2021广东省广大附中、铁一、广外三校高二下学期期中联考数学试题含答案

2020-2021学年下学期期中三校联考

高二数学

命题学校：广大附中   命题人：    审题人：

本试卷共4页，22小题，满分150分。考试用时120分钟。

一、选择题：本大题8小题，每小题５分，共40分。

1．设全集，集合，，则（ * ）

A． B． C． D．

2．设，其中，是实数，则|+|=( * )

A．1          B．            C．            D．2

3．已知函数的定义域为[-2，3]，则函数的定义域为（ * ）

A．[-1,9] B．[-3,7] C． D．

4．函数f(x)=sin(x+)+cos(x−)的最大值为（ * ）

A． B．1 C． D．

5．围棋起源于中国，据先秦典籍《世本》记载：“尧造围棋，丹朱善之”，至今已有四千多年历史．围棋不仅能抒发意境、陶冶情操、修身养性、生慧增智，而且还与天象易理、兵法策略、治国安邦等相关联，蕴含着中华文化的丰富内涵．在某次国际围棋比赛中，甲、乙两人进入最后决赛．比赛采取五局三胜制，即先胜三局的一方获得比赛冠军，比赛结束．假设每局比赛甲胜乙的概率都为，且各局比赛的胜负互不影响，则在不超过4局的比赛中甲获得冠军的概率为（ * ）

A． B． C． D．

6．已知随机变量，且，则的展开式中的系数为（ * ）

A．40 B．120 C．240 D．280

7.在某班进行的歌唱比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生。如果2位男生不能连着出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的不同排法种数为（ * ）

A．30 B．36 C．60 D．72

8．过曲线的左焦点作曲线的切线，设切点为延长交曲线于点其中有一个共同的焦点，若则曲线的离心率为（ * ）

A． B． C． D．

二、多选题：本大题4小题，每小题５分，共20分。

9．下列说法正确的是（ * ）

A．对于独立性检验，随机变量的观测值值越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率越小

B．在回归分析中，相关指数越大，说明回归模型拟合的效果越好

C．随机变量，若，，则

D．甲、乙、丙、丁4个人到4个景点旅游，每人只去一个景点且每个景点都有人去，设事件M为“4个人去的景点各不相同”，事件N为“甲不去其中的A景点”，则P(MN)＝

10．下列说法正确的是（ * ）

A．已知直线l⊥平面，直线m∥平面，则“∥”是“l⊥m”的必要不充分条件

B．“存在两条异面直线”是“”的充分条件

C．“是正数”是“”的充分不必要条件

D．函数的最小值为4

11．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在线段B1C上运动，则（ * ）

A．直线BD1⊥平面A1C1D

B．三棱锥P﹣A1C1D的体积为定值

C．异面直线AP与A1D所成角的取值范围是[45°，90°]

D．直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值的最大值为

12．设函数，，下列命题，正确的是（ * ）

A．函数在上单调递增，在单调递减

B．不等关系成立

C．若时，总有恒成立，则

D．若函数有两个极值点，则实数

三、填空题：本大题4小题，每小题５分，共20分。

13．已知，，若与共线，则实数的值为___*__.

14．已知随机变量X的分布列如下：

若随机变量Y满足，则Y的方差____*___.

15．已知定义在上的单调减函数使得对一切实数都成立，则的取值范围为_____*_____.

16．矩形中，，现将沿对角线向上翻折，得到四面体，则该四面体外接球的体积为_____*___；设二面角的平面角为，当在内变化时，的范围为____*_ _.

四、解答题：本大题6小题，第17题10分，其余各题12分，共70分。

17．已知数列的前项和为．

若为等差数列，，，求和的表达式；

若数列满足，求．

18．已知在△ABC中，sin（A+B）＝1+2sin2．

（1）求角C的大小；

（2）若∠BAC与∠ABC的内角平分线交于点Ⅰ，△ABC的外接圆半径为2，求△ABI周长的最大值．

19.如图，在正方形中，点，分别是，的中点，将分别沿，折起，使两点重合于.

（1）求证：平面；

（2）求二面角的余弦值.

20．椭圆有两个顶点过其焦点的直线与椭圆交于两点，并与轴交于点,直线与交于点.

（1）当时，求直线的方程；

（2）当点异于两点时，证明：为定值。

21．在新的高考改革形式下，全国某些省市年入学的高一学生都进行了选科，为了解学生的选科情况，广大附中高一年级对已经选了(语文、数学、外语)+物理的学生如何选择另外两门学科进行了调整，另外两科有种组合：①化学+生物，②生物+地理，③化学+地理，④生物+政治，⑤化学+政治，⑥政治+地理.假设学生选择每种组合是等可能的.

