专题09三角形（教师版含解析）-2022年初升高数学衔接讲义（第1套）

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专题09三角形
专题综述课程要求

三角形的“四心”有着明显的几何特征，这些几何特征与高中很多知识都有交汇，所以要熟练掌握它们的概念，理解对应的几何意义，为高中“四心”知识的综合奠定基础.
1.四心的地位
所谓三角形的“四心”，是指三角形的四种重要线段相交而成的四类特殊点.它们分别是三角形的内心、外心、垂心与重心，其中，外心与内心在初中课本中分别作出了叙述和介绍，而垂心与重心这两个概念是在高中加强的.在高中后续学习向量、立体几何、解析几何等内容时，垂心、重心、内心、外心都是不可缺少的知识点，在高考试卷中也屡屡出现，所以要清楚它们的基本概念，在三角形中用尺规作图的方法能够找到这四心，也就是要熟悉它们的几何特征，正三角形四心(内心、重心、垂心、外心)合一，该点称为正三角形的中心.
2.四心的概念与常用性质
内心：三角形的三个内角的角平分线的交点，该点为三角形内切圆的圆心，内心到三角形的三边的距离相等；
垂心：三角形的三条高的交点；通过作图可知锐角三角形的垂心在三角形内，直角三角形的垂心为直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形外，该点分每条高线的两部分乘积相等；
重心：三角形的三条中线的交点，该点到顶点的距离为到对边中点距离的2倍；
外心：三角形的三条边的垂直平分线的交点，该交点为三角形外接圆的圆心，外心到三个顶点的距离相等.
四心在高中阶段具有代数与几何的双重身份，需要给这四心的几何特征以代数形式，数形结合，以形助数，以数解形.
课程要求


《初中课程要求》
1、三角形及其性质
2、全等三角形
3、相似三角形
4、直角三角形
《高中课程要求》
1、三角变换与解三角形的综合问题
2、解三角形与平面向量结合
3、以平面图形为背景的解三角形问题

知识精讲


高中必备知识点1：三角形的“四心”

三角形是最重要的基本平面图形，很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题.

如图3.2-1 ，在三角形中，有三条边，三个角，三个顶点，在三角形中，角平分线、中线、高(如图3.2-2)是三角形中的三种重要线段.
三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心.三角形的重心在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点.
三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心. 三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的三边的距离相等.
三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三角形的垂心.锐角三角形的垂心一定在三角形的内部，直角三角形的垂心为他的直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形的外部.
过不共线的三点A、B、C有且只有一个圆，该圆是三角形ABC的外接圆，圆心O为三角形的外心.三角形的外心到三个顶点的距离相等，是各边的垂直平分线的交点.

高中必备知识点2：几种特殊的三角形

结论一：等腰三角形底边上三线(角平分线、中线、高线)合一.因而在等腰三角形ABC中，三角形的内心I、重心G、垂心H必然在一条直线上.
结论二：正三角形三条边长相等，三个角相等，且四心(内心、重心、垂心、外心)合一，该点称为正三角形的中心.
典例剖析


高中必备知识点1：三角形的“四心”

【典型例题】
如图，在⊙O中，AB是的直径，PA与⊙O 相切于点A，点C在⊙O 上，且PC＝PA，
(1)求证PC是⊙O的切线；
(2)过点C作CD⊥AB于点E，交⊙O于点D，若CD＝PA＝2，
①求图中阴影部分面积；
②连接AC，若△PAC的内切圆圆心为I，则线段IE的长为 ．

【答案】(1)详见解析；(2)①S阴影＝． ②．
【解析】
(1)证明：连接OC､OP，
∵点C在⊙O上，
∴OC为半径．
∵PA与⊙O相切于点A，
∴OA⊥PA．
∴∠PAO＝90°．
∵OC＝OA，
OP＝OP，
PC＝PA，
∴△PCO≌△PAO．
∴∠PCO＝∠PAO＝90°．
∴PC⊥OC．
∴PC是⊙O的切线．

(2)①作CM⊥AP于点M，
∵CD⊥AB，
∴CE＝DE＝ ，∠CEA＝90°．
∴四边形CMAE是矩形．
∴AM＝．
∴PM＝AM．
∴PC＝AC．
∵PC＝PA，
∴△PCA是等边三角形．
∴∠PAC＝60°．
∴∠CAB＝30°．
∴∠COE＝60°．
∴∠COD＝120°．
在Rt△COE中，
sin60°＝ ，
∴OC＝2．
∴S阴影＝π－．
②∵AP=2 ,AH=CE=
∴CH=AH=3
又∵I为正△PAC的内心
∴CI= CH=2
∴IE= = =

