2022-2023年高考数学压轴题专项练习 专题3 直击函数压轴题中零点问题（试题+解析版）

一、解答题

1．已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）若在区间内有唯一的零点，证明：.

【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.

【解析】试题分析：（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
（2）依题可知，若在区间内有唯一的零点，由（1）可知，

且，于是：①，②

由①②得，设g(x)＝lnx−，(x∈(0，1))，求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可．

（2）依题可知，若在区间内有唯一的零点，由（1）可知，

且

于是：①

②

由①②得，设，

则，因此在上单调递减，

又，

根据零点存在定理，故.

点睛：本题考查了函数的单调性,零点问题，考查导数的应用以及不等式的证明，零点存在性定理，考查分类讨论思想，转化思想，构造函数的解题方法.

2．设函数f(x)＝x2＋bx－1(b∈R)．

(1)当b＝1时证明：函数f(x)在区间内存在唯一零点；

(2)若当x∈[1,2]，不等式f(x)<1有解．求实数b的取值范围．

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】试题分析：（1）先根据对称轴与定义区间位置关系确定函数f(x)在区间单调性，再根据区间端点函数值异号，结合零点存在定理确定零点个数（2）先分离变量化为对应函数最值问题： ，再根据函数单调性确定函数最小值，即得实数b的取值范围．

(2)由题意可知x2＋bx－1<1在区间[1,2]上有解，

所以b<＝－x在区间[1,2]上有解．

令g(x)＝－x，可得g(x)在区间[1,2]上递减，

所以b<g(x)max＝g(1)＝2－1＝1 ，从而实数b的取值范围为(－∞，1)．

点睛：利用零点存在性定理不仅要求函数的图象在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点

3．已知函数.

（1）若，判断函数的零点个数；

（2）若对任意实数，函数恒有两个相异的零点，求实数的取值范围；

（3）已知R且，，求证：方程

在区间上有实数根.

【答案】⑴见解析;⑵;⑶见解析.

【解析】试题分析：（1）利用判别式定二次函数的零点个数：（2）零点个数问题转化为图象交点个数问题，利用判别式处理即可；（3）方程在区间上有实数根，即有零点，结合零点存在定理可以证明.

试题解析：

⑴

,

当时，，函数有一个零点；

当时，，函数有两个零点

⑶设，

则

,

在区间上有实数根，

即方程在区间上有实数根.

点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路

(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；

(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；

(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．

4．已知函数图象上一点处的切线方程为.

(1)求的值;

(2)若方程在内有两个不等实根,求的取值范围(其中

为自然对数的底).

【答案】(1)a=2,b=1.(2) .

【解析】试题分析：

本题考查函数与方程，函数与导数的综合应用．(1)根据导数的几何意义，得出两个方程，然后求解．(2)先利用导数研究函数h(x)=f(x)+m=2lnx﹣x2+m的单调性，根据单调性与极值点确定关系然后求解．

(2)由（1）得f(x)=2lnx﹣x2，

令h(x)=f(x)+m=2lnx﹣x2+m，

则，

令h'(x)=0，得x=1(x=﹣1舍去)．

故当x∈时，h'(x)＞0，h(x)单调递增；

当x∈(1，e]时，h'(x)＜0，h(x)单调递减．

∵方程h(x)=0在内有两个不等实根，

∴，解得．

∴实数的取值范围为.

点睛：根据函数零点求参数取值或范围的方法

（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；

（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；

（3）利用方程根的分布求解，转化为不等式问题．

（4）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.

5．已知函数，其中为自然对数的底数，

（I）若，函数

①求函数的单调区间

②若函数的值域为,求实数的取值范围

（II）若存在实数,使得，且，求证：

【答案】（1）①详见解析②实数的取值范围是；（2）；

试题解析：

（1）当时，.

①.

由得，由得.

所以函数的单调增区间为，单调减区间为.

②

当时，，所以在区间上单调递减；

当时，，所以在区间上单调递增.

在上单调递减，值域为,

因为的值域为，所以，

即.  

（2）.

若时，，此时在上单调递增.

由可得，与相矛盾，

同样不能有.

不妨设，则有.

因为在上单调递减，在上单调递增，且，

所以当时，.

由，且，可得

故.

又在单调递减，且，所以，

所以，同理.

即解得，

所以.

点睛：本题考查函数的单调性极值及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度大，属于难题.处理导数大题时，注意分层得分的原则，力争第一二问答对，第三问争取能写点，一般涉及求函数单调性及极值时，比较容易入手，求导后注意分类讨论，对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数导数求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要多加体会.

6．已知函数.

（1）当时，求在上的值域；

（2）试求的零点个数，并证明你的结论.

【答案】（1）（2）当时，只有一个零点；当时，有两个零点．

（2）原方程等价于实根的个数，原命题也等价于在上的零点个数，讨论，，，三种情况，分别利用导数研究函数的单调性，结合函数图象与零点存在定理可得结果.

