2022-2023年高考数学压轴题专项练习 专题14 新背景下的函数、数列、概率问题（试题+解析版）

一、单选题

1．定义：对于一个定义域为的函数，若存在两条距离为的直线和，使得时，恒有，则称在内有一个宽度为的通道。下列函数：

①；②；

③；④.

其中有一个宽度为2的通道的函数的序号为

A. ①②    B. ②③

C. ②④    D. ②③④

2．在实数集R中定义一种运算“ ”，对任意为唯一确定的实数，且具有性质：

（1）对任意；

（2）对任意．

关于函数的性质，有如下说法：①函数的最小值为；②函数为偶函数；③函数的单调递增区间为．其中所有正确说法的个数为（）

A.     B.     C.     D.

3．《九章算术》卷第六《均输》中，提到如下问题：“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升．问中间二节欲均容，各多少？”其中“欲均容”的意思是：使容量变化均匀，即每节的容量成等差数列．在这个问题中的中间两节容量分别是（   ）

A. 升、升    B. 2升、3升    C. 升、升    D. 升、升

4．习总书记在十九大报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛.如图，“大衍数列”：0,2,4,8,12…来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和.下图是求大衍数列前项和的程序框图.执行该程序框图，输入，则输出的（    ）

A. 100    B. 140    C. 190    D. 250

5．九章算术中一文：蒲第一天长3尺，以后逐日减半；莞第一天长1尺，以后逐日增加一倍，则_____天后，蒲、莞长度相等？参考数据：，，结果精确到0.1．（注：蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的2倍．）

A. 2.8    B. 2.6    C. 2.4    D. 2.2

6．已知数列{an}的通项为an＝log(n＋1)(n＋2) (n∈N*)，我们把使乘积a1·a2·a3·…·an为整数的n叫做“优数”，则在(0,2 016]内的所有“优数”的和为 (　　)

 A. 1 024    B. 2 012

C. 2 026    D. 2 036

7．刘徽是一个伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是中国最宝贵的文化遗产，他所提出的割圆术可以估算圆周率，理论上能把的值计算到任意的精度.割圆术的第一步是求圆的内接正六边形的面积.若在圆内随机取一点，则此点取自该圆内接正六边形的概率是（）

A.     B.     C.     D.

8．七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是（   ）

A.     B.     C.     D.

9．游戏《王者荣耀》对青少年的不良影响巨大，被戏称为“王者农药”．某车间50名青年工人都有着不低的游戏段位等级，其中白银段位23人，其余人都是黄金或铂金段位．从该车间随机抽取一名工人，若抽得黄金段位的概率是0.4，则抽得铂金段位的概率是

A. 0.14    B. 0.20    C. 0.40    D. 0.60

二、填空题

10．若直线与曲线满足下列两个条件：

（i)直线在点处与曲线相切；（ii)曲线在点附近位于直线的两侧.则称直线在点处“切过”曲线.

下列命题正确的是__________(写出所有正确命题的编号).

①直线在点处“切过”曲线；

②直线在点处“切过”曲线；

③直线在点处“切过”曲线

④直线在点处“切过”曲线；

⑤直线在点处“切过”曲线.

11．已知函数f(x)及其导数f′(x)，若存在x0，使得f(x0)＝f′(x0)，则称x0是f(x)的一个“巧值点”，则下列函数中有“巧值点”的是________．

①f(x)＝x2；②f(x)＝e－x；③f(x)＝lnx；④f(x)＝tanx；⑤.

12．太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图形图案，它形象化地表达了阴阳轮转，相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种相互转化，相对统一的形式美.按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆被的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（    ）

A.     B.     C.     D.

13．欧阳修《卖油翁》中写到：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿.可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止.若铜钱是直径为的圆面，中间有边长为的正方形孔,若随机向铜钱上滴一滴油，则油滴整体(油滴是直径为0.2的球）正好落入孔中的概率是__________．

三、解答题

14．函数的定义域为，如果存在实数，使得对任意满足且的恒成立，则称为广义奇函数.

（Ⅰ）设函数，试判断是否为广义奇函数，并说明理由；

（Ⅱ）设函数，其中常数，证明是广义奇函数，并写出的值；

（Ⅲ）若是定义在上的广义奇函数，且函数的图象关于直线（为常数）对称，试判断是否为周期函数？若是，求出的一个周期，若不是，请说明理由.

15．如过函数对于定义域内的任意两个数都满足:，那么称函数为下凸函数；而总有时，那么称函数为上凸函数.根据以上定义，判断指数函数（且）在上是否为下凸函数，并说明理由.