（1）每名学生若选全理(即化学+生物)或全文(即政治+地理)记分，若文理皆有(其余种组合)记分，且每名学生如何选科是相互独立的，现有甲、乙、丙名学生，记总得分为，求的分布列及数学期望；

（2）如图所示的条形图显示了广大附中高一年级名学生另外两门学科选择情况的统计结果.教学班要求每班人数不低于人，且不超过人，若低于人，则需要加入选择其他组合的学生，编成混合班，但混合班要求学生选择的另外两门学科中有一门共同学科，同时尽最大限度减小混合班个数，也不出现含个组合的混合班，试通过条形图，以频率估计概率，预测我校高一年级800名学生的组班情况，请给出一个较合理的编班方案，指明最少需要组成几个混合班，是什么样的组合？

22．已知函数

（1）若函数有两个极值点，求实数的取值范围;

（2）若函数，当时，证明：

高二参考答案

1．A  2．B  3．D   4．A   5．C   6．D   7．C   8．A

9．BD  10．BC   11．ABD   12．AC

13．2   14．9   15．  16．；    .   

17．解：设等差数列的通项为（为等差数列的公差），

则，解得，所以，

．……………4'

，①

当时，，②

由①②得，，，当时，，，

所以当时，；当时，；

当时，，所以.………………10'

18．（1）∵sin（A+B）＝1+2sin2，且A+B+C＝π，

∴sinC＝1+1﹣cosC＝2﹣cosC，即sinC+cosC＝2，

∴sin（C+）＝1．∵C∈（0，π），∴C+∈（，），∴C+＝，即C＝．………5'

（2）∵△ABC的外接圆半径为2，∴由正弦定理知，＝＝2×2＝4，

∴AB＝，………6'

∵∠ACB＝，∴∠ABC+∠BAC＝，∵∠BAC与∠ABC的内角平分线交于点Ⅰ，

∴∠ABI+∠BAI＝，∴∠AIB＝，设∠ABI＝θ，则∠BAI＝﹣θ，且0＜θ＜，在△ABI中，由正弦定理得，＝＝＝＝4，∴BI＝4sin（﹣θ），AI＝4sinθ，…………9'

∴△ABI的周长为2+4sin（﹣θ）+4sinθ＝2+4（cosθ﹣sinθ）+4sinθ

＝2+2cosθ+2sinθ＝4sin（θ+）+2，∵0＜θ＜，∴＜θ+＜，

∴当θ+＝，即时，△ABI的周长取得最大值，最大值为4+2，

故△ABI的周长的最大值为4+2．……………12'

19.（1）证明：连接交于，连接.

在正方形中，点是中点，点是中点，

所以，所以，

所以在等腰中，是的中点，且，

因此在等腰中，，从而，又，

所以平面，即平面.……………5'

（2）方法一：在正方形中，连接，交于，设正方形的边长为2，

由于点是中点，点是中点，

所以，于是，

从而，

所以，

于是，在翻折后的几何体中，

为二面角的平面角，………7'

在正方形中，解得，，

所以，在中，，，，

由余弦定理得，所以，二面角的余弦值为.…………12'

方法二：设正方形边长为2，则PD=2，PE=PF=1，EF=，由勾股定理逆定理得EF2=PE2+PF2，即PEPF。由题知两两互相垂直，故以为原点，向量方向分别为，，轴的正方向，建立如图的空间直角坐标系.…………7'

则，，，.

所以，.设为平面的一个法向量，

由得，令，得，

又由题知是平面的一个法向量，

所以.

所以，二面角的余弦值为.…………12'

20．

………6'

…………12'

21．（1）分布列见解析，；（2）答案见解析.

（1）选全理(即化学+生物)或全文(即政治+地理)的概率为， 即记分的概率为，因而记分的概率为，易知的可能取值为、、、，且，，，， ∴的分布列为：

∴；……………6'

 （2）分情况进行讨论：

组合①：人中选择①的有人，其频率为，预测全校800名学生选择①的人数为，独立成一个班；

组合②：人中选择②的有人，其频率为，预测全校800名学生选择②的人数为，独立成五个50人的班，剩下22人；

组合③：人中选择③的有人，其频率为，预测全校800名学生选择③的人数为，独立成六个45人的班和一个50人的班；

组合④：人中选择④的有人，其频率为，预测全校800名学生选择④的人数为，独立成一个班，至少剩下人；

组合⑤：人中选择⑤的有人，其频率为，预测全校名学生选择⑤的人数为，独立成一个班；

组合⑥：人中选择⑥的有人，其频率为，预测全校名学生选择⑥的人数为。

减小混合班个数，把④的13人与⑥混合成一个45人的班，④剩下的22人与②剩下的22人，以及从②的50人班里抽一人出来一起编成45人的班级.故最少是2个混合班。…………12'

22．（1）；（2）证明见解析．

（1），，由题意则有两个不等实根．

设，，

时，，递减，时，，递增，

所以，时，且时，，而，

所以方程有两个不等实根．则；…………5'

（2）由已知，，易知在上是增函数，

，，因此在上存在唯一的，使得，

当时，，递减，当时，，递增，

所以，而，，

，所以，所以…………12'