试题解析：（1）当时，，则，

而在上恒成立，所以在上递减，

，，

所以在上存在唯一的，使得，而且

当时，，递增；当时，递减；

所以，当时，取极大值，也是最大值，即，

，

所以，在上的值域为.

（I）若，则

当时，恒成立，则没有零点；

当时，，，又在上单调递增的，所以有唯一的零点。

（II）若，则

当时，恒成立，则没有零点；

当时，，，又在上单调递增的，所以有唯一的零点

（III）若，则

当时，由，则，

则取，则，又，所以在有唯一的零点，

当时，，

，又在上单调递增的，所以有唯一的零点

综上所述，当时，只有一个零点；当时，有两个零点．

7．已知函数

（1）若不等式恒成立，则实数的取值范围；

（2）在（1）中，取最小值时，设函数.若函数在区间上恰有两个零点，求实数的取值范围；

（3）证明不等式：（且）.

【答案】(1)；(2)；(3)证明见解析.

(2)由(1)可知，，当时，，

，

在区间上恰有两个零点，即关于的方程在区间上恰有两个实数根. 整理方程得，，令，， 令，，

则，，于是，在上单调递增.

因为，当时，，从而，单调递减，

当时，，从而，单调递增， 

，，，

因为，所以实数的取值范围是.  

(3)由(1)可知，当时，有，

当且仅当时取等号.

令，则有，其中. 

整理得：，  

当时，

，， ，，

上面个式子累加得：.且，

即.命题得证

8．已知函数，其中.

（1）设，讨论的单调性；

（2）若函数在内存在零点，求的范围.

【答案】（1）见解析；（2）的取值范围是.

解析：（1）定义域

故  则

若，则  在 上单调递减；

若，则  .

（i） 当 时，则   ，因此在 上恒有 ，即 在 上单调递减；

（ii）当时，，因而在上有，在上有  ；因此 在 上单调递减，在单调递增.

（ii）当，考察函数 ，由于 在 上必存在零点.设在 的第一个零点为，则当时，，故 在 上为减函数，又 ，

所以当 时， ，从而 在 上单调递减，故在 上恒有 。即 ，注意到 ，因此，令时，则有，由零点存在定理可知函数 在 上有零点，符合题意.

点睛：导数中函数的含参数的问题的讨论，需要考虑下面的几个方面：（1）把导函数充分变形，找出决定导数符号的核心代数式，讨论其零点是否存在，零点是否在给定的范围中；（2）零点不容易求得时，需要结合原函数的形式去讨论，有时甚至需要把原函数放缩去讨论，常见的放缩有等；（3）如果导数也比较复杂，可以进一步求导，讨论导函数的导数.

9．设函数，（）.

（1）当时，若函数与的图象在处有相同的切线，求的值；

（2）当时，若对任意和任意，总存在不相等的正实数，使得，求的最小值；

（3）当时，设函数与的图象交于两点．求证：.

【答案】（1）（2）（3）见解析

【解析】试题分析：（1）由导数几何意义可得，又，解方程组可得的值；（2）先转化条件为对应方程有两个不等实根，再根据实根分布充要条件列不等式组，解得的最小值；(3)先根据零点表示b，代入要证不等式化简得.再构造函数，以及，结合导数研究其单调性，即证得结论

（2）当时，则，又，设，

则题意可转化为方程在上有相异两实根． 

即关于的方程在上有相异两实根．

所以，得，

所以对恒成立．                     

因为，所以（当且仅当时取等号），

又，所以的取值范围是，所以．

故的最小值为.                                                      

（3）当时，因为函数与的图象交于两点，

所以，两式相减，得.          

要证明，即证，

即证，即证.                

令，则，此时即证．

令，所以，所以当时，函数单调递增．

又，所以，即成立；

再令，所以，所以当时，函数单调递减，

又，所以，即也成立．

综上所述， 实数满足.

点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.

10．已知函数.

（Ⅰ）讨论的单调性;

（Ⅱ）当函数有两个不相等的零点时,证明:  .

【答案】(1)见解析(2)见解析

试题解析：（Ⅰ）当时，在单调递增；

当时，在单调递减；在单调递增；

点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略

(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.

11．已知．

（1）讨论的单调性；

（2）若存在及唯一正整数，使得，求的取值范围．

【答案】（1）的单调递减区间是，单调递增区间是;(2) 的取值范围是.

【解析】试题分析：

（1）          求出函数的导函数，通过对导函数符号的讨论可得函数的单调性．（2）由题意得函数在上的值域为．结合题意可将问题转化为当时，满足的正整数解只有1个．通过讨论的单调性可得只需满足，由此可得所求范围．

（2）         

（2）由（1）知当时，取得最小值，

又，

所以在上的值域为．

因为存在及唯一正整数，使得，

所以满足的正整数解只有1个．

因为，

所以，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以，即，

解得．

所以实数的取值范围是．

点睛：本题中研究方程根的情况时，通过导数研究函数的单调性、最大（小）值、函数图象的变化趋势等，根据题目画出函数图象的草图，通过数形结合的思想去分析问题，使问题的解决有一个直观的形象，然后在此基础上再转化为不等式（组）的问题，通过求解不等式可得到所求的参数的取值（或范围）．

12．设函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）若存在、满足.求证：（其中为的导函数）

【答案】（1）见解析（2）见解析

试题解析：

（1）由题知.

