2021武汉部分重点中学高二上学期12月联考数学试卷含答案

这是一份2021武汉部分重点中学高二上学期12月联考数学试卷含答案，共9页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

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武汉市部分重点中学2020—2021学年度上学期12月联考
高二数学试卷
考试时间：2020年12月25日下午14：30—16：30 试卷满分：150分

一、单项选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是最符合题目要求的．
1．抛物线的焦点坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．设，下列四个条件中，使成立的必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
3. 若函数在上单调递减，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4. 已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点。
若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的标准方程为(　　)
A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1
5．如图所示，在正方体中，E，F分别是的中点，则异面直线EF与所成的角为（ ）
A． B．
C． D．


6. 已知抛物线y2＝8x的焦点到双曲线E： (a＞0，b＞0)的渐近线的距离不大于，则双曲线E的离心率的取值范围是(　　)
A．(1， ] B．(1,2] C．[，＋∞) D．[2，＋∞)

7. 如图，在正四面体P－ABC中，D，E，F分别
是AB，BC，CA的中点，下面四个结论不成立的是(　　)
A．BC∥平面PDF
B．DF⊥平面PAE
C．平面PDF⊥平面PAE
D．平面PDE⊥平面ABC

8. 设函数f ′(x)是奇函数 f(x) (x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，x f ′(x)－f (x)<0，
则使得f (x) > 0成立的x的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1)∪(0,1) B．(－1,0)∪(1，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(－1,0) D．(0,1)∪(1，＋∞)

二、多项选择题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合要求，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分.
9. 下列命题是真命题的是(　　)
A．“函数在内”是“在内单调递增”的充要条件
B．已知在处存在导数，则“”是“是函数的极值点”的必要不充分条件
C．若命题，则命题P的否定是：，
D．命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥2x＋1”的否定形式是“∃x∈R，∀n∈N*，使得n<2x＋1”

10. 如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长都等于1，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（ ）

A.

B．在底面ABCD上的射影是线段BD的中点
C．与平面ABCD所成角大于45o
D． 与AC所成角的余弦值为

11. 已知函数f(x)＝，则下列结论正确的是(　　)
A．函数f(x)存在两个不同的零点
B．函数f(x)既存在极大值又存在极小值
C．当－e D．若x∈[t，＋∞)时，f(x)max＝，则t的最小值为2
12. 关于圆锥曲线，有如下命题，其中错误的命题有（ ）
A．若a>b>0，则直线＋＝1与椭圆＋＝1 相交或相切；
B．过圆锥曲线焦点的直线一定与该圆锥曲线相交；
C．曲线：的图像关于原点对称
D．椭圆中，A,B,C,D,是椭圆上不重合四点，若直线AB，
CD交于椭圆内一点M，则必有 .

三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分
13. 已知命题：“∃x∈{x|1≤x≤2}，使x2＋2x＋a≥0”为真命题，则实数a的取值范围是________．
14．过点(－1，1)的直线l与曲线f(x)＝x3－x2－2x＋1相切，且(－1，1)不是切点，则直线l的斜率=____________
15．如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，E为AD的中点，
F为PC上一点，当PA∥平面EBF时，＝_____________
16. 已知曲线C：y2＝2px(p>0)．O为原点，A，B是C上两个不同点，
且OA⊥OB，则直线AB过定点_________．

四、解答题:本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17. 已知两两垂直, ,M为OB的中点，点N在AC上，.
（1）求的长；
（2）若点在线段上，设,当时，求实数的值．









18. 已知函数f(x)＝－ln x.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)求函数f(x)在上的最大值和最小值(其中e是自然对数的底数).
19. 法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点轨迹为一个圆，该圆的方程为，这个圆被称为蒙日圆，已知抛物线的焦点是椭圆C的一个短轴端点，且椭圆C的离心率为.
（1）求椭圆C的标准方程和它的“蒙日圆”的方程；
（2）若斜率为的直线与“蒙日圆”相交于A,B两点，且与椭圆C相切，为坐标原点，求的面积.


20. 已知函数f(x)＝x3＋x2＋ax。
(1)若函数f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增，求实数a的最小值；
(2)若函数g(x)＝，对∀x1∈，∃x2∈，使f ′(x1)≤g(x2)成立，求实数a的取值范围。


21. 将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折叠，使得平面ABD⊥平面CBD，AE⊥平面ABD，且AE=．
（1）求证：DE⊥AC；
（2）求DE与平面BEC所成角的正弦值；
（3）直线BE上是否存在一点M，使得CM∥平面ADE，
若存在，求点M的位置，不存在请说明理由．






22. 已知椭圆C1：＋＝1(a＞b＞0)的左右顶点是双曲线C2：－y2＝1的顶点，且椭圆C1的上顶点到双曲线C2的渐近线的距离为.
(1)求椭圆C1的方程；
(2)若直线l与C1交于M1，M2两点，与C2交于Q1，Q2两点，且·＝－5，求的取值范围．







高二12月联考数学试卷参考答案
选择题：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
A
C
D
C
B
D
A
BD
AC
AB
AD
填空题:
13.a≥－8 14．－1 15． 16. (2p，0)
8. 解析　当x≠0时，构造函数g(x)＝，
则当x>0时，g′(x)＝<0，故函数g(x)在(0，＋∞)上单调递减。
又因为f(x)为奇函数，所以g(x)＝为偶函数，所以g(x)在(－∞，0)上单调递增。
又因为f(－1)＝0，所以g(1)＝g(－1)＝0，
故当0g(1)＝0，故f(x)>0；当x<－1时，g(x)0。
综上，使得f(x)>0成立的x的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)。
11. 解析　f(x)＝0⇒x2＋x－1＝0，解得x＝，所以A正确；
f′(x)＝－＝－，当f′(x)>0时，－12，
所以(－∞，－1)，(2，＋∞)是函数的单调递减区间，(－1,2)是函数的单调递增区间，
所以f(－1)是函数的极小值，f(2)是函数的极大值，所以B正确；
当x→＋∞时，y→0，根据B可知，函数的最小值是f(－1)＝－e，
再根据单调性可知，当－e 由f(2)＝，又结合图象可知，t的最大值是2，所以D不正确。
故选AB。