【变式训练】
已知菱形ABCD的边长为2．∠ADC=60°，等边△AEF两边分别交边DC、CB于点E、F。

(1)特殊发现：如图①，若点E、F分别是边DC、CB的中点．求证：菱形ABCD对角线AC、BD交点O即为等边△AEF的外心；
(2)若点E、F始终分别在边DC、CB上移动．记等边△AEF的外心为点P．
①猜想验证：如图②．猜想△AEF的外心P落在哪一直线上，并加以证明；
②拓展运用：如图③，当△AEF面积最小时，过点P任作一直线分别交边DA于点M，交边DC的延长线于点N，试判断1DM+1DN是否为定值．若是．请求出该定值；若不是．请说明理由。
【答案】(1)见解析；(2)①外心P一定落在直线DB上，见解析；②1DM+1DN为定值，1DM+1DN=1.
【解析】
(1)证明：如图I，分别连接OE、0F

∵四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD，BD平分∠ADC．AD=DC=BC，
∴∠COD=∠COB=∠AOD=90°．
∠ADO=12∠ADC=12×60°=30°，
又∵E、F分别为DC、CB中点
∴OE=12CD，OF=12BC，AO=12AD，
∴0E=OF=OA ，
∴点O即为△AEF的外心，
(2)①猜想：外心P一定落在直线DB上，
证明：如图2，分别连接PE、PA，过点P分别作PI⊥CD于I，P J⊥AD于J

∴∠PIE=∠PJD=90°，∵∠ADC=60°
∴∠IPJ=360°-∠PIE-∠PJD-∠JDI=120°
∵点P是等边△AEF的外心，∴∠EPA=120°，PE=PA，
∴∠IPJ=∠EPA，∴∠IPE=∠JPA
∴△PIE≌△PJA， ∴PI=PJ，
∴点P在∠ADC的平分线上，即点P落在直线DB上，
②1DM+1DN为定值1.
当AE⊥DC时．△AEF面积最小，
此时点E、F分别为DC、CB中点．
连接BD、AC交于点P，由(1)
可得点P即为△AEF的外心，

解法：如图3．设MN交BC于点G
设DM=x，DN=y(x≠0．y≠O)，则 CN=y-2
由BC∥DA 易证△GBP≌△MDP．∴BG=DM=x．
∴CG=2-x，
∵BC∥DA，∴△NCG∽△NDM
∴CNDN=CGDM，∴y-2y=2-xx
∴x+y=xy.
∴1x+1y=1，即1DM+1DN=1.

【能力提升】
定义：到三角形的两边距离相等的点，叫做此三角形的准内心，例如：如图1，PD⊥AC，PE⊥AB，垂足分别为点D、E，若PD＝PE，则点P为△ABC的准内心

(1)应用：如图2，CD为等边三角形ABC的高，准内心P在高CD上，且PD＝12AB，求∠APB的度数．
(2)探究：如图3，已知△ABC为直角三角形，斜边BC＝5，AB＝3，准内心P在AC边上(不与点A、C重合)，求PA的长．
【答案】(1)∠APB＝90°；(2)PA=32.
【解析】
(1)∵准内心P在高CD上，
∴①点P为∠CAD的角平分线与CD的交点，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠PAD＝∠PAC＝30°，
∵CD为等边三角形ABC的高，
∴AD＝3DP，AD＝BD，
与已知PD＝12AB矛盾，
∴点P不可能为∠CAD的角平分线与CD的交点，
同理可知②点P不可能为∠CBD的角平分线与CD的交点，
③∵CD⊥AB，
∴点P为∠BCA的平分线，
此时，点P到AC和BC的距离相等，
∵PD＝12AB，
∴PD＝AD＝BD，
∴∠APD＝∠BPD＝45°，
∴∠APB＝90°；

(2)∵BC＝5，AB＝3，
∴AC＝BC2-AB2＝4，
∵准内心在AC边上，(不与点A，B重合)，
∴点P为∠CBA的平分线与AC的交点，
作PD⊥BC与点D，
∴PA＝PD，BD＝BA＝3，
设PA＝x，则x2+22＝(4﹣x)2，
∴x＝32，即PA＝32．



