专题03一元二次方程（教师版含解析）-2022年初升高数学衔接讲义（第1套）

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专题03一元二次方程
专题综述课程要求

1.一元二次方程根与系数的关系的推导是在求根公式的基础上进行.它深化了两根的和与积同系数之间的关系，是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，必须熟记，为高中阶段的使用打下基础.
2.一元二次方程根与系数的关系的探索与推导，向我们展示了认识事物的一般规律，提倡积极思维，勇于探索，锻炼我们分析、观察、归纳的能力及推理论证的能力.
3.一元二次方程的根与系数的关系，中考考查的频率较高，高考也常与几何、二次函数等问题结合考查，是考试的热点，它是方程理论的重要组成部分.
4.韦达定理的原定理的功能是：若已知一元二次方程，则可写出该方程的两根之和的值及两根之积的值.而其逆定理的功能是：若已知一元二次方程的两个根，可写出这个方程.
课程要求

《初中课程要求》
能熟练利用一元二次方程根的判别式去判断根的个数，简单地介绍了韦达定理
《高中课程要求》
熟练掌握求根公式求根和对含参数判别式的处理能力，会灵活使用韦达定理解决各种问题

知识精讲


高中必备知识点1：根的判别式

我们知道，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，用配方法可以将其变形为
．①
因为a≠0，所以，4a2＞0．于是
(1)当b2－4ac＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根
x1，2＝；
(2)当b2－4ac＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根
x1＝x2＝－；
(3)当b2－4ac＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根．
由此可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情况可以由b2－4ac来判定，我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．
综上所述，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，有
(1)当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根
x1，2＝；
(2)当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根
x1＝x2＝－；
(3)当Δ＜0时，方程没有实数根．

高中必备知识点2：根与系数的关系(韦达定理)

若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个实数根
，，
则有
；
．
所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：
如果ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根分别是x1，x2，那么x1＋x2＝，x1·x2＝．这一关系也被称为韦达定理．
特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x2＋px＋q＝0，若x1，x2是其两根，由韦达定理可知
x1＋x2＝－p，x1·x2＝q，
即p＝－(x1＋x2)，q＝x1·x2，
所以，方程x2＋px＋q＝0可化为x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0，由于x1，x2是一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根，所以，x1，x2也是一元二次方程x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．
典例剖析


高中必备知识点1：根的判别式

【典型例题】
关于x的一元二次方程x2-(m-1)x+2m-1=0，其根的判别式为16，求m的值．
【答案】m1=11，m2=-1．
【解析】
由题意得，
△=[-(m-1)]2-4(2m-1)=16，
整理得，m2-10m-11=0，
解得：m1=11，m2=-1．

【变式训练】
已知关于x的一元二次方程mx2-(m+2)x+2=0
(1)若方程的一个根为3，求m的值及另一个根；
(2)若该方程根的判别式的值等于1，求m的值．
【答案】(1)m=23；即原方程的另一根是1；(2) m=1，m=3．
【解析】
(1)设方程的另一根是x2．
∵一元二次方程mx2﹣(m+2)x+2=0的一个根为3，
∴x=3是原方程的解，
∴9m﹣(m+2)×3+2=0，
解得m=；
又由韦达定理，得3×x2=，
∴x2=1，即原方程的另一根是1；
(2)∵△=(m+2)2﹣4×m×2=1
∴m=1，m=3．
【能力提升】
方程(x﹣5)(2x﹣1)=3的根的判别式b2﹣4ac= ．
【答案】105
【解析】
先把方程(x﹣5)(2x﹣1)=3化为一元二次方程的一般形式，再求出根的判别式即可．
方程(x﹣5)(2x﹣1)=3化为一元二次方程的一般形式为：2x2﹣11x+2=0，
故△=b2﹣4ac=(﹣11)2﹣4×2×2=105．


高中必备知识点2：根与系数的关系(韦达定理)

【典型例题】
如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．
(1)请问一元二次方程x2﹣6x+8＝0是倍根方程吗？如果是，请说明理由．
(2)若一元二次方程x2+bx+c＝0是倍根方程，且方程有一个根为2，求b、c的值．
【答案】(1)该方程是倍根方程，理由见解析；
(2)当方程根为1，2时， b＝﹣3，c＝2；当方程根为2，4时b＝﹣6，c＝8．
【解析】
(1)该方程是倍根方程，理由如下：
x2﹣6x+8＝0，解得x1＝2，x2＝4，
∴x2＝2x1，
∴一元二次方程x2﹣6x+8＝0是倍根方程；
(2)∵方程x2+bx+c＝0是倍根方程，且方程有一个根为2，
∴方程的另一个根是1或4，
当方程根为1，2时，﹣b＝1+2，解得b＝﹣3，c＝1×2＝2；
当方程根为2，4时﹣b＝2+4，解得b＝﹣6，c＝2×4＝8．

