2021娄底娄星区高一下学期期中考试数学试题含答案

2021年上学期高一期中考试数学试卷

时量：120分钟   分值：150分

一、选择题（本大题共8小题，总分40分）

1.定义集合运算：设，，则集合中的所有元素之和为

A. 0 B. 2 C. 3 D. 6

2. 已知函数则的a的取值范围是

A.      B.
C.  D.

3. 若不等式成立的充分条件为，则实数a的取值范围是

A.  B.  C.  D.

4. 如图在梯形ABCD中，，，设，则

A.       B.
C.       D.

5.已知向量且

则

A. 3 B.  C.  D.

6.已知函数，若，，，则实数的大小关系为

A.  B.  C.  D.

7. 纸是生活中最常用的纸规格．A系列的纸张规格特色在于：、、、，所有尺寸的纸张长宽比都相同；在A系列纸中，前一个序号的纸张以两条长边中点连线为折线对折裁剪分开后，可以得到两张后面序号大小的纸，比如1张纸对裁后可以得到2张纸，1张纸对裁可以得到2张纸，依此类推．这是因为A系列纸张的长宽比为这一特殊比例，所以具备这种特性．已知纸规格为厘米厘米．，那么纸的长度为

A. 厘米 B. 厘米 C. 厘米 D. 厘米

8.若函数在区间上是增函数，且，，则函数在区间上

A. 是增函数 B. 是减函数
C. 可以取得最大值2 D. 可以取得最小值

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题满分5分，每小题少选按2分计算，多选或选错按0分计算）

9.已知某样本的容量为50，平均数为70，方差为现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为，方差为，则

A.  B. ， C.   D.

10.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则角B的值可以为

A.  B.  C.  D.

11.某工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不得超过，而这种溶液最初的杂质含量为，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少，则使产品达到市场要求的过滤次数可以为参考数据：，

A. 6 B. 9 C. 8 D. 7

12. 已知函数，若的最小值为，则实数a的值可以是

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.为了求函数的一个零点，某同学利用计算器得到自变量x和函数的部分对应值，如下表所示：

则方程的近似解精确度可取________．

14.已知方程在时有解，求实数a的取值范围________．
15.已知函数是定义在R上的奇函数，则

的值为________．
16.已知函数定义域为D，若满足在D内是单调函数；存在使在 

上的值域为，那么就称为“半保值函数”，若函数

且是“半保值函数”，则t的取值范围为______．

三、解答题（本大题共6小题，共70分，第17题满分10分，其余每题满分12分）

17.已知，．

当k为何值时，与共线

若，且A，B，C三点共线，求m的值．

18.已知复数z的共轭复数是，i是虚数单位，且满足．

求复数z；

若复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数m的取值范围．

19.已知 ．

化简；

若是第三象限角，且，求的值；

若，求的值．

20. 中国“一带一路”倡议提出后，某科技企业为抓住“一带一路”带来的机遇，决定开发生产一款大型电子设备，生产这种设备的年固定成本为500万元，每生产x台需要另投入成本万元当年产量不足80台时，万元，当年产量不小于80台时，万元，若每台设备售价为100万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完．

求年利润万元关于年产量台的函数关系式．

年产量为多少台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大？并求出这个最大利润．
 

21.如图1所示，在等腰梯形ABCD中，，，垂足为E，，将沿EC折起到的位置，如图2所示，使平面平面ABCE．
      

Ⅰ连结BE，证明：平面；

Ⅱ在棱上是否存在点G，使得平面，若存在，直接指出点G的位置不必说明理由，并求出此时三棱锥的体积；若不存在，请说明理由．

22.设函数，是定义域为R的奇函数．
确定k的值；
若，函数，，求的最小值；
若，是否存在正整数，使得对恒成立？若存 

在，请求出所有的正整数；若不存在，请说明理由．

2021年上学期高一期中考试数学答案

一、选择题（本大题共8小题，共40分）

1. 定义集合运算：设，，则集合中的所有元素之和为．

A. 0 B. 2 C. 3 D. 6

【答案】D

【解析】本题考查了元素的性质，元素与集合的关系，属于基础题．
根据题意，结合题目的新运算法则，可得集合中的元素可能的情况；再由集合元素的互异性，可得集合，进而可得答案．
【解答】
解：依题意，，，