高中必备知识点2：几种特殊的三角形

【典型例题】
问题发现：如图1，△ABC是等边三角形，点D是边AD上的一点，过点D作DE∥BC交AC于E，则线段BD与CE有何数量关系？
拓展探究：如图2，将△ADE绕点A逆时针旋转角α(0°＜α＜360°)，上面的结论是否仍然成立？如果成立，请就图中给出的情况加以证明．
问题解决：如果△ABC的边长等于2，AD＝2，直接写出当△ADE旋转到DE与AC所在的直线垂直时BD的长．

【答案】问题发现：BD＝CE；拓展探究：结论仍然成立，见解析；问题解决：BD的长为2和2．
【解析】
问题发现：如图1,BD=CE,理由是
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=AC,
∵DE∥BC,
∴BD=CE,
拓展探究：结论仍然成立,如图2,
由图1得,△ADE是等边三角形,
∴AD=AE,
由旋转得∠BAD=∠CAE,△BAD≌△CAE,(旋转的性质)
∴BD=CE,
问题解决：当△ADE旋转到DE与AC所在的直线垂直时,设垂足为点F,此时有两种情况: 

①如图3,
∵△ADE是等边三角形,AF⊥DE,
∴∠DAF=∠EAF=30°,
∴∠BAD=30°,
过D作DG⊥AB,垂足为G,
∵AD=2,
∴DG=1,AG=,
∵AB=2,
∴BG=AB-AG=,
∴BD=2(勾股定理),
②如图4,

同理得△BAD≌△CAE,
∴BD=CE,
∵△ADE是等边三角形,
∴∠ADE=60°,
∵AD=AE,DE⊥AC,
∴∠DAF=∠EAF=30°,
∴EF=FD=AD=1,
∴AF=,
∴CF=AC+CF=2+=3,
在Rt△EFC中,EC=,
∴BD=EC=2.
综上所述,BD的长为2和2.

【变式训练】
如图，两条射线BA//CD，PB和PC分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，分别交AB，CD与点A，D．

(1)求∠BPC的度数；
(2)若，求AB+CD的值；
(3)若为a，为b，为c，求证：a+b=c．
【答案】(1)90°；(2)4；(3)证明见解析
【解析】
(1)∵BA∥CD，∴∠ABC+∠BCD=180°．
∵PB和PC分别平分∠ABC和∠DCB，∴∠PBC∠ABC，∠PCB∠BCD，∴∠PBC+∠PCB(∠ABC+∠BCD)=90°，∴∠BPC=90°；
(2)若∠BCD=60°，BP=2，∴∠ABC=180°－60°=120°，∠PCD∠BCD=30°，∴∠ABP∠ABC=60°．
在Rt△ABP中，BP=2，AB=1．在Rt△BCP中，CP=2．在Rt△PCD中，PD，CD=3，∴AB+CD=4．
(3)如图，作PQ⊥BC．
∵∠ABP=∠QBP，∠BAP=∠BQP，BP=BP．
∴△ABP≌△BQP(AAS)．
同理△PQC≌△PCD(AAS)，∴S△BCP=S△BPQ+S△PQC=S△ABP+S△PCD，∴a+b=c．


【能力提升】
如图，△ABC、△DCE、△FEG是三个全等的等腰三角形，底边BC、CE、EG在同一直线上，且AB= ，BC=1，连结BF，分别交AC、DC、DE于点P、Q、R．

(1)求证：△BFG∽△FEG
(2)求sin∠FBG的值．
【答案】(1)证明见解析；(2)．
【解析】
解：(1)依题可得：
BC=CE=EG=1，FG=AB=，
∴BG=3，
在△BFG和△FEG中，
∵，∠G=∠G，
∴△BFG∽△FEG.
(2)过点F作FH⊥BG于点H，如图，
，
则∠FHG=90°，
∵△FEG是等腰三角形，EG=1，
∴，
∴FH= ，
∵△BFG∽△FEG，
∴∠BFG=∠FEG=∠G，
∴BF=BG=3BC=3，
在Rt△FBH中，
∴sin∠FBG=.
对点精练


1．如图，等边的顶点，；规定把“先沿轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，这样连续经过2021次变换后，等边的顶点的坐标为( )．

