2021武威二中高二下学期期中考试数学（文）试题含答案

武威二中2020-2021-2学期高二年级期中考试

文科数学试卷

第I卷（选择题）

一、单选题(共48分)

1．(本题4分)若复数满足，其中为虚数单位，则复数的虚部是（    ）

A．2 B． C． D．

2．(本题4分)从2019年末开始，新型冠状病毒在全球肆虐.为了研制新型冠状病毒疫苗，某大型药企需要从150名志愿者中抽取15名志愿者进行临床试验，现采用分层抽样的方法进行抽取，若这150名志愿者中老年人的人数为50人，则老年人中被抽到进行临床试验的人数是（    ）

A．15 B．10 C．5 D．1

3．(本题4分)已知复数（为虚数单位），则在复平面内对应的点在（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

4．(本题4分)是表示空气质量的指数，指数值越小，表明空气质量越好，当指数值不大于100时称空气质量为“优良”．如图是某地3月1日到12日指数值的统计数据，图中点表示3月1日的指数值为201．则下列叙述不正确的是（    ）

A．这12天中有6天空气质量为“优良” B．这12天中空气质量最好的是4月9日

C．这12天的指数值的中位数是90.5 D．从3月4日到9日，空气质量越来越好

5．(本题4分)曲线的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为（    ）

A． B． C． D．

6．(本题4分)已知某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是（    ）

A．求首项为1，公差为2的等差数列的前2017项和

B．求首项为1，公差为2的等差数列的前2018项和

C．求首项为1，公差为4的等差数列的前1009项和

D．求首项为1，公差为4的等差数列的前1010项和

7．(本题4分)已知函数的图象如图所示，其中为函数的导函数，则的大致图象是

A． B． C． D．

8．(本题4分)宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．如图是源于其思想的一个程序框图，若输人的、分别为、，则输出的（    ）．

A． B． C． D．

9．(本题4分)为了比较甲、乙两种棉花的纤维长度，随机抽测了它们的纤维长度（单位：cm），记录整理成如下茎叶图，以下说法错误的是（    ）

A．甲的平均值比乙的平均值小

B．甲的方差比乙的方差小，甲的稳定性更好

C．甲的中位数是25，乙的中位数是27

D．甲集中在茎2，3上，占；乙集中在茎2，3上，占

10．(本题4分)若函数在上是单调减函数，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

11．(本题4分)设直线与函数，的图像分别交于点，，则的最小值为（    ）

A．1 B． C． D．

12．(本题4分)当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

第II卷（非选择题）

二、填空题(共20分)

13．(本题5分)曲线在点处的切线的斜率为_____.

14．(本题5分)已知是虚数单位，复数，则________．

15．(本题5分)函数的单调递减区间为_______.

16．(本题5分)下面给出四种说法：

①设、、分别表示数据15、17、14、10、15、17、17、16、14、12的平均数、中位数、众数，则；

②在线性回归模型中，相关系数的绝对值越接近于1，表示两个变量的相关性越强；

③绘制频率分布直方图时，各小长方形的面积等于相应各组的组距；

④线性回归直线不一定过样本中心点.

其中正确说法的序号是______.

三、解答题(共52分)

17． (本题10分)

（1）计算：；

（2）求函数的导函数；

18．(本题10分)已知函数在处的切线与轴平行.

（1）求常数的值；

（2）求函数在的最大值和最小值.

19．(本题10分)某研究机构对某校高二文科学生的记忆力和判断力进行统计分析，得下表数据．

（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；

（2）试根据（2）中求出的线性回归方程，预测记忆力为14的学生的判断力.

（参考公式：其中）

20．(本题10分)某地教育部门对某学校学生的阅读素养进行检测，在该校随机抽取了名学生进行检测，实行百分制，现将所得的成绩按照，分成6组，并根据所得数据作出了如下所示的频数与频率的统计表和频率分布直方图.

（1）求出表中及图中的值；

（2）估计该校学生阅读素养的成绩中位数以及平均数.

21．(本题12分)已知函数f(x)＝x+alnx+1．

（1）求函数f(x)的单调区间和极值；

（2）若f(x)在[1，e]上的最小值为－a+1，求实数a的值．

武威二中2020-2021-2高二数学文科试题

参考答案

1．C  2．C    3．A   4．C  5．D  6．C   7．B  8．B  9．B  10．A

由题意得，，

因为在[1，+∞）上是单调减函数，

所以≤0在[1，+∞）上恒成立，

当≤0时，则在[1，+∞）上恒成立，

即a，设g（x），

因为x∈[1，+∞），所以∈（0，1]，

当时，g（x）取到最大值是：，

所以a，

所以数a的取值范围是（﹣∞，]

11．D

设，，

则，

当时，，递减，时，，递增，

所以．

12．B

令，∵时，∴不合条件.

令，故恒成立，又，

∴要在处取最大值，故为在上的极大值点，

故，又，故

∴，

13． -   14．  15．  16．①② 

17．（1）；（2）；.

18．（1）；（2），.

【详解】

（1），，

由于图像在处的切线与轴平行，所以，

解得，经验证，满足题意

所以.

（2）由(1)知，，.

令，得或，所以，在上为增函数；

令，得，所以，在上为减函数.

所以，在上为减函数，在上为增函数.

.

又，所以.

20．（1）（2）判断力为7.5.

【详解】

（1），，

，

，所以.

.

故线性回归方程为.

（2）当时，故可预测记忆力为14的学生的判断力为7.5.

21．（1）；（2）中位数是，平均数是68.5.

【详解】

（1）由频率统计表可知：，

由频率分布直方图可知：，解得

（2）∵前两组的频率和为，前三组的频率和为

∴中位数在内，设中位数为，则，解得，即中位数为.

平均数为

∴估计该校学生阅读素养的成绩中位数是，平均数是68.5.

22．（1）单调递增区间为，单调递减区间为，f(x)有极小值为，无极大值；（2）a＝－1．

【详解】

解：（1）函数f(x)的定义域为

当时，＞0恒成立，f(x)在上单调递增，无极值；

当a＜0时，令＞0，解得x＞－a，令＜0，解得x＜－a，

所以f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为，

此时f(x)有极小值，无极大值；

（2），x∈[1，e]，由＝0得x＝－a，

①若a≥－1，则x＋a≥0，即在[1，e]上恒成立，此时f(x)在[1，e]上为增函数，∴f(x)min＝f（1）＝－a+1，即2＝－a+1，则a＝－1，符合条件．

②若a≤－e，则x＋a≤0，即≤0在[1，e]上恒成立，此时f(x)在[1，e]上为减函数，∴f(x)min＝f(e)＝－a+1，即e＋a＋1＝－a+1，则a＝，不符合条件．

③若－e<a<－1，

当1<x<－a时，<0，∴f(x)在(1，－a)上为减函数；

当－a<x<e时，>0，∴f(x)在(－a，e)上为增函数，

∴f(x)min＝f(－a)＝﹣a+1，即－a+aln(－a)＋1＝﹣a+1，

则a＝0或a＝－1，均不符合条件．

综上所述，a＝－1．