专题04二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质（教师版含解析）-2022年初升高数学衔接讲义（第1套）

专题04二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质

确定二次函数的图象，主要应抓住：抛物线的开口方向、顶点位置、对称轴以及与两坐标轴的交点.解决二次函数的问题，通常利用配方法和数形结合思想求解，先画出二次函数的图象，根据题中所给的区间观察函数的单调区间，再利用函数的单调区间研究最值等问题.

二次函数是初中数学的一个重要内容，是中考重点考查的内容，也是高考必考内容，同时还是一个研究函数性质的很好的载体，因此做好二次函数的初高中衔接至关重要，初中阶段对二次函数的要求，是立足于用代数方法来研究，比如配方结合顶点式，描述函数图象的某些特征(开口方向、顶点坐标、对称轴、最值)等；再比如待定系数法，通过解方程组的形式来求二次函数的解析式.

高中的函数立足于集合观点，对二次函数的学习要求明显提高，二次函数的研究更侧重于数形结合、分类讨论等思想方法.

问题  函数y＝ax2与y＝x2的图象之间存在怎样的关系？

为了研究这一问题，我们可以先画出y＝2x2，y＝x2，y＝－2x2的图象，通过这些函数图象与函数y＝x2的图象之间的关系，推导出函数y＝ax2与y＝x2的图象之间所存在的关系．

先画出函数y＝x2，y＝2x2的图象．

先列表：

从表中不难看出，要得到2x2的值，只要把相应的x2的值扩大两倍就可以了．

再描点、连线，就分别得到了函数y＝x2，y＝2x2的图象(如图2－1所示)，从图2－1我们可以得到这两个函数图象之间的关系：函数y＝2x2的图象可以由函数y＝x2的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到．

同学们也可以用类似于上面的方法画出函数y＝x2，y＝－2x2的图象，并研究这两个函数图象与函数y＝x2的图象之间的关系．

通过上面的研究，我们可以得到以下结论：

二次函数y＝ax2(a≠0)的图象可以由y＝x2的图象各点的纵坐标变为原来的a倍得到．在二次函数y＝ax2(a≠0)

函数y＝a(x＋h)2＋k与y＝ax2的图象之间存在怎样的关系？

同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系．同学们可以作出函数y＝2(x＋1)2＋1与y＝2x2的图象(如图2－2所示)，从函数的同学我们不难发现，只要把函数y＝2x2的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，就可以得到函数y＝2(x＋1)2＋1的图象．这两个函数图象之间具有“形状相同，位置不同”的特点．

类似地，还可以通过画函数y＝－3x2，y＝－3(x－1)2＋1的图象，研究它们图象之间的相互关系．

通过上面的研究，我们可以得到以下结论：

二次函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)中，a决定了二次函数图象的开口大小及方向；h决定了二次函数图象的左右平移，而且“h正左移，h负右移”；k决定了二次函数图象的上下平移，而且“k正上移，k负下移”．

由上面的结论，我们可以得到研究二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的方法：

由于y＝ax2＋bx＋c＝a(x2＋)＋c＝a(x2＋＋)＋c－

   ，

所以，y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象可以看作是将函数y＝ax2的图象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)具有下列性质：

(1)当a＞0时，函数y＝ax2＋bx＋c图象开口向上；顶点坐标为，对称轴为直线x＝－；当x＜时，y随着x的增大而减小；当x＞时，y随着x的增大而增大；当x＝时，函数取最小值y＝．

(2)当a＜0时，函数y＝ax2＋bx＋c图象开口向下；顶点坐标为，对称轴为直线x＝－；当x＜时，y随着x的增大而增大；当x＞时，y随着x的增大而减小；当x＝时，函数取最大值y＝．

【典型例题】

二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论个数是　　

A．1个 B．2 个 C．3 个 D．4 个

【变式训练】

下列说法错误的是(    )