A． B． C． D．
【答案】D
过点作交于点

∵等边
∴
∵，
∴
∴
∴
∴
第一次把“先沿轴翻折，再向左平移1个单位”，得，即；
第二次把“先沿轴翻折，再向左平移1个单位”，得，即；
第三次把“先沿轴翻折，再向左平移1个单位”，得，即；
…
当为奇数时，第次把“先沿轴翻折，再向左平移1个单位”，得
当为偶数时，第次把“先沿轴翻折，再向左平移1个单位”，得
∵2021为奇数
∴第2021次把“先沿轴翻折，再向左平移1个单位”，得，即；
故选：D．
2．如图，在中，点D是边上的中点，连接，将沿着翻折，得到，与交于点F，连接．若，则点C到的距离为( )

A． B． C． D．
【答案】C
连接BE，延长CD交BE于G点，过C作CH⊥AB于H，如图所示
由折叠的性质，得：BD=ED，CB=CE
∴CG是线段BE的垂直平分线
∴BG=BE
∵D点是AB的中点
∴BD=AD，
∴AD=ED
∴∠DAE=∠DEA
∵BD=ED
∴ ∠DEB=∠DBE
∵∠DAE+∠BEA+∠DBE=180°
即∠DAE+∠DEA+∠DEB+∠DBE=180°
∴2∠DEA+2∠DEB=180°
∴∠DEA+∠DEB=90°
即∠AEB=90°
在Rt△AEB中，由勾股定理得：
∴
∵
∴
∴

故选：C．
3．在中，，点D为中点，，绕点D旋转，分别与边，交于E，F两点，下列结论：①；②；③；④始终为等腰直角三角形，其中正确的是( )

A．①②④ B．①②③ C．③④ D．①②③④
【答案】D
解：连接，，点为中点，，
．，．
，
，
．
在和中，
，
，
，，．
，
，
．
，
．
，
，
．
，，
始终为等腰直角三角形．
，
．
，
．
正确的有①②③④．
故选D．

4．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，BE是AC边的中线，CF是∠ACB的角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法正确的是( )
①△ABE的面积＝△BCE的面积；②∠FAG＝∠FCB；③AF＝AG；④BH＝CH．

A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．①③
【答案】D
解：∵BE是AC边的中线，
∴AE＝CE，
∵△ABE的面积＝，△BCE的面积＝AB，
∴△ABE的面积＝△BCE的面积，故①正确；
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADC＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠DAC+∠ACB＝90°，∠FAG+∠DAC＝90°，
∴∠FAG＝∠ACB，
∵CF是∠ACB的角平分线，
∴∠ACF＝∠FCB，∠ACB＝2∠FCB，
∴∠FAG＝2∠FCB，故②错误；
∵在△ACF和△DGC中，∠BAC＝∠ADC＝90°，∠ACF＝∠FCB，
∴∠AFG＝180°﹣∠BAC﹣∠ACF，∠AGF＝∠DGC＝180°﹣∠ADC﹣∠FCB，
∴∠AFG＝∠AGF，
∴AF＝AG，故③正确；
根据已知不能推出∠HBC＝∠HCB，即不能推出HB＝HC，故④错误；
即正确的为①③，
故选：D．
5．已知a、b为两正数，且，则代数式最小值为( )
A．12 B．13 C．14 D．15
【答案】B
解：如图所示，构造Rt△BEA和Rt△AFC使得 BE=a，EA=2，AF=3，FC=b，
根据勾股定理可得：AB=和AC=，

所以：
，
∴当A，B，C三点共线时有最小值，即BC，
在Rt△BDC中．
故选：B
6．已知、、4分别是等腰三角形三边的长，且、是关于的一元二次方程的两个根，则的值等于( )
A．6 B．7 C．-7或6 D．6或7
【答案】D
解：∵a、b、4分别是等腰三角形三边的长，
∴当a＝4或b＝4时， 即：42−6×4＋k＋2＝0，解得：k＝6，
此时，的两个根为：x1=2，x2=4，符合题意；
当a＝b时，即△＝(−6)2−4×(k＋2)＝0，解得：k＝7，
此时，的两个根为：x1=x2=3，符合题意；
综上所述，k的值等于6或7，
故选：D．
7．如图，在锐角ABC中，AB＝，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是( )