【变式训练】
求方程x2﹣2x﹣2＝0的根x1，x2(x1＞x2)，并求x12+2x2的值．
【答案】6
【解析】
方程x2﹣2x﹣2＝0的根x1，x2，
，
∴

【能力提升】
已知关于x的一元二次方程x2+(2m+3)x+m2＝0有两根α，β
(1)求m的取值范围；
(2)若α+β+αβ＝0．求m的值．
【答案】(1)m≥﹣34；(2)m的值为3．
【解析】
(1)由题意知，(2m+3)2﹣4×1×m2≥0，
解得：m≥﹣34；
(2)由根与系数的关系得：α+β＝﹣(2m+3)，αβ＝m2，
∵α+β+αβ＝0，
∴﹣(2m+3)+m2＝0，
解得：m1＝﹣1，m1＝3，
由(1)知m≥﹣34，
所以m1＝﹣1应舍去，
m的值为3．
对点精练


1．若直线y＝n截抛物线y＝x2+bx+c所得线段AB＝4，且该抛物线与x轴只有一个交点，则n的值为(　　)
A．﹣1 B．2 C．25 D．4
【答案】D
解：∵抛物线与x轴只有一个交点，
∴b2﹣4c＝0，
设A、B的交点的横坐标为x1、x2，
∴x1、x2是方程x2+bx+c＝n的两个根，
∴x1+x2＝﹣b，x1x2＝c﹣n，
∵AB＝4，
∴|x1﹣x2|＝4，
∴(x1﹣x2)2＝(x1+x2)2﹣4x1x2＝16，
∴(﹣b)2﹣4(c﹣n)＝16，即b2﹣4c+4n＝16，
∴4n＝16，
∴n＝4，
故选：D．
2．若实数a(a≠0)满足a﹣b＝3，a+b+1＜0，则方程ax2+bx+1＝0根的情况是( )
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．无实数根 D．有两个实数根
【答案】B
解：在方程ax2+bx+1＝0中，△=b2﹣4a，
∵a﹣b＝3，
∴a＝3+b，代入a+b+1＜0和b2﹣4a得，
b＜﹣2，b2﹣4(3+b)= b2﹣4b﹣12= (b+2)(b﹣6)
∵b+2＜0， b-6＜0，
∴(b+2)(b-6) ＞0，
所以，原方程有有两个不相等的实数根；
故选：B．
3．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于(x1，0)、(x2，0)两点，且0＜x1＜1，1＜x2＜2，与y轴交于点(0，﹣2)．下列结论：①2a+b＞1；②3a+b＞0；③a﹣b＜2；④a＜﹣1．其中正确结论的个数为(　　)
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
解：如图：
0＜x1＜1，1＜x2＜2，并且图象与y轴相交于点(0，﹣2)，
可知该抛物线开口向下即a＜0，c＝﹣2，
①当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，即4a+2b＜﹣c；
∵c＝﹣2，
∴4a+2b＜2，
∴2a+b＜1，
故结论①错误；
②∵0＜x1＜1，1＜x2＜2，
∴1＜x1+x2＜3，
又∵x1+x2＝，
∴1＜＜3，
∴3a+b＜0，
故结论②错误；
③当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，
∵c＝﹣2，
∴a﹣b＜﹣c，
即a﹣b＜2，
故结论③正确；
④∵0＜x1x2＜2，x1x2＝＜2，
又∵c＝﹣2，
∴a＜﹣1．
故结论④正确．
故选：C．

4．如图，这是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点…，第行有个点…，前行的点数和不能是以下哪个结果 ( )

A．741 B．600 C．465 D．300
【答案】B
解：通过观察图形可知：
第一行有1个点，第二行有2个点…第n行有n个点，
则前5行共有(1＋2＋3＋4＋5)个点，
前10行共有(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10)个点，
前n行共有1＋2＋3＋4＋5＋…＋n＝n(n＋1)个点，
其中n为正整数，
∴当n(n＋1)=741时，解得：(舍)，，
当n(n＋1)=600时，解得： (舍)，
当n(n＋1)=465时，解得：(舍)，，
当n(n＋1)=300时，解得：(舍)，，
故选：B．
5．如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OC＝2OB则下列结论：① ；②；③；④ ，其中正确的结论有( )

