2021松原实验高级中学高二下学期期末备考理科数学试题含答案

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吉林省松原市实验高级中学

2020-2021学年度高二下学期期末备考试卷 

理科数学试卷

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷（选择题）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知全集，，则（    ）

A． B． C． D．

2．已知，．为虚数单位，，则（    ）

A．6 B．4 C．2 D．1

3．已知直线，，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充分必要条件  D．既不充分也不必要条件

4．已知函数，则（    ）

A． B． C． D．

5．若，则的值为（    ）

A． B． C． D．

6．已知点是的边的中点，点在边上，且，则向量（    ）

A． B． C． D．

7．函数的大致图象为（    ）

A． B． C． D．

8．设数列的前n项和为，若，则（    ）

A．243 B．244 C．245 D．246

9．为了贯彻落实《中共中央国务院全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的文件精神，某学校结合自身实际，推出了《植物栽培》《手工编织》《实用木工》《实用电工》《烹饪技术》五门校本劳动选修课程，要求每个学生从中任选三门进行学习，学生经考核合格后方能获得该学校荣誉毕业证，则甲､乙两人的选课中仅有一门课程相同的概率为（    ）

A． B． C． D．

10．已知双曲线的一条渐近线被圆截得的线段长等于8，则双曲线C的离心率为（    ）

A． B． C．3 D．

11．与曲线和都相切的直线与直线垂直，

则b的值为（    ）

A． B． C． D．

12．用数学归纳法证明“”时，假设时命题成立，

则当时，左端增加的项为（    ）

A．  B．

C． D．

第Ⅱ卷（非选择题）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．的展开式中的系数_________．

14．如图所示，在四边形中，已知，，，，，__________．

15．已知x，y满足约束条件，则的最大值是_________．

16．四面体的四个顶点都在球O上且，，

则球O的表面积为__________．

三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（12分）已知数列的前项和为，，从条件①、条件②和条件③中选择两个作为已知，并完成解答．

（1）求数列的通项公式；

（2）设等比数列满足，，求数列的前项和．

条件①：；条件②：；条件③：．

18．（12分）2021年2月25日举行的全国脱贫攻坚总结表彰大会上，国家电网共有23名（个）先进个人、先进集体获得表彰．其中，国网西藏电力有限公司农电工作部从习近平总书记手中接过了“全国脱贫攻坚楷模”奖牌．过去8年，在党中央坚强领导下，经过世界规模最大、力度最强的脱贫攻坚战，近1亿人摆脱绝对贫困．长期以来贫困地区的农产品面临“种得出卖不出”“酒香也怕巷子深”的困境．深谙互联网思维的国家电网人，搭平台、建渠道，以一款APP让众多贫困地区的产品销售易如反掌．2020年“6．18”期间，带货主播和直播运营两大岗位高达去年同期的倍．针对这一市场现象，为了加强监管，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系．现从评价系统中选出100次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为，对商品和服务都做出好评的交易为40次，对商品和服务部不满意的交易为5次．

（1）请完成关于商品和服务评价的列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过的前提下，认为商品好评与服务好评有关?

（2）从“对服务不满意”的评价中分层选出10个，再从这10个评价中随机选出6个，记其中“对商品不满意”的个数为，求的分布列及数学期望．

附：，．

19．（12分）如图，四棱锥的底面是平行四边形，，．

（1）证明：平面平面；

（2）若，，试在棱上确定一点，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为．

20．（12分）已知双曲线的其中一个焦点为，一条渐近线方程为．

（1）求双曲线的标准方程；

（2）已知倾斜角为的直线与双曲线交于两点，且线段的中点的纵坐标为4，求直线的方程．

21．（12分）已知函数．

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）若对于任意的都成立，求实数的取值范围．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．