A． B．1 C． D．
【答案】B
如图，作于点H，交于点，作于点，则为所求最小值．
由角平分线的性质可知，
∴，即长为所求最小值．
∵，
∴为等腰直角三角形．
∴．

故选B．
8．如图所示的网格是正方形网格，点是网格线交点，则的度数为( )

A． B． C． D．
【答案】A
解：如图，连接CG、AG，

由勾股定理得：AC2＝AG2＝12＋22＝5，CG2＝12＋32＝10，
∴AC2＋AG2＝CG2，
∴∠CAG＝90°，
∴△CAG是等腰直角三角形，
∴∠ACG＝45°，
∵CF∥AB，
∴∠ACF＝∠BAC，
在△CFG和△ADE中，
∵，
∴△CFG≌△ADE(SAS)，
∴∠FCG＝∠DAE，
∴∠BAC−∠DAE＝∠ACF−∠FCG＝∠ACG＝45°，
故选：A．
9．如图，在中，，平分，于E，则下列结论中，不正确的是( )

A．平分 B． C．平分 D．
【答案】A
∵AD平分∠CAB，CD⊥AC，ED⊥AB
∴CD=ED，
∴BC=BD+CD=BD+ED
故选项B正确；
∵AD平分∠CAB
∴∠CAD=∠EAD
∵CD⊥AC，ED⊥AB
∴∠C=∠DEA=90゜
∴∠ADC=∠ADE
即AD平分∠EDC
故选项C正确；
在△ACD中，AC+CD>AD
∴ED+AC>AD
故选项D正确；
若DE平分∠ADB
则有∠BDE=∠ADE
∵∠ADE=∠ADC
∴∠ADE=∠ADC=∠BDE
∵∠ADE+∠ADC+∠BDE=180゜
∴∠BDE=60゜
∴∠B=90゜-∠BDE=30゜
显然这里∠B是不一定为30゜
故选项A错误．
故选：A．
10．如图，一艘轮船在处测的灯塔在北偏西15°的方向上，该轮船又从处向正东方向行驶20海里到达处，测的灯塔在北偏西60°的方向上，则轮船在处时与灯塔之间的距离(即的长)为( )

A．海里 B．海里
C．40海里 D．海里
【答案】D
解：过作于，如图所示：

在中，，海里，
∴(海里)，(海里)，
∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴海里，
∴海里，
故选：D．

11．如图，在正方形中，，点是线段上的动点，将沿直线翻折，得到，点是上一点，且，连接，，当的长为______时，是直角三角形．

【答案】或
①当E在AH的上方时，且∠AEH=90，

根据折叠的性质，∠AEP=∠D=90，AD=AE，DP=PE，
∴∠AEP=∠AEH=90，AD=AE=AB，
∴点P、E、H在同一直线上，
在Rt△ABH和Rt△AEH中，
，
∴Rt△ABHRt△AEH(HL)，
∴EH=BH=3，
设DP=x，则PC=8－x，HC=8-3=5， PH=PE+HE=x+3，
在Rt△CPH中，，即，
解得，即DP=；
②当E在AH的下方时，且∠AEH=90，如图：

此时，点E与点B重合，则点P与点C重合，
∴DP=；
综上，当DP的长为或时，是直角三角形．
故答案为：或．
12．如图，点在直线上，过点作轴交直线于点，以点为直角顶点，为直角边在的右侧作等腰直角，再过点作过点轴交直线和直线于，两点，以点为直角顶点，为直角边在的右侧作等腰直角，…，按此规律进行下去，则等腰直角的边长为_____．(用含正整数的代数式表示)


【答案】
解：点在直线上，
点横坐标为2，将代入得，
点坐标为．
△为等腰直角三角形，
，
点坐标为．．
过点作轴，
，的横坐标为3，将分别代入与中得，的纵坐标分别为3，，
即，，，
．点坐标为．
同理可得，
．
故答案为：．
13．如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，点在直线上．若，且都是等边三角形，从左到右的小三角形(阴影部分)的面积分别记为，则可表示为____．