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
解：①观察图象可知：抛物线的开口方向向上，对称轴在y轴左侧，与y轴的交点在y轴负半轴
∴a＞0，b＞0，c＜0，
∴abc＜0，
所以①正确；
②当x＝1时，y＝a+b+c，不能说明y的值是否大于还是小于0，
所以②错误；
③设A(x1，0)(x1＜0)，B(x2，0)(x2＞0)，
∵OC＝2OB，∴﹣2x2＝c，
∴，
∴B(，0)
将点B坐标代入y＝ax2+bx+c中，
，
∵
∴
所以③正确；
④当y＝0时，ax2+bx+c＝0，
方程的两个根为x1，x2，
根据根与系数的关系，得，
即
所以④正确．
故选：C．
6．对于函数，我们定义(，为常数)．例如：，则．已知：，若方程有两个相等的实数根，则的值为( )
A．0 B． C． D．1
【答案】D
解：由题意得：，即，
方程有两个相等的实数根，
此方程根的判别式，
解得，
故选：D．
7．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是( )
A． B．
C．且 D．且
【答案】D
解：根据题意得k≠0且△=(-2)2-4k×(-1)＞0，
解得k＞-1且k≠0．
故选：D．
8．已知、是关于的一元二次方程的两个根，且满足，，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】D
一元二次方程的两个根，
所以△=，
∴或，
令y=，
∵，抛物线开口向上，且满足，，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴，
解得，
∴的取值范围是．
故选择D．
9．若关于x的一元二次方程x2+5x+m＝0有两个不相等的实数根，且m为正整数，则符合条件的m有(　　)
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
【答案】B
解：∵关于x的一元二次方程x2+5x+m＝0有两个不相等实数根，
∴△＝52﹣4×1×m＞0，
解得：m＜，
∵m为正整数，
∴m＝1，2，3，4，5，6，
∴符合条件的m有6个，
故选：B.
10．已知，是一元二次方程的两不相等的实数根，且，则的值是( )
A．或 B． C． D．
【答案】C
解：根据题意得△＝＞0，
解得m＞−，
根据根与系数的关系的，，
∵，
∴，
∴，
整理得，解得，，
∵m＞−，
∴m的值为．
故选：C．

11．如图①，在矩形中，，对角线，相交于点O，动点P由点A出发，沿运动．设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数关系图象如图②所示，则边的长为________．

【答案】6
如图，过点O作OM⊥AB，垂足为M，

∵四边形ABCD是矩形，
∴OD=OB，DA⊥AB，AD=BC，
∵OM⊥AB，
∴OM∥AB，AM=BM，
∴OM=，结合图像知，当运动到点B是三角形的面积最大，
∴即AD×AB=24，当点P运动到点C时，面积为0即AB+BC=10，
∴AD+AB=10，
∴AB，AD是方程的两个根，
解得x=4或x=6，
∵，
∴AB=6，
故答案为：6．
12．在边长为4的正方形ABCD中，点E在AB边上，点N在AD边上，点M为BC中点，连接DE、MN、BN，若DE＝MN，cos∠AED＝，则BN的长为_____．
【答案】5或
解：根据题意可分两种情况画图：
①如图1，取AD的中点G，连接MG，

∴AG＝DG＝AD＝2，
∵点M为正方形ABCD的边BC中点，
∴MG⊥AD，MG＝AB＝AD，
∴∠MGN＝∠A＝90°，
在Rt△ADE和Rt△GMN中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△GMN(HL)，
∴∠GNM＝∠AED，
∴cos∠GMN＝cos∠AED＝，
∴设GN＝x，MN＝17x，
∵，
∴，
∴x＝，x＝－(舍去)，
∴GN＝1，
∴AN＝1，
∴BN＝＝；
②如图2，取AD的中点G，

同理可得Rt△ADE≌Rt△GMN(HL)，
∴∠GNM＝∠AED，
∴cos∠GMN＝cos∠AED＝＝，
∴设GN＝x，MN＝17x，
∵，
∴，
∴x＝，x＝－(舍去)，
∴GN＝1，
∴AN＝3，
∴BN＝＝5，
故答案为：5或．
13．如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论：①BE+DF＝EF；②CE＝CF；③∠AEB＝75°；④四边形面积＝2+，其中正确的序号是_____．