当，时，，
当，时，，
当，时，，
当，时，，
则2，，其所有元素之和为6，
故选D．

2. 已知函数则的a的取值范围是     

A.     B.       C.      D.

【答案】D

【解析】本题考查对数函数及其性质、指数函数及其性质和分段函数不等式求解，属于基础题．分区间讨论不等式的解集，取两者之并即可得出原不等式的解集．
【解答】
解：由题意，若，则不等式可化为，解得，
若，则不等式可化为，解得，
故a的取值范围是．
故选D．

3. 若不等式成立的充分条件为，则实数a的取值范围是     

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】本题考查充分条件的判断，属于基础题．
由已知中不等式成立的充分条件是，令不等式的解集为A，可得，可以构造关于a的不等式组，解不等式组即可得到答案．
【解答】
解：不等式成立的充分条件是，
设不等式的解集为A，则，
当时，，不满足要求；
当时，，
若，则
解得．
故选A．

4. 如图在梯形ABCD中，，，设，则       

A.       B.
C.       D.

【答案】D

【解析】本题考查的是向量的运算以及平面向量基本定理的应用，属于基础题，难度不大．
本题利用三角形法则，将所求向量通过转化最后用已知向量表示出来即可．
【解答】
解：取BC中点F，连接FA，
因为在梯形ABCD中，，所以四边形ADCF是平行四边形，
所以，，
则 
 
．
故选D．

5. 已知向量且则   

A. 3 B.  C.  D.

【答案】B

【解析】【分析】

本题考查向量的数量积，考查向量平行及垂直的判断与证明，考查向量的模，考查计算能力，属于基础题．
由题已知计算可得，，即可得，即可得到答案．
【解答】解：由题得向量，，，
且，，
，
，
，，
，，
即，
，
故选B．

6. 已知函数，若，，，则实数的大小关系为  

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】【分析】
本题考查指数对数函数的性质以及函数奇偶性和单调性，属于中档题，首先根据知为偶函数，因为在R上单调递增，然后根据对数指数函数的性质比较大小即可．
【解答】
解：由，知为偶函数，
因为在R上单调递增，
又由，2，，
所以．，
所以．
故选D．

7.纸是生活中最常用的纸规格．A系列的纸张规格特色在于：、、、，所有尺寸的纸张长宽比都相同；在A系列纸中，前一个序号的纸张以两条长边中点连线为折线对折裁剪分开后，可以得到两张后面序号大小的纸，比如1张纸对裁后可以得到2张纸，1张纸对裁可以得到2张纸，依此类推．这是因为A系列纸张的长宽比为这一特殊比例，所以具备这种特性．已知纸规格为厘米厘米．，那么纸的长度为   

A. 厘米 B. 厘米 C. 厘米 D. 厘米

【答案】C

【解析】【分析】
本题考查了指数幂的运算，属于基础题．
根据题意设A4纸的长度为x，，可求解答案．
【解答】
解：设A4纸的长度为x，
，厘米，故选C．

8.若函数在区间上是增函数，且，，则函数在区间上

A. 是增函数 B. 是减函数
C. 可以取得最大值2 D. 可以取得最小值

【答案】C

【解析】【分析】
本题考查三角函数的图像和性质，涉及辅助角公式和诱导公式，属于中档题．
由题意和辅助角公式以及诱导公式得出的图象由得图象向左平移个单位长度所得，然后由图像变换可得答案．
【解答】
  解：，，
的图象由得图象向左平移个单位长度所得．
在区间上是增函数，且，，
令，不妨取，向左平移个单位长度，
即个周期，可得，可取得最大值为2．
故选C ．
二.多项选择题（本大题共4小题,每小题满分5分,少选按2分计算。多选或选错不能得分）

9.已知某样本的容量为50，平均数为70，方差为现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为，方差为，则．