【答案】
解：由等边三角形可知：
A1B1∥A2B2∥…∥AnBn，
B1A2∥B2A3∥…∥BnAn+1，
∵直线yx与x轴的夹角∠B1OA1＝30°，∠OA1B1＝120°，
∴∠OB1A1＝30°，
∴OA1＝A1B1，
∴A1(1，0)，
∴A1B1＝1，
同理∠OB2A2＝30°，…，∠OBnAn＝30°，
∴B2A2＝OA2＝2，B3A3＝4，…，BnAn＝2n﹣1，
可知∠OB1A2＝90°，…，∠OBnAn+1＝90°，
∴B1B2，B2B3＝2，…，BnBn+1＝2n﹣1，
∴S1，S2，…，Sn＝22n﹣3．
∴当n=2021时，
故答案为：．
14．如图，四边形ABCD中，ADBC，连接AC，AC⊥BC，∠BAD＝135°，E为AC上一点，连接BE，∠BEC＝2∠ACD，AD＝2，CE＝3，则线段BE＝__．

【答案】5
解：如图，过点E作EF//CD交BC于点F，作FG⊥BE于点G，

∵EF//CD，
∴∠FEC＝∠ACD，
∵∠BEC＝2∠ACD＝∠BEF+∠CEF，
∴∠BEF＝∠CEF，
∵AC⊥BC，FG⊥BE，
∴CF＝GF，
∵AD//BC，
∴∠DAC＝∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝∠BAD﹣∠CAD＝135°﹣90°＝45°，
∴∠ABC＝45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AC＝BC，
设AE＝x，
∴AC＝BC＝AE+EC＝x+3，
在Rt△EGF和Rt△ECF中，
，
∴Rt△EGF≌Rt△ECF(HL)，
∴EG＝EC，
∵∠DAC＝∠FCE＝90°，∠ACD＝∠CEF，
∴△ADC∽△CFE，
∴＝，
∴＝，
∴CF＝，
∴GF＝，
∵∠BGF＝∠BCE＝90°，∠FBG＝∠EBC，
∴△BFG∽△BEC，
∴＝，
∴＝，
∴BG＝2，
∴BE＝BG+GE＝BG+EC＝2+3＝5．
故答案为：5．
15．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ABC绕点B逆时针旋转一定的角度α(0°＜α＜90°)，直线A1C1分别交AB，AC于点G，H．当△AGH为等腰三角形时，则CH的长为_____．

【答案】或1．
解：如图1中，当AG=AH时，

∵AG=AH，
∴∠AHG=∠AGH，
∵∠A=∠A1，∠AGH=∠A1GB，
∴∠AHG=∠A1BG，
∴∠A1GB=∠A1BG，
∴A1B=A1G=5，
∴GC1=A1G-C1G=1，
∵∠BC1G=90°，
∴，
∴，，
如图2中，当GA=GH时，过点G作GM⊥AH于M．

同法可证，GB=GA1，设GB=GA1=x，则有x2=32+(4-x)2，
解得，
∴，
∵GM∥BC，
∴，
∴，
∴，
∵GA=GH，GM⊥AH，
∴AM=HM，
∴AH=3，
∴CH=AC-AM=1．
当HG=AH时，∠HGA=∠HAG<45°<∠ABC(大边对大角，小边对小角)，
∴∠A1HC=∠HGA+∠HAG<90°，
∴∠C1BC=360°-90°-90°-∠A1HC＞90°，即旋转角度大于90°，不符合题意．
综上所述，满足条件的CH的值为或1．
故答案为：或1．
16．如图，在中，，点D是的中点，点E在上，将沿折叠，若点B的落点在射线上，则与所夹锐角的度数是________．

【答案】．
如下图，连接DE，与相交于点O，

将 △BDE 沿 DE 折叠，
，
,
又∵D为BC的中点，，
，
,
,
,
即与所夹锐角的度数是．
故答案为：．
17．如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D 是网格线交点，则△ABC与△DBC面积的大小关系为：S△ABC ______ S△DBC(填“＞”，“＝”或“＜”)．

【答案】＞
=3，
，
故填：＞．

18．如图，____________．

【答案】
∵∠BAC和∠DAE分别是△ACE和△ABD的外角，
∴∠BAC=∠C+∠E，∠DAE=∠B+∠D，
∴∠CAD+∠BAC+∠DAE=180°，
故答案为：180°
19．如图，在中，，，，平分，，则的长是__________．


