2021淮北树人高级中学高二第二学期开学考试数学（文）试卷含答案

这是一份2021淮北树人高级中学高二第二学期开学考试数学（文）试卷含答案，共24页。
www.ks5u.com高二第二学期开学考试卷  数学 文科1． 已知数列，，，，…，，则是该数列的( ) A.第项 B.第项 C.第项 D.第项 2.  已知满足约束条件则的取值范围是 A.      B.     C. D. 3.  在中，内角，，的对边分别为，，，且，则的形状为( ) A.等边三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形 D.等腰直角三角形  4.  已知以下四个结论：
①函数图象的一个对称中心为；
②函数的最小正周期为；
③函数的图象与函数的图象重合；
④若，则
其中，正确的结论是（ ） A.①③ B.①④ C.②③ D.②④  5.  ，则的值为（ ） A.或 B. C.或 D. 6.  已知单位向量，满足，则  A. B. C. D. 7.已知三棱锥中，侧面底面，是边长为3的正三角形，是直角三角形，且，则此三棱锥外接球的体积等于(   )A.  B.  C.  D. 8.  已知圆：，圆：，，分别是圆，上的点，为轴上的动点，则的最小值为 A. B. C. D. 9.  已知双曲线的左、右焦点分别为，，点是的右支上一点，连接与轴交于点，若（为坐标原点），，则双曲线的渐近线方程为( ) A.  B. C. D. 10.  已知函数为偶函数，则的导函数的图象大致为（ ） A. B.
C. D. 11.  下列四个命题中真命题的个数是（ ）
①“”是“”的充分不必要条件;
②命题“，”的否定是“，”；
③“若，则”的逆命题为真命题；
④命题；，，命题，，则为真命题． A. B. C. D. 12.  过椭圆的左焦点作互相垂直的两条直线，，分别交椭圆于，，，四点，则四边形面积的最大值与最小值之差为( ) A. B. C. D. 13.  已知函数的图象为，则：
①关于直线对称；②关于点对称；
③在上是增函数；④把的图象向右平移个单位长度可以得到图象．
以上结论正确的有________．（填所有正确的序号）  14.  已知集合，集合，命题，命题，若的必要不充分条件是，则实数的取值范围是________． 15.  已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，则________． 16.  阿波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地．他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆，现有 ，则当的面积最大时，它的内切圆的半径为________.  17. 在中，角，，的对边分别为，，，为的面积，满足．  求角的大小；若，求的取值范围．  18.如图，四棱锥的底面是平行四边形，是等边三角形且边长是4，.（1）证明：；（2）若，求四棱锥的体积.           19. 设等差数列的前项和为，已知，．  求数列的通项公式；若数列满足：，求数列的前项和.         20.随着时代的进步与发展，维持生态平衡，促进可持续发展是一个新的美好愿景，我们也应该从自身做起，自觉爱护生态环境，为此，某网络平台对市民参与生态文明建设的情况进行了调查，从参与生态文明建设的人中随机选出人，根据所得数据，对年龄进行适当分组后得到如下的频率分布直方图．
 （1）根据频率直方图求出的值；（2）根据频率直方图估计这人年龄的平均数和中位数各是多少；（3）现要从最后两组中用分层抽样的方法抽取人，再从这人中随机抽取人进行问卷调查，求第组恰好抽到人的概率． 21. 已知椭圆的离心率为，点为上一点．  求椭圆的标准方程；设坐标原点为，点，在上，点满足，且直线，的斜率之积为，证明：为定值．    22. 已知函数.  讨论函数的单调性； 若关于的方程在上恰有一解，求实数的取值范围．   
数学文科答案1  B【解答】解：由数列，，，，…，
可得通项公式．
令，解得，
所以是数列的第项.
故选．2  D【解答】解：表示可行域内的点与点连线的斜率的倒数，作出可行域，

可知点与点连线的斜率在点处取得最小值为，
在点处取得最大值，所以斜率的取值范围是，所以的取值范围是.
故选.3.解：因为

.
又因为，
所以

，
，
面积，
而


，
所以，即面积的最大值为．
故选．4.【解答】解：由正切函数图象特征可知①正确；
 的最小正周期为，故②不正确；
的表达式可以改写为，故③不正确；
由，则，
，故④正确．
故选．5. 解： ，
 ，
 .
 ，
 或，
 或，当时，
 ；
当时， ．
故选．6. 解：由得，
又，，
∴  
故选.7.答案：B解析：因为三棱锥的底面中， ，所以，其外接圆的圆心为的中点，设为，设三棱锥的外接球的球心为，则平面，取的中点，连接，因为平面，所以，因为三角形为正三角形，所以，过作于，则为矩形，设，球的半径为，因为，，，解得，所以球的体积为8.【解答】解：如图，

