2022-2023年高考数学压轴题专项练习 专题9 如何求空间坐标系中非特殊点的坐标（试题+解析版）

一、解答题

1．长方形中，，是中点（图1）．将△沿折起，使得（图2）在图2中：

（1）求证：平面平面；

（2）在线段上是否存点，使得二面角为大小为，说明理由．

2．如图所示，在底面为正方形的四棱柱中，.

（1）证明：平面平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

3．如图，在直三棱柱中，、分别为、的中点，，.

（1）求证：平面平面（2）若直线和平面所成角的正弦值等于，求二面角的平面角的正弦值.

4．如图,在几何体中，四边形为矩形，四边形为梯形,,平面与平面垂直，且.

（1）求证：平面；

（2）若,且平面与平面所成锐二面角的余弦值为,求的长.

5．如图，四棱锥，侧面是边长为2的正三角形，且平面平面，底面是的菱形，为棱上的动点，且.

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）试确定的值，使得二面角的平面角余弦值为.

6．如下图，在空间直角坐标系中，正四面体（各条棱均相等的三棱锥）的顶点分别在轴，轴，轴上.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

7．如图，三棱柱中，平面，，.过的平面交于点，交于点.

(l)求证：平面；

(Ⅱ)求证：四边形为平行四边形；

(Ⅲ)若是，求二面角的大小．

8．在等腰梯形中，，将梯形沿着翻折至（如图），使得平面与平面垂直．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．

9．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，PD⊥平面ABCD，PD=AD=3，PM=2MD，AN=2NB，∠DAB=60°．

（1）求证：直线AM∥平面PNC；

（2）求二面角D﹣PC﹣N的余弦值．

10．如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面平面，，，为的中点.

（1）求二面角的正弦值；

（2）若平面，求的值.

11．已知正四棱锥的各条棱长都相等，且点分别是的中点.

（1）求证:；

（2）若平面，且，求的值.

12．如图1 ,在△ABC中，AB=BC=2, ∠B=90°,D为BC边上一点，以边AC为对角线做平行四边形ADCE，沿AC将△ACE折起，使得平面ACE ⊥平面ABC,如图2.

(1)在图 2中，设M为AC的中点，求证:BM丄AE；

(2)在图2中，当DE最小时，求二面角A -DE-C的平面角.

13．（本题分）

如图，和所在的平面互相垂直，且，．

（Ⅰ）求证：．

（Ⅱ）求直线与面所成角的大小的正弦值．

（Ⅲ）求二面角的大小的余弦值．

14．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，为正三角形，且侧面PAB⊥底面ABCD，为线段的中点，在线段上.

（I）当是线段的中点时，求证：PB // 平面ACM；

（II）求证：；

（III）是否存在点，使二面角的大小为60°，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

15．如图，四棱柱的底面是菱形，，，．

（Ⅰ）证明：平面平面；

（Ⅱ）若，直线上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为.若存在，求的值；若不存在，请说明理由．

16．如图所示，三棱柱中，已知侧面.[来

（1）求证：平面；

（2）是棱长上的一点，若二面角的正弦值为，求的长.