A．二次函数y=－2x2中，当x=0时，y有最大值是0

B．二次函数y=4x2中，当x>0时，y随x的增大而增大

C．在三条抛物线y=2x2，y=－0.5x2，y=－x2中，y=2x2的图象开口最大，y=－x2的图象开口最小

D．不论a是正数还是负数，抛物线y=ax2(a≠0)的顶点一定是坐标原点

【能力提升】

抛物线y=x2，y=﹣3x2，y=﹣x2，y=2x2的图象开口最大的是(　　)

A．y=x2    B．y=﹣3x2    C．y=﹣x2    D．y=2x2

【典型例题】

如图，已知抛物线C1：y＝﹣x2+4，将抛物线C1沿x轴翻折，得到抛物线C2

(1)求出抛物线C2的函数表达式；

(2)现将抛物线C1向左平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A，B；将抛物线C2向右也平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为N，与x轴交点从左到右依次为D，E．在平移过程中，是否存在以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由．

【变式训练】

如图，抛物线轴的负半轴相交于点，将抛物线平移得到抛物线相交于点，直线于点，且.

(1)求点的坐标；

(2)写出一种将抛物线平移到抛物线的方法；

(3)在轴上找点，使得的值最小，求点的坐标.

【能力提升】

已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B(﹣1，0)和点C(2，3)．

(1)求此抛物线的函数表达式；

(2)如果此抛物线上下平移后过点(﹣2，﹣1)，试确定平移的方向和平移的距离．

1．点在抛物线上，若，关于a，b的数量关系，下列描述正确的是(    )

A． B． C． D．无法确定

2．若a、b是关于x的方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4＝0的两实根，则(a+2)(b+2)的最小值为(　　)

A．7 B．10 C．14 D．16

3．如图，在平面直角坐标系中，有一系列的抛物线(为正整数)，若和的顶点的连线平行于直线，则该条抛物线对应的的值是(    )

A．8 B．9 C．11 D．10

4．关于抛物线，有以下结论：①当时，抛物线过原点；②抛物线必过点；③顶点的纵坐标最大值为1；④若当时，，当时，随的增大而减小，则的取值范围是．错误结论的序号是(    )

A．① B．② C．③ D．④

5．对于二次函数的图象，下列说法正确的是(    )

A．开口向下 B．对称轴是直线

C．有最大值为2 D．当时，随增大而增大

6．已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是直线x=1，其部分图象如图所示，下列说法中：①abc<0；②4a−2b+c<0；③若A(，y1)、B(，y2)、C(，y3)是抛物线上的三点，则有；④若m，n()为方程的两个根，则且，以上说法正确的有(    )

A．①②③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③

7．如图，抛物线y＝a(x+3)(x﹣k)交x轴于点A、B，(A左B右)，交y轴于点C，△AOC的周长为12，sin∠CBA＝，则下列结论：①A点坐标(﹣3，0)；②a＝﹣；③点B坐标(8，0)；④对称轴x＝．其中正确的有(　　)个．

A．4 B．3 C．2 D．1

8．如图，直线y＝2x与直线x＝2相交于点A，将抛物线y＝x2沿线段OA从点O运动到点A，使其顶点始终在线段OA上，抛物线与直线x＝2相交于点P，则点P移动的路径长为(　　)

A．4 B．3 C．2 D．1

9．王芳将如图所示的三条水平直线，，的其中一条记为x轴(向右为正方向)，三条竖直直线，，的其中一条记为y轴(向上为正方向)，并在此坐标平面内画出了抛物线，则她所选择的x轴和y轴分别为(　　)

A．，

B．，

C．，

D．，

10．在平面直角坐标系中，O 为原点，抛物线y＝－x2＋3x 的对称轴l 交x 轴于点M，直线 y＝mx－2m(m＜0)与该抛物线x 轴上方的部分交于点A，与l 交于点B，过点A 作AN⊥x 轴，垂足为N，则下列线段中，长度随线段ON 长度的增大而增大的是(      )