圆关于轴的对称圆的圆心坐标，半径为，
圆的圆心坐标，半径为，
的最小值为圆与圆的圆心距减去两个圆的半径和，
即：．
故选.9.【解答】解：由题意双曲线的图形如图，

设，，点是的右支上一点，
连接与轴交于点，若（为坐标原点），，
，，
所以，
所以，
所以，
又，
得，
所以，
可得，
解得，
所以双曲线的渐近线方程为：．
故选.10.【答案】A11.【答案】D【解答】解：①由，则，
反之，由，得：，或，
所以，“”是“”的充分不必要条件，故正确；
②命题“，”的否定是“，”，故正确；
③“若，则”的逆命题为“若，则”若时不符合，是假命题，故不正确；
④命题，，正确，
命题，，不正确，
因为恒成立，为真，故正确．
故选.12.【解答】解：由题意得，，，
当，中的一条与轴垂直，另一条与轴平行时，
.
当直线的斜率都存在时，
设，.
由
整理得.
设，，
则，，
所以，
所以得，

，
当且仅当，即等号成立.
故四边形的最大值为，最小值为.
故四边形面积的最大值与最小值之差为.
故选.13.【答案】①③④【解答】函数的图象为，
所以：对于①，当时，，所以函数的图象关于直线对称，①正确；
对于②，当时，，所以函数的图象不关于点对称，故②错误；
对于③，当时，，所以函数在该区间上是增函数，故③正确；
对于④，把的图象向右平移个单位长度可以得到，故④正确．14.【答案】【解答】解：对于集合：由，
解得，
∴   集合，
∴   ：；
对于集合：由，
化为，
其满足：.
∵   的必要不充分条件是，
∴   必有，
解得．
∴   实数的取值范围是．
故答案为：．15.【解答】解：由题意，得抛物线的焦点坐标为，
∵   直线与有两个交点，
∴   直线的斜率存在.
设直线的方程为，，，
联立 
整理，得，
则，.
又∵   ，，
∴   ，
∴  
，
∴   ．
故答案为：．16.【解答】解：，由正弦定理得，
为非零常数，故点的轨迹是圆．
以线段中点为原点，所在直线为轴建立直角坐标系，

则，，设，
，

即，整理得 ，
因此，当面积最大时，边上的高为圆的半径，
此时，，
设内切圆的半径为，则

解得．
故答案为：．17.【解答】解：由三角形面积公式得：
，
∴    ，
∴   ,
∴   ．在中，
由正弦定理得  ，又，
所以， ，
故
，
因为，故，
所以，，
故的取值范围是．18.答案：（1）证明：取中点，连接，，，，，，平面．又平面，（2）由（1）知，平面，在等边三角形中，由边长为4，得，在等腰三角形中，由，，得，又，，得．．则．．19.【解答】解：设数列的公差为，
由，得，
又．
解得，，
因此的通项公式是：.由知

，
所以




．20.【答案】解：()由，得.()由于前两组的频率和为，第三组的频率为，
故中位数为；
平均数为．()第，组的人数分别为人，人，
从最后两组中用分层抽样的方法抽取人，则第，组抽取的人数分别为人，人，
设第组中的两人为，，设第组中的三人为，，．
从人中随机抽取人，为，，，，，，，，，共个基本事件；
其中第组恰好抽到人包含，，，，，共个基本事件，从而第组恰好抽到人的概率．【解答】解：()由，得.()由于前两组的频率和为，第三组的频率为，
故中位数为；
平均数为．()第，组的人数分别为人，人，
从最后两组中用分层抽样的方法抽取人，则第，组抽取的人数分别为人，人，
设第组中的两人为，，设第组中的三人为，，．
从人中随机抽取人，为，，，，，，，，，共个基本事件；
其中第组恰好抽到人包含，，，，，共个基本事件，从而第组恰好抽到人的概率．21.【解答】解：由题知，
解得
所以的标准方程为.证明：设，当直线的斜率不存在时，，
因为直线，的斜率之积为，所以，即，
又，在椭圆上，所以，．
因为，
所以


.
当直线的斜率存在时，设直线的方程为（），
联立方程得消去，得，
，
设，则，．
因为直线，的斜率之积为，即，，
∵   ，在椭圆上，∴   ①，②，
∴   ，∴   ，
∴   ①＋②得．
因为，
所以


．
综上，为定值．22.【答案】解：依题意，，
若，，函数在上单调递增；
若，当时，，
当时，，
故函数在上单调递减，在上单调递增；
若，当时，，
当时，，
故函数在上单调递增，在上单调递减.易知是方程的解，
令
，
则或恒成立，


.
①当时，
因为，
所以，
所以，此时在上单调递增，，符合题意.
②当时，，
因为，，
所以由，得，此时在上单调递减，
所以当时，，
且，
易得，，
所以，所以不合要求，舍去.
③当时，，，
在上单调递减，，符合题意.
综上所述，实数的取值范围是.