【答案】②③④
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，
∵△AEF为等边三角形，
∴AE＝AF＝EF＝2，∠EAF＝60°，
∴
∴△ABE≌△ADF，
∴BE＝DF，∠BAE＝∠DAF，
∵∠EAF＝60°，
∴∠BAE＝∠DAF＝15°，
∴∠AEB＝90°-∠BAE＝75°，即③正确
∵CB＝CD，
∴CB﹣BE＝CD-DF，
∴CE＝CF，即②正确；
∴△CEF为等腰直角三角形，
∴CE＝CF＝EF＝
设正方形的边长为：x，则BE＝x-，
Rt△ABE中，AB2+BE2＝AE2，
∴
解得：x1＝，x2＝(舍去)，
∴BE+DF＝2(x-)＝2(-)＝-≠2，即①错误；
四边形面积＝x2＝＝，即④正确．
故答案为：②③④．
14．已知二次函数的图象与x轴有两个交点，则下列说法在确的有：_____．(填序号)
①该二次函数的图象一定过定点；
②若该函数图象开口向下，则m的取值范围为：；
③当且时，y的最小值为；
④当，且该函数图象与x轴两交点的横坐标满足时，m的取值范围为：．
【答案】②③④
解：①y=(m-2)x2+2mx+m-3=m(x+1)2-2x2-3，
当x=-1时，y=-5，故该函数图象一定过定点(-1，-5)，故①错误；
②若该函数图象开口向下，则m-2＜0，且△＞0，
△=b2-4ac=20m-24＞0，解得：m＞，且m＜2，
故m的取值范围为：＜m＜2，故②正确；
③当m＞2，函数的对称轴在y轴左侧，当0≤x≤2时，y的最小值在x=0处取得，
故y的最小值为：(m-2)×0+2m×0+m-3=m-3，故③正确；
④当m＞2，x=-4时，y=9m-35，x=-3时，y=4m-21，x=0时，y=m-3，当x=-1时，y=-5，
当-4＜x1＜-3时，则(9m-35)(4m-21)＜0，
解得：；
同理-1＜x2＜0时，m＞3，
故m的取值范围为：，故④正确；
故答案为：②③④．
15．已知为一元二次方程的一个根，且，为有理数，则______，______．
【答案】； ；
解：∵




∴
∴
∴
∴
∴
∵，为有理数，
∴，也为有理数，
故当时候，只有，，
∴，，
故答案是：，；
16．关于的方程有两个相等的实数根，其中是锐角的一个内角；关于的方程的两个根恰好是的两边长，则的周长是______．
【答案】16或
∵方程有两个相等的实数根，
∴，
∴sinA=，sinA=-(舍去)，
∵方程有两个根，
∴，
∴，
∵，
∴m-2=0，
∴方程有两个相等的实数根，
∴，
当∠A为等腰三角形的顶角时，过点B作BD⊥AC，垂足为D，如图1:

∵AB=AC=5，sinA=，
∴BD=ABsinA==4，AD==3，
∴DC=2，
∴BC==，
∴的周长是10+；
当∠A为等腰三角形的底角时，过点B作BE⊥AC，垂足为E，如图2:

∵AB=BC=5，sinA=，
∴BE=ABsinA==4，AE==3，
∴AE=CE=3，
∴AC=6，
∴的周长是10+6=16；
故答案为：16或10+．
17．若实数a、b满足a2﹣8a+5＝0，b2﹣8b+5＝0，则a+b的值_____．
【答案】8或
解：当a＝b时，
由a2﹣8a+5＝0解得a＝4±，
∴a+b＝8±2；
当a≠b时，
a、b可看作方程x2﹣8x+5＝0的两根，
∴a+b＝8．
故答案为8或8±2．
18．已知α、β是方程x2－2x－1＝0的两个根，则α2＋2β＝_____．
【答案】5
解：由题意可得：
∴
∴
∵α、β是方程x2－2x－1＝0的两个根
∴
∴
∴α2＋2β=5
故答案是：5
19．若，且，，则(1)的值为______；(2)的值为_____．
【答案】4 1
(1)∵，且，，
∴a，b是一元二次方程的两个不相等的实数根，
∴a+b=4,
故答案为：4；
利用根与系数关系定理求解即可；
(2)∵，，
∴，，
∴=，
∵，且，，
∴a，b是一元二次方程的两个不相等的实数根，
∴a+b=4,ab=1，
∴==1，
故答案为：1．
20．关于x的一元二次方程x2+(k﹣3)x+1﹣k＝0的根的情况是_____．
【答案】有两个不相等的实数根
解：△＝(k﹣3)2﹣4(1﹣k)
＝k2﹣6k+9﹣4+4k
＝k2﹣2k+5
＝(k﹣1)2+4，
∴(k﹣1)2+4＞0，即△＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根．
故答案为：有两个不相等的实数根．