A.  B. ， C.   D.

【答案】AC

【解析】本题主要考查了平均数，方差，属于基础题．
先求出平均数，再，，，得出．
【解答】
解：，

因为，，，

所以．

故选AC．

10.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则角B的值可以为

A.  B.  C.  D.

【答案】BC

【解析】本题主要考查考查解三角形，余弦定理，考查运算求解能力以及化归与转化思想，属于中档题．    根据同角三角函数关系式及余弦定理即可求解．
【解答】
解：由余弦定理得，
因为，所以，
所以，
因为，
所以角B等于或．
故选BC．

11.某工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不得超过，而这种溶液最初的杂质含量为，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少，则使产品达到市场要求的过滤次数可以为参考数据：，

A. 6 B. 9 C. 8 D. 7

【答案】BC

【解析】本题考查实际应用问题，考查对数的运算，属于基础题．
根据题意，设至少需要过滤n次，则，进而可建立不等式，由此可得结论．
【解答】
解：设至少需要过滤n次，则，
即，
所以，
即，
又，所以，
所以使产品达到市场要求的过滤次数可以为8或9．
故选B、C．
12. 已知函数，若的最小值为，则实数a的值可以是   

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】BCD

【解析】本题考查分段函数的最值问题，处理时应对每段函数进行分类讨论，找到每段的最小值，属中档题．
当时，利用基本不等式可知，当时，若为最小值，需使得对称轴满足，且由分段函数，，进而求解即可．
【解答】
解：当，，
当且仅当时，等号成立；
当时，为二次函数，要想在处取最小，
则对称轴要满足，且，
即，解得，
结合选项可知a的值可以是2，3，4，
故选：BCD．
三、填空题（本大题共8小题，共40.0分）

13.为了求函数的一个零点，某同学利用计算器得到自变量x和函数的部分对应值，如下表所示：

则方程的近似解精确度可取________．

【答案】【解析】【分析】
本题考查了函数零点存在定理、用二分法求方程的近似解的相关知识，试题难度较易．
根据函数零点存在定理、用二分法求方程的近似解的相关知识，代值求解即可．
【解答】
解：由题表知，且，
所以方程的一个近似解可取为，
故答案为．
14.已知方程在时有解，求实数a的取值范围________．

【答案】

【解析】本题主要考查了三角函数的同角公式，正弦函数的性质，方程得零点，属于中档题．
方程在时有解，转化为，与有交点，求出函数的值域即可得出a的取值范围．
【解答】
解：方程在时有解，
转化为，与有交点，
所以，，
则．
故答案为．
15.已知函数是定义在R上的奇函数，则的值为________．

【答案】【解析】【分析】
本题考查考查函数的奇偶性，三角函数的性质，辅助角公式，属于中档题．是解题的关键，结合函数是奇函数求出，进而可得答案．
【解答】
解：由题设得是定义在R上的奇函数，则，
由，得
则，．
故答案为．
16.已知函数定义域为D，若满足在D内是单调函数；存在使在上的值域为，那么就称为“半保值函数”，若函数且是“半保值函数”，则t的取值范围为______．

【答案】

【解析】解：函数且是“半保值函数”，
由时，在R上递增，
在递增，可得为R上的增函数；
当时，在R上递减，
在递减，可得为R上的增函数；
为R上的增函数，，
，令，，
即有有两个不同的正根，
可得，且，
解得，
故答案为
本题利用指数函数对数函数的单调性，将题目转化为一元二次函数根的分布问题求解．
本题考查了指数函数、对数函数的单调性以及一元二次函数根的分布问题．属于中档题．
三、解答题（本大题共6小题，共70分，第17题满分10分，其余每题满分12分）

17.已知，．

当k为何值时，与共线

若，且A，B，C三点共线，求m的值．

【答案】解：，．

因为与共线，
所以，
解得．

因为A，B，C三点共线，
所以，即，
所以                解得．

【解析】本题考查向量的坐标运算、向量共线的充要条件．
结合已知易得，再结合向量共线定理可得，解方程即可求出k的值；
由A，B，C三点共线，可得，再结合已知条件可得，据此可求得m的值．
18.已知复数z的共轭复数是，i是虚数单位，且满足．

