入辆单车，则几年后可实现盈利？

参考数据：

其中，．

参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．

22．已知函数，.

（1）求函数的单调区间；

（2）若，且，证明：.

          2020—2021学年第二学期高二年级第三次月考

数学（理科）参考答案

1．B   2．D    3．A  4．B    5．B   6．D    7．D    8．B    9．A   10．C

11．C   12．B

13．0.68    14．     15．-2      16．90

17．证明：（1）要证：

只需证：

只需证：

只需证：

只需证：

只需证：，而显然成立，

∴原不等式得证．

（2）假设结论不成立，即与都小于2，则①

而由基本不等式，知：，，当且仅当时等号成立，

∴与①式矛盾，

∴假设不成立，原命题成立．

18．（1）令，解得或，

令，解得：.    

故函数的单调增区间为，单调减区间为. 

（2）由（1）知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，

又，，，

∴，    ∵对恒成立，

∴，即，∴

19．（I）设“甲投球一次命中”为事件，“乙投球一次命中”为事件.

由题意得解得或（舍去），所以乙投球的命中率为.

（II）由题设知（I）知，，，，

可能取值为

故，

，

的分布列为

20.(1)根据茎叶图中的数据作出列联表如表所示：

根据列联表中的数据,得的观测值为,

所以能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”.

(2)样本中成绩在60分以下的学生中甲班有4人,乙班有2人,

所以的所有可能取值为,

则=，, =,

则随机变量的分布列为：

则数学期望.

21．（1）由散点图判断，适宜作为投放量与年使用人次的回归方程类型．

由，两边同时取常用对数得．

设，则．

因为，，，，

所以．

把代入，得，

所以，所以，

则，

故关于的回归方程为．

（2）投入千辆单车，则年使用人次为千人次，

每年的收益为（千元），

总投资千元，

假设需要年开始盈利，则，即，故需要年才能开始盈利．

22（1），，

由得，

当时，；当时，

∴在上单调递增，在上单调递减.

（2）∵，且，

∴由（1）知，不妨设.

要证，只需证明，

而，在上单调递减，

故只需证明.

又，∴只需证明.

令函数，

则

，

当时，，，故，

∴在上单调递增，

故在上，

∴成立，故成立.