21．已知抛物线．
(1)求抛物线的对称轴；

(2)过点作y轴的垂线，与抛物线交于不同的两点M，N(不妨设点M在点N的左侧)．
①当时，求线段的长；
②当时，若，求a的值；
③当时，若，直接写出a的取值范围．
【答案】(1)；(2)①2；②；③或
解：(1)抛物线的对称轴为；
(2)过点作y轴的垂线，与抛物线交于不同的两点M，N，设，
①当时，则、是的两个根，∵a≠0，
∴，
∴；

=
=2；
②当时，、是的两个根，∵a≠0，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴解得，
经检验是原方程的根，
当时，方程的判别式，符合题意，
∴；
③当时，、是的两个根，∵a≠0，
∴，，
∴，即，
解得或，
∵，
∴，
若(M、N都不在y轴左侧)，则总成立，∴，
∴或，
∴或，
∵或，
∴或；
若(M在y轴左侧，N不在y轴左侧)，，
解得，
∴，
∴变形为，
∴在y轴上，故舍去；
若(M、N都在y轴左侧)，
∵，
∴，
这与、是的两个根，矛盾，这种情况不存在；
综上所述，，则或．
22．在平面直角坐标系xOy中，已知A(0，2)，动点P在y＝x的图象上运动(不与O重合)，连接AP．过点P作PQ⊥AP，交x轴于点Q，连接AQ．
(1)求线段AP长度的取值范围；
(2)试问：点P运动的过程中，∠QAP是否为定值？如果是，求出该值；如果不是，请说明理由．
(3)当△OPQ为等腰三角形时，求点Q的坐标．

【答案】(1)；(2)是，30°；(3)点Q的坐标为(2+4，0)或(2﹣4，0)或(﹣2，0)或(，0)
解：(1)如图1，作AH⊥OP，则AP≥AH，

∵点P在y＝x的图象上，
∴∠HOQ＝30°，∠HOA＝60°
∵A(0，2)
∴AH＝AO•sin60°＝
∴AP≥
(2)①当点P在第三象限时，如图2，

由∠QPA＝∠QOA＝90°，可得Q、P、O、A四点共圆，
∴∠PAQ＝∠POQ＝30°
②当点P在第一象限的线段OH上时，如图3
由∠QPA＝∠QOA＝90°可得Q、P、O、A四点共圆
∴∠PAQ+∠POQ＝180°，又此时∠POQ＝150°
∴∠PAQ＝180°﹣∠POQ＝30°
③当点P在第一象限的线段OH的延长线上时，
由∠QPA＝∠QOA＝90°可得∠APQ+∠AOQ＝180°
∴Q、P、O、A四点共圆
∴∠PAQ＝∠POQ＝30°
(3)当△OPQ为等腰三角形时，若点Q在x轴的正半轴上，
设OQ＝m(m＞0)，则AQ2＝m2+22＝(2PQ)2，
∴PQ2＝，
过点Q作QN⊥OP于点N，如图：

∵∠POQ＝30°，
∴ NQ＝OQ＝m，
，
在Rt△PQN中，
，
∴
∴
①OP＝OQ时，则m2
解得m＝2±4(负值不符合题意，舍去)
∴m＝2+4
②当PO＝PQ时，则
解得：m＝0或m＝﹣2，都不符合题意；
③当QO＝QP时，
则
解得：m＝(负值不符合题意，舍去)
∴m＝
若点Q在x轴的负半轴上，则OQ＝﹣m，
同理可得：m＝2﹣4或m＝
∴综上所述：点Q的坐标为(2+4，0)或(2﹣4，0)或(﹣2，0)或(，0)．
23．在二次函数的复习课中，关于x的二次函数()，师生共同探讨得到以下4条结论：
(1)这个二次函数与x轴必有2个交点；
(2)二次函数的图象向左平移2个单位后经过点，则；
(3)当时，y随x的增大而减小；
(4)当时，，则，；
请判断上述结论是否正确，并说明理由．
【答案】(1)错误；(2)正确；(3)正确；(4)错误．
解：(1)∵
∴
△=
故时，△=0，方程只有一个根
即此时抛物线与x轴只有一个交点，故(1)说法错误；
(2)抛物线的解析式为：向左平移2个单位后的解析式为
，即
把(-1，0)代入上式中得
即，
解得，
由于，故此说法正确；
(3)∵
∴，
∴二次函数的对称轴：
又∵
∴二次函数的对称轴且二次函数开口向上
∴二次函数在对称轴左边递减，
∴当，y随x的增大而减小，此说法正确；
(4)∵
∴
∴
即当，
∵时，
若，即时函数有最小值
即
又∵
∴
故当时，，则，这种说法不正确；
综上所述：(1)错误；(2)正确；(3)正确；(4)错误．
24．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：这个方程的一根大于2，一根小于2；
(2)若对于时，相应得到的一元二次方程的两根分别为和和和，…，和和，试求的值．
【答案】(1)见解析；(2)
解：(1)证明：设方程的两根是，，
则，，