当，此时函数在单调递增，在单调递减.

当，此时函数在单调递增.

（2）因为，由（1）知

不妨设，由得，

即，

所以.

，总成立，

原题得证.

点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用

13．已知函数.

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）当时，若在上有零点，求实数的取值范围.

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）

试题解析：

解：（Ⅰ）函数的定义域为，

.

由得或.

当时，在上恒成立，

所以的单调递减区间是，没有单调递增区间.

当时，的变化情况如下表：

所以的单调递增区间是，单调递减区间是.

当时，的变化情况如下表：

所以的单调递增区间是，单调递减区间是.

点睛：根据函数零点求参数取值，也是高考经常涉及的重点问题，

（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；

（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；

（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.

14．已知函数，其中为自然对数的底数.

（1）若函数在区间上是单调函数，试求实数的取值范围；

（2）已知函数，且，若函数在区间上恰有3个零点，求实数的取值范围．

【答案】(1) (2)

【解析】试题分析：（1）函数在区间上单调递增等价于在区间上恒成立，可得，函数在区间单调递减等价于在区间上恒成立，可得，综合两种情况可得结果；（2），由，知在区间内恰有一个零点，设该零点为，则在区间内不单调，所以在区间内存在零点，同理，在区间内存在零点，所以只需在区间内恰有两个零点即可，利用导数研究函数的单调性，结合函数单调性讨论的零点，从而可得结果．

（2）．

由，知在区间内恰有一个零点，

设该零点为，则在区间内不单调，

所以在区间内存在零点，

同理，在区间内存在零点，

所以在区间内恰有两个零点．

由（1）知，当时，在区间上单调递增，故在区间内至多有一个零点，不合题意．

当时，在区间上单调递减，

故在内至多有一个零点，不合题意；

所以．

15．已知函数，其中.

（1）设，讨论的单调性；

（2）若函数在内存在零点，求的范围.

【答案】（1）见解析；（2）的取值范围是.

【解析】试题分析：（1）求导可以得到，分三种情况讨论导数的符号.（2）计算可以得到，其导数为，我们需要讨论的符号，故需再构建新函数，其导数为，结合原函数的形式和的形式，我们发现当时恒成立；当时，在上有极小值点 ，结合可知 在上有零点；当时，恒成立，结合可知， 在上也是恒成立的，故而在上递增恒成立.

（i） 当 时，则   ，因此在 上恒有 ，即 在 上单调递减；

（ii）当时，，因而在上有，在上有  ；因此 在 上单调递减，在单调递增.

（2）设 ,

，

设，

则 .

先证明一个命题：当时，.令，，故在上是减函数，从而当时，，故命题成立.

若 ,由 可知，.，故 ，对任意都成立，故 在上无零点，因此.

（ii）当，考察函数 ，由于 在 上必存在零点.设在 的第一个零点为，则当时，，故 在 上为减函数，又 ，

所以当 时， ，从而 在 上单调递减，故在 上恒有 。即 ，注意到 ，因此，令时，则有，由零点存在定理可知函数 在 上有零点，符合题意.

点睛：导数中函数的含参数的问题的讨论，需要考虑下面的几个方面：（1）把导函数充分变形，找出决定导数符号的核心代数式，讨论其零点是否存在，零点是否在给定的范围中；（2）零点不容易求得时，需要结合原函数的形式去讨论，有时甚至需要把原函数放缩去讨论，常见的放缩有等；（3）如果导数也比较复杂，可以进一步求导，讨论导函数的导数.

16．已知函数（且）

（1）若，求函数的单调区间；

（2）当时，设，若有两个相异零点，求证：.

【答案】(1) 当时，函数的单调增区间是，单调减区间是，当时，函数的单调增区间是，单调减区间是.(2)见解析.

【解析】试题分析：（1）由知分，两种情况讨论即得解；（2），设的两个相异零点为，设，因为，，所以，，相减得，相加得.要证，即证，即，即，换元设上式转化为.构造函数

求导研究单调性即可得证.

（2），设的两个相异零点为，

设，

∵，，

∴，，

∴，.

要证，即证，

即，即，

设上式转化为.

设，∴，∴在上单调递增，

∴，∴，∴.

点睛：本题考查了利用导数研究函数单调性，考查了分类讨论的思想，考查了不等式的证明，利用零点的式子进行变形，采用变量集中的方法构造新函数即可证明，综合性强属于中档题

17．设函数.

（1）求函数的单调递减区间；

（2）若关于的方程在区间内恰有两个相异的实根，求实数的取值范围.

【答案】(1) 函数的单调递增区间为;(2)的取值范围是.

试题解析：

（1）函数的定义域为

∵

∵，则使的的取值范围为，

故函数的单调递减区间为

故在区间内恰有两个相异实根

即，解得：

综上所述，的取值范围是