求复数z；

若复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数m的取值范围．

【答案】解：设复数，则，

于是，
即，    

所以，解得，
即．

故．

由得，

由于复数在复平面内对应的点在第一象限，

所以，
解得 
所以m的取值范围为．

【解析】本题考查了复数的四则运算,复数的模以及复数的几何意义,共轭复数,属于基础

题．
设复数，利用复数的运算以及复数相等求得x，y，即可得到复数z；

由求得复数的实部和虚部，由实部和虚部都大于0解得m的范围．

19.已知
 

化简；

若是第三象限角，且，求的值；

若，求的值．

【答案】解：．

，，

又是第三象限的角，

，．

．

【解析】【试题解析】
本题考查了同角三角函数的基本关系、诱导公式、三角函数的化简求值和证明的相关知识，试题难度一般．
直接利用诱导公式化简即可；
利用诱导公式可得，然后利用同角三角函数关系求出结果；
利用诱导公式求解即可．
20. 中国“一带一路”倡议提出后，某科技企业为抓住“一带一路”带来的机遇，决定开发生产一款大型电子设备，生产这种设备的年固定成本为500万元，每生产x台需要另投入成本万元当年产量不足80台时，万元，当年产量不小于80台时，万元，若每台设备售价为100万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完．

求年利润万元关于年产量台的函数关系式．

年产量为多少台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大？并求出这个最大利润．

【答案】解：当时，，
当时，，
于是．
由可知当时，，
此时当时y取得最大值为万元，
当时，，
当且仅当即时y取最大值为万元，
综上所述，当年产量为90台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大，最大利润为1500万元．

【解析】本题考查函数模型的选择与应用，考查基本不等式，注意解题方法的积累，属于中档题．
通过利润销售收入成本，分、两种情况讨论即可；
通过配方可知当时，当时y取得最大值为万元，利用基本不等式可知当时，当时y取最大值为万元，比较即得结论．
21.如图1所示，在等腰梯形ABCD中，，，垂足为E，，将沿EC折起到的位置，如图2所示，使平面平面ABCE．
 

Ⅰ连结BE，证明：平面；

Ⅱ在棱上是否存在点G，使得平面，若存在，直接指出点G的位置不必说明理由，并求出此时三棱锥的体积；若不存在，请说明理由．

【答案】解：Ⅰ因为平面平面ABCE，平面平面，平面，所以 平面ABCE ，                                      
又因为 平面ABCE，所以   ，                                           
又，满足，
所以 ，
又 ，
所以 平面．
  Ⅱ在棱上存在点G，使得平面，
此时点G为的中点．，      
由Ⅰ知，平面ABCE，所以 ，
又，所以 平面，
所以CE为三棱锥的高，且，      
在中，，G为斜边的中点，
所以 ，
所以 ．
故，在棱上存在点G，使得平面，
此时三棱锥的体积为．

【解析】本题考查了线面垂直的判定，线面平行的判定，三棱锥的体积公式，属于中档题．
Ⅰ易证平面ABCE，可证 ， ，由此即可证明结论；
 Ⅱ由题意可得，再由Ⅰ可得平面，求出，即可利用等积法求出三棱锥的体积．
22.设函数，是定义域为R的奇函数．
确定k的值；
若，函数，，求的最小值；
若，是否存在正整数，使得对恒成立？若存在，请求出所有的正整数；若不存在，请说明理由．

【答案】解：是定义域为R的奇函数，
，代入可得．
由得，是定义域为R的奇函数，
设，，且，

当时，，

当时，在定义域R上单调递增．
当时，
，即，
解得或舍去
则，
当，令，
，
当时，．
由题意得，，
，在恒成立，
，
当时，，
，
令，t在上单调递减，
则，       即
故得所有的正整数的取值为2，3，4，．

【解析】【试题解析】
根据定义域为R的奇函数有，代入可得；
根据知和，函数解析式，可得，在求解的最小值；
由题意得，可得，在恒成立，换元思想，即可求解的范围，求出所有的正整数；
本题主要考查了函数恒成立问题的求解，以及转化思想的应用，二次函数的最值以及单调性的应用．