，
，
，
即这个方程的一根大于2，一根小于2；
(2)，
对于，2，3，，2019，2020时，相应得到的一元二次方程的两根分别为和，和，和，，和，和，







．
25．阅读如下材料，完成下列问题：
材料一：对于二次三项式求最值问题，有如下示例：
．因为，所以，所以，当时，原式的最小值为2．
材料二：对于实数a，b，若，则．
完成问题：
(1)求的最小值；
(2)求的最大值；
(3)若实数m，n满足．求的最大值．
【答案】(1)-5；(2)(3)
解：(1)，因为，所以，所以，当时，原式的最小值为-5．
(2)，
当取最小值时，原式最大，
由(1)可知，最小值为2，
此时的最大值为；
(3)∵，
∴，
，
或，
或，
=，
最大值是，的最大值为；
或=，
最大值是，的最大值为；
综上，的最大值为
26．已知关于的方程有两个实数根、．
(1)求的取值范围
(2)若、满足等式，求的值．
【答案】(1)且；(2)-1．
解：(1)∵关于的方程有两个实数根、
∴，解得：且
(2)由题意可得：，
由(1)可得，∴
∴
，
∴
解得：(不合题意舍去)，
∴k的值为-1．
27．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根
(1)求a的取值范围；
(2)请你给出一个符合条件的a的值，并求出此时方程的解．
【答案】(1)；(2)此题答案不唯一，，，
解：(1)∵关于x的一元二次方程一般式为，
∴，
∵方程有两个不相等的实数根，
．
，
；
(2)此题答案不唯一．如，
∴一元二次方程为，
因式分解得，
，．
∴当时，方程的根为，．
28．已知关于x的方程有两个实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)当k取最大整数时，求此时方程的根．
【答案】(1)且；(2)
解：(1)∵关于x的方程有两个实数根，
∴且．
．
∴且．
∴且．
(2)当k取最大整数时，，
此时，方程为，
解得．
∴当时，方程的根为．
29．解方程
(1)
(2)
(3)解方程：
【答案】(1)；(2)，；(3)无解
解(1)
移项，合并同类项得：
因式分解得：
所以
(2)
，，

所以此方程有两个不相等的实数根，
，
(3)
方程两边乘得：

去括号得：

解一元一次方程得：

检验：当时，
所以，是增根，原方程无解．
30．已知x1，x2是一元二次方程(a﹣6)x2+2ax+a＝0的两个实数根．
(1)求a的取值范围；
(2)求使代数式(x1+1)(x2+1)值为负整数的实数a的整数值；
(3)如果实数a，b满足b＝+50，试求代数式x13+10x22+5x2﹣b的值．
【答案】(1)a≥0且a≠6；(2)a＝7，8，9，12；(3)1100
解：(1)∵关于x的一元二次方程(a﹣6)x2+2ax+a＝0有两个实数根，
∴，
解得：a≥0且a≠6.
(2)∵x1，x2是一元二次方程(a﹣6)x2+2ax+a＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝﹣，x1x2＝，
∵(x1+1)(x2+1)＝x1+x2+x1x2+1＝﹣++1＝为负整数，
∴6﹣a＝﹣1，﹣2，﹣3，﹣6，
∴a＝7，8，9，12.
(3)∵b＝，
∴a＝5，b＝50，
∴方程﹣x2+10x+5＝0，
∴x1+x2＝10，x1x2＝﹣5，x12＝10x1+5，
∴原式＝x12•x1+10x22+5x2﹣b，
＝(10x1+5)•x1+10x22+5x2﹣50，
＝10(x12+x22)+5( x1+x2)﹣50，
＝10(x1+x2)2﹣20x1x2+5( x1+x2)﹣50，
＝10×102﹣20×(﹣5)+5×10﹣50，
＝1100．