2022-2023年高考数学压轴题专项练习 专题7 如何由数量前n项和Sn求数量通项an（试题+解析版）

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一、单选题1．已知是上的奇函数，，则数列的通项公式为（）．A. B. C. D. [【答案】C点睛：本题首先考查函数的基本性质，借助函数性质处理数列问题问题，十分巧妙，对数学思维的要求比较高，奇函数的应用与数列第一项联系起来，就知道该怎么对x赋值了，继续推导，要求学生理解f（t）+f（1-t）=2．本题有一定的探索性，难度大.2．设是数列的前项和，且，则=（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题意可得：，考查所给选项：，则选项B错误；当时：，即，考查ACD选项：,则选项AC错误，本题选择D选项.点睛：给出与的递推关系，求an，常用思路是：一是利用转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an.3．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足4(n＋1)(Sn＋1)＝(n＋2)2an，则数列{an}的通项公式an等于(　　)A. (n＋1)3B. (2n＋1)2C. 8n2D. (2n＋1)2－1【答案】A点睛：本题主要考查数列通项与前项和之间的关系以及累乘法求通项，属于中档题.已知求的一般步骤：（1）当时，由求的值；（2）当时，由，求得的表达式；（3）检验的值是否满足（2）中的表达式，若不满足则分段表示；（4）写出的完整表达式. 二、填空题4．设是数列的前项和，且，，则____．【答案】当时， ，当时，．点晴：本题考查求数列的通项，数列的求和 ，数列递推式，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题5．在数列中，，，则数列的通项公式___________.【答案】【解析】：∵，，时，，∴化为：．∴．∴．6．若数列是正项数列，且，则_______；【答案】【解析】由题意得，所以点睛：给出与的递推关系求，常用思路是：一是利用转化为的递推关系，再求其通项公式；二是转化为的递推关系，先求出与之间的关系，再求. 应用关系式时，一定要注意分两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.7．如果数列{an}的前n项和Sn＝2an－1，则此数列的通项公式an＝______________.【答案】2n-1(n∈N*)点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．8．已知数列 的前项和，则数列的前项和_________.【答案】【解析】已知数列的前项和，（n）两式作差得到.故得到故答案为：。点睛：这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等。 三、解答题9．已知等差数列的公差为2，其前项和（，）.（1）求的值及的通项公式；（2）在等比数列中，，，令（），求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由求得的值及的通项公式；（2）由题意可得：，分奇偶项讨论，分组求和即可.试题解析（1），，，，当时，是偶数，.10．已知数列满足，数列的前项和为，.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由可得当时，，两式相减可以得到，利用累乘法内求出数列的通项公式；（2）由，得，相减得，可得，利用错位相减法求解即可.（2）由，得相减得，所以数列是以3为首项2为公比的等比数列，所以所以，所以作差可得，所以.11．已知是数列的前n项和，并且，对任意正整数n，；设. (Ⅰ) 证明：数列是等比数列，并求的通项公式；(Ⅱ) 设，求证: 数列不可能为等比数列。【答案】（Ⅰ）. （Ⅱ）见解析.【解析】试题分析：（I）由Sn+1=4an+2，知Sn=4an﹣1+2（n≥2），所以an+1=4an﹣4an﹣1（n≥2），由此可知bn=3•2n﹣1（n∈N*）．（II）由题意知，利用反证法证明数列不可能为等比数列．（Ⅱ），假设为等比数列，则有，， 则有 与矛盾，所以假设不成立，则原结论成立，即: 数列不可能为等比数列.12．各项均为正数的数列的前项和为，满足[1）求数列的通项公式；（2）令，若数列的前项和为，求的最小值.【答案】(1) ;(2) 最小值为.【解析】试题分析：（1），解得或（舍去）由求即得解（2），故，因为是递增的，所以，构造研究单调性，得的单调性，即可求得最小值.13．已知数列{an}中，a1＝1，其前n项的和为Sn，且满足.(1)求证：数列是等差数列；(2)证明：当n≥2时，.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】试题分析：（1）当n≥2时，Sn﹣Sn﹣1=⇒Sn﹣Sn﹣1=2Sn•Sn﹣1（n≥2），取倒数，可得，利用等差数列的定义即可证得数列是等差数列；（2）由（1）可知，Sn=．n≥2时裂项求和可得最终结果。(2)由(1)可知，＝＋(n－1)×2＝2n－1，∴Sn＝，∴当n≥2时，Sn=从而S1＋S2＋S3＋…＋Sn点睛：本题考查数列递推式的应用，考查等差数列的判定，考查等价转化思想，突出裂项法、放缩法应用的考查，属于难题。数列通项的求法中有常见的已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等。14．设数列{}满足(1)求{}的通项公式;(2)数列满足,求数列的前n项和【答案】(1) (2).【解析】试题分析： (1)时,，两式相减,即可得数列的通项公式；(2),利用等比数列的前项和公式求和即可.(2)由=得,+1++==∴数列的前项和.15．已知是等比数列，满足，且.（Ⅰ）求的通项公式和前项和；（Ⅱ）求的通项公式.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).【解析】试题分析：（I）由，令可解得，，从而可得的通项公式和前项和；（II）结合（I）的结论，可得，从而得时，，两式相减、化简即可得的通项公式.（Ⅱ）由及得， 时，， ， ， ，的通项公式为.，