A．AN B．MN C．BM D．AB

11．已知函数y＝，若使y＝k成立的x的值恰好有三个，则k的值为_____．

12．已知一个二次函数的图象形状与抛物线相同，且顶点坐标为，则这个二次函数的解析式为_____________．

13．设A(-2，y1)，B(1，y2)，C(2，y3)是抛物线y=-(x+1)2+3上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为______________________．

14．设，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为________．

15．若A(m-2，n)，B(m+2，n)为抛物线上两点，则n=_______．

16．函数的最小值是_____．

17．已知点都在二次函数上，的横坐标分别为，过点分别向轴、轴作垂线，垂足分别为，当点在线段上时，的值为___________．

18．定义符号的含义为：当时，；当时，如：，=则的最大值是______．

19．已知当x=m和x=n时，多项式x2﹣4x+1的值相等，且m≠n，则当x=m+n﹣3时多项式x2﹣4x+1的值为_____．

20．如图，正方形ABCD的边长为a，点E在边AB上运动(不与点A，B重合)，∠DAM＝45°，点F在射线AM上，且AF＝BE，CF与AD相交于点G，连接EC、EF、EG．则下列结论：①∠ECF＝45°；②△AEG的周长为(1+)a；③BE2+DG2＝EG2；④△EAF的面积的最大值是a2；⑤当时BE＝a，G是线段AD的中点．其中正确的结论是_____．

21．已知函数y＝(k﹣2)是关于x的二次函数，求：

(1)满足条件的k的值；

(2)当k为何值时，抛物线有最高点？求出这个最高点，这时，x为何值时，y随x的增大而增大？

(3)当k为何值时，函数有最小值？最小值是多少？这时，当x为何值时，y与x的增大而减小？

22．定义新运算：对于任意实数m，n都有，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算．例如：．根据以上知识解决问题：

(1)若，求x的值；

(2)求抛物线的顶点坐标；

(3)将(2)中的抛物线绕着原点旋转，写出得到的新的抛物线解析式．

23．(1)先填表，并在同一直角坐标系中画出二次函数和的图象；

(2)分别写出它们顶点坐标．

24．已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3．

(1)求该二次函数的图象与x轴的交点坐标．

(2)当﹣1≤x≤5时，则y的范围是　  　≤y≤　   　(直接写出答案)．

25．如图，有四张背面完全相同的卡片，，，，其中正面分别写着四个不同的函数表达式，将四张卡片洗匀正面朝下随机放在桌面上．

(1)从四张卡片中随机摸出一张，摸出的卡片上的函数随的增大而减小的概率是______；

(2)小亮和小强用这四张卡片做游戏，规则如下：两人同时从四张卡片中各随机抽出一张，若抽出的两张卡片上的函数增减性相同，则小亮胜；若抽出的两张卡片上的函数增减性不同，则小强胜．这个游戏公平吗？请说明理由．

26．在平面直角坐标系中，已知抛物线和直线l:y=kx+b，点A(-3,-3)，B(1,-1)均在直线l上．

(1)若抛物线C与直线l有交点，求a的取值范围；

(2)当a=-1，二次函数的自变量x满足m≤x≤m+2时，函数y的最大值为-4，求m的值；

(3)若抛物线C与线段AB有两个不同的交点，请直接写出a的取值范围．

27．已知抛物线与轴有两个不同的交点.

(1)求的取值范围；

(2)若抛物线经过点和点，试比较与的大小，并说明理由.

28．已知抛物线经过点、．

(1)求抛物线的表达式；

(2)把表达式化成的形式，并写出顶点坐标与对称轴．

29．已知二次函数．

(1)用配方法把该二次函数的解析式化为的形式；

(2)写出该二次函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴，并说明函数值y随自变量x的变化而变化的情况．

30．已知抛物线y＝ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A(1，0)和点B(3，0)，且过点C(0，﹣3)．

(1)求抛物线的表达式；

(2)若这条抛物线平移后的顶点落在x轴上，请写出一种平移的方法，并写出平移后的抛物线的表达式．