12.解析：对A 直线＋＝1经过点(b，0)，因为a>b>0，所以该点在椭圆内，
因此直线＋＝1一定与椭圆＋＝1相交，故A错误；
对B 焦点在圆锥曲线的内部，过圆锥曲线内部的点的直线一定与圆锥曲线相交，故B正确；
对C 用代替，用-y代替y，有成立，所以C正确；
对D， 取椭圆长轴和短轴四个端点，可知D不正确；（当AB,CD的斜率互为相反数时结论才成立。）
解答题:
17.解析（2）由题意， 以OA,OB,OC分别为x轴，y轴，z轴建立直角坐标系，
…………….2分
由于为的中点，点在上，可得, ……………..4分
……………..5分
（2）设 ，且点在线段上
……………..8分
……………..10分
18. 解析　 (1)f(x)＝－ln x＝1－－ln x， f(x)的定义域为(0，＋∞). ……………..1分
∵f′(x)＝－＝， ……………..3分
由f′(x)>0，得01， ……………..5分
∴f(x)＝1－－ln x在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减. ……………..6分
(2)由(1)得f(x)在上单调递增，在[1，e]上单调递减，
∴f(x)在上的极大值为f(1)＝1－－ln 1＝0. ……………..8分
又f＝1－e－ln＝2－e，
f(e)＝1－－ln e＝－，且f ∴f(x)在上的最大值为0，最小值为2－e. ……………..12分

19. 解析（1）抛物线x2=4y的焦点为(0,1)，则b=1， ……………..1分
又，且，所以， …………….3分
于是椭圆的标准方程为：；“蒙日圆”方程为. ……………..5分
（2）设直线：，，
由可得：，
令可得：，. …………….8分
“蒙日圆”方程为，圆心为，半径，
则圆心到直线的距离， .………..10分
于是，. ……………..12分
20.解析　 (1)由题设知f′(x)＝x2＋2x＋a≥0，在[1，＋∞)上恒成立，
即a≥－(x＋1)2＋1在[1，＋∞)上恒成立， ……………..2分
而函数y＝－(x＋1)2＋1在[1，＋∞)单调递减，则ymax＝－3，所以a≥－3， ……………..4分
所以a的最小值为－3。
(2)“对∀x1∈，∃x2∈，使f′(x1)≤g(x2)成立”
等价于“当x∈时，f′(x)max≤g(x)max”。 ……………..6分
因为f′(x)＝x2＋2x＋a＝(x＋1)2＋a－1在上单调递增，所以f′(x)max＝f′(2)＝8＋a。 …..8分
而g′(x)＝，由g′(x)>0，得x<1，由g′(x)<0，得x>1，
所以g(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减。
所以当x∈时，g(x)max＝g(1)＝。 ……………..10分
由8＋a≤，得a≤－8， 所以实数a的取值范围为。 ……………..12分

21.解析（1）以A为原点，以射线AB，AC，AE为坐标轴建立空间直角坐标系，
则
由C作平面ABD的垂线，垂足为F，
则F为BC的中点， ，
所以点C的坐标为 ．


故：DE⊥AC． ……………..4分
（2）
设平面BCE的法向量为 ，则 ， ……………..6分
设线面角为， ……………..8分
（3）设，则 ． ……………..10分
若CM//平面ADE，则 ，所以 ， ……………..11分
故存在M为BE的中点，使得CM//平面ADE． ……………..12分

22. 解析：(1)由题意可知a2＝3，椭圆C1的上顶点为(0，b)，
双曲线C2的渐近线方程为y＝±x，即x±y＝0. ……………..1分
由点到直线的距离公式得＝， 解得b＝1， ……………..3分
所以椭圆C1的方程为＋y2＝1. ……………..4分
(2)易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋m，联立直线l和双曲线C2的方程，
得消去y并整理，得(1－3k2)x2－6kmx－3m2－3＝0.
因为直线l与双曲线C2交于Q1，Q2两点，
所以即① ……………..5分
设Q1(x1，y1)，Q2(x2，y2)，
则有x1＋x2＝，x1x2＝，
所以·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋m)(kx2＋m)＝(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2
＝(1＋k2)·＋km·＋m2＝[(1＋k2)(－3m2－3)＋6k2m2＋m2(1－3k2)]
＝(2m2＋3k2＋3)．
又·＝－5，所以(2m2＋3k2＋3)＝－5，化简得m2＝1－9k2.② …………….6分
联立直线l与椭圆C1的方程，
得消去y并整理，得(1＋3k2)x2＋6kmx＋3m2－3＝0.
因为直线l与椭圆C1交于M1，M2两点，
所以Δ＝36k2m2－4(1＋3k2)(3m2－3)＞0，化简得3k2＋1＞m2，③ ……………..7分
所以由①②③得0＜k2≤. ……………..8分
设M1(x3，y3)，M2(x4，y4)，
则有x3＋x4＝，x3x4＝，
所以＝＝
＝＝·.
将m2＝1－9k2代入，得＝·＝12. ……………..9分
令t＝k2，则t∈， 令f(t)＝，所以f′(t)＝. ……………..11分
又t∈，所以f′(t)＞0在t∈内恒成立，所以函数f(t)在t∈上单调递增，
所以f(t)∈，所以∈(0，]． ……………..12分