22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】

在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；

（2）已知点，直线与曲线交于两点，求．

23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】

已知函数．

（1）求不等式的解集；

（2）当x∈M时，，求实数a的取值范围．

理 科 数 学 答 案

第Ⅰ卷（选择题）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．【答案】B

【解析】因为全集，，所以，故选B．

2．【答案】A

【解析】由，得，所以，

解得，，

所以，故选A．

3．【答案】C

【解析】当时，，即；

，即，

两直线的斜率相等，所以，即“”是“”的充分条件；

当时，，解得或．

当时，两直线方程不同，符合题意；

当时，，，即，不符合题意，

所以，当时，，即“”是“”的必要条件，

综上所述，“”是“”的充要条件，故选C．

4．【答案】C

【解析】由题意可知，，故选C．

5．【答案】D

【解析】由可得，

所以，故选D．

6．【答案】B

【解析】由，则，

则，故选B．

7．【答案】D

【解析】因为，所以定义域为，关于原点对称，

因为，所以为奇函数，排除A、B；

又因为当时，，排除C，

故选D．

8．【答案】B

【解析】由题得，，

由题得，

所以，，

所以数列是一个以2为首项，以3为公比的等比数列，

所以，

，

所以，故选B．

9．【答案】C

【解析】甲、乙总的选课方法有：种，

甲、乙两人的选课中仅有一门课程相同的选法有：种，

（先选一门相同的课程有种选法，若要保证仅有一门课程相同只需要其中一人从剩余门课程中选取门，另一人选取剩余的门课程即可，故有种选法）

所以概率为，故选C．

10．【答案】D

【解析】双曲线的渐近线方程为，即，

圆，即为，

圆心为，半径为5，

圆心到渐近线的距离为，

由弦长公式可得，化简可得，

，则，故选D．

11．【答案】D

【解析】因直线与直线垂直，则直线的斜率为3，

设直线与曲线相切的切点，

而，则，解得，

即直线过点，方程为，

设直线与曲线相切的切点，有，

由，得，

从而有点，

而点P在直线上，即，解得，故选D．

12．【答案】D

【解析】当时，左边为，

当时，左边为，

所以增加的项为

，

故选D．

第Ⅱ卷（非选择题）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．【答案】

【解析】展开式通项公式为，

令，得，

所以所求系数为，故答案为．

14．【答案】

【解析】在中，，，，

由余弦定理可得，

即，解得或（舍），

又，所以，

在中，，，，

由正弦定理可得，所以，

故答案为．

15．【答案】2

【解析】作出可行域，如图内部（含边界），

代入，得，即，

，表示可行域内动点与定点连线的斜率，

由图可得，

所以最大值为，故答案为2．

16．【答案】

【解析】如图，取BC，AD的中点M，N，连接AM，MD，MN，

因为，所以，

又，故，则，

所以为等腰直角三角形，所以，

取MN上一点O，连接OC，OB，OA，OD，

因为，，只需使得，则点O为三棱锥外接球的球心，

设，则，

所以，解得，

所以，

故球O的表面积为，故答案为．

三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．【答案】（1）；（2）．

【解析】(不能选择①③作为已知条件)

若选择①②作为已知条件．

因为，，

所以数列是以为首项，公差的等差数列，

所以．

若选择②③作为已知条件．

因为，

所以数列是以为首项，公差为的等差数列，

因为，所以，

所以，解得，

所以．

（2）设等比数列的公比为，结合（1）可得，，

所以，所以．

所以等比数列的通项公式为．

所以，

所以

．

18．【答案】（1）列联表见解析，能；（2）分布列见解析，．

【解析】（1）由题意可得关于商品和服务评价的列联表如下：

，

故能在犯错误的概率不超过的前提下，认为商品好评与服务好评有关．

（2）由（1）得从“对服务不满意”的评价中分层选出的10个评价中，“对商品好评”的有8个，

“对商品不满意”的有2个，故的所有可能取值为0，1，2，

，，，

所以．

19．【答案】（1）证明见解析；（2）点在靠近点的三等分点处时，面与面所成锐二面角的余弦值为．

【解析】（1）∵四边形ABCD为平行四边形，且AC＝BD，

∴四边形ABCD为矩形，即AB⊥AD．

又AB⊥PD，AD∩PD＝D，∴AB⊥平面PAD，

又AB⊂平面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD．

（2）由（1）知：在平面PAD内过点A作AE⊥AD，则AE⊥平面ABCD，

以为正交基底建立空间直角坐标系如图所示，

则A(0，0，0)，B(3，0，0)，C(3，6，0)，D(0，6，0)，P(0，3，3)，

∴，，，

设，则，可得，

∵，∴AP⊥PD，

又AB⊥PD，AP∩AB＝A，

∴PD⊥平面PAB，则是平面PAB的一个法向量，

设面MAC的一个法向量为，则，即，

令，有，

∴，则，解得，即，

点在靠近点的三等分点处．

20．【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）由焦点可知，

又一条渐近线方程为，所以，

由，可得，解得，，

故双曲线的标准方程为．

（2）设，，AB中点的坐标为，

则①，②，

②①得，即，

又，所以，

所以直线的方程为，即．

21．【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）由题意得，所以切线的斜率．

因为，即切点为，

所以切线的方程．

（2）解法1：由已知，对于任意的，都成立，

即对于任意的，都成立．

当时，显然成立；

当时，对于任意的，都成立．

设，则，

而．

设，则．

由，得在区间上恒成立，

所以函数在区间上是减函数，且．

所以在区间上恒成立，即在区间上恒成立，

所以函数在区间上是减函数，

所以当时，，

所以实数的取值范围是．

解法2：设，则．

（1）当时，，函数在区间上是增函数．

当时，，所以在区间上恒成立，

所以函数在区间上是增函数，所以．

即对于任意的都成立．

（2）当时，令，即，解得．

①当时，，则，所以函数在区间上是增函数．

当时，，所以在区间上恒成立，

所以函数在区间上是增函数，所以，

即对于任意的都成立；

②当时，．

当变化时，的变化情况如下表：

所以当时，，

所以在区间上恒成立，

所以函数在区间上是增函数，

所以，

即对于任意的都成立；

③当时，，

所以在区间上恒成立，

所以函数在区间上是减函数，

因为，,

所以，使，即．

当变化时，的变化情况如下表：

当，即时，对于任意都成立，

所以，

综上所述，实数的取值范围是．

22．【答案】（1），；（2）．

【解析】（1）由，得，

即直线的普通方程为．

由，得．

因为，，所以，

故曲线的直角坐标方程为．

（2）直线的参数方程为（为参数），

化为标准形式（为参数），

代入，得．

设对应的参数分别为，，则，．

可知异号，

所以．

因为，所以．

23．【答案】（1）；（2）．

【解析】（1），

当时，；

当时，由，得，

综上所述，不等式的解集M为．

（2）由（1）得，当时，，

那么，从而可得，解得，

即实数a的取值范围是．