【答案】5
在中，，，，
∴，
∵平分，
∴∠ABD=∠DBC，
∵，
∴∠ADB=∠DBC，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD=5．
故答案为：5．
20．如图，将一个含30°角的三角尺ABC绕点A按顺时针方向旋转得到△ADE，使点B的对应点D恰好落在BC边上，若AB=，则CD的长为_______．

【答案】
解：由旋转得：AD=AB=，
∵在Rt△ABC中，
∠C=30°，∠CAB=90°，
∴∠B=60°，
∵AD=AD，
∴∠ADB=∠B=60°，
∵∠DAB+∠ADB+∠B=180°，
∴∠DAB=∠ADB=∠B=60°，
∴AD=AB=DB=，
在Rt△CAB中，∠C=30°，∠CAB=90°，
∴AB=BC，
∴BC=2AB=2，
∴CD=BC-BD=2-=．
故CD的长为．

21．如图1，在中，，，点是的中点，连接，点是上一点，连接并延长交于点．

(1)若点是中点，求证：；
(2)如图2，若．
①求证：；
②猜想的值并写出计算过程．
【答案】(1)见解析；(2)①见解析；②
解：(1)证明：，
，
点是的中点，点是中点，
，，
，
，
；
(2)①证明：连接，

，
，
，
，
，
，
，
即，
，；
设，则，，
，，
；
②猜想：，
理由如下：
，
，
．
22．如图，边长为1的正方形中，点在上，连接，过点，作的垂线，垂足分别为，，点是正方形的中心，连接，．
(1)求证：；
(2)请判断的形状，并说明理由；
(3)若点在线段上运动(不包括端点)，设，的面积为，求关于的函数关系式(写出的范围)；若点在射线上运动，且的面积为，请直接写出长．

【答案】(1)见解析；(2)等腰直角三角形，理由见解析；(3)，长为或3
解：(1)证明：∵，，∴．
又∵，∴，，
∴．
在△AMB和△BNC中
，
∴，
∴．
(2)是等腰直角三角形，
理由如下：连接，

∵为正方形的中心
∴，，，
∵，
∴，即．
在△AMO和△BNO中
，
∴，
∴，，
∵，
∵，，∴，
∴是等腰直角三角形．
(3)在Rt△ABK中，BK=，
∵S△ABK=×AK×AB=×BK×AM，
∴AM=，
∴BN=AM=，
∵cos∠ABK=，
∴BM=，
∴MN=BM-BN=，
∵OM=ON=，S△OMN=，
∴S△OMN=，
∴，

当点在线段上时，则，解得：(不合题意舍去)，，
当点在线段的延长线时，同理可求得，
∴，
解得：，(不合题意舍去)，
综上所述：长为或3时，的面积为．
23．如图，在正方形中，动点，分别在边，上移动(不与顶点重合)，且满足．连接和，交于点．
(1)请你写出与的数量关系和位置关系，并说明理由；
(2)由于点，的移动，使得点也随之运动．
①请用文字描述并且在图中画出点的运动路径；
②若，请求出线段的最小值．

【答案】(1)，，见解析；(2)①点的运动路径是以为直径的圆的圆弧(去除端点，)；②
解：(1)，，
理由是：∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
(2)如图，
①∵点在运动中保持，设正方形的中心为，
∴得出点的运动路径是以为直径的圆的圆弧(去除端点，)，

②设的中点(圆心)为，连接交圆弧于点，此时线段的长度最小．
在中，

∴
即线段的最小值是．
24．在平面直角坐标系中，直线与轴负半轴交于点，与轴交于点，点坐标为，，点在轴上(点在点的右侧)，，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动，动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿射线运动，两点同时出发，当点到达点时，两点同时停止运动．设运动时间为秒()．

(1)如图，当点在线段上时．
①求点的坐标：
②当是等腰三角形时，求的值；
(2)是否存在时刻，使得，若存在，直接写出的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)①；②；(2)存在，
解：(1)①∵，
∴，
∴在中，，
∵，∴
∴；
②∵
∴
∴在中，．
∴，
在中，，
∵BP=t，AQ=3t，
∴CP=3-t，CQ=5-3t，
∴当是等腰三角形时，，
∴3-t=5-3t，
∴t=1；
(2)如图，设运动t秒时， PQ⊥AB，则PB=t，PC=3-t,AQ=3t，
∴Q的坐标为3t-；
∵sin∠CBO=,
∴∠CBO=30°，
过点P作PE⊥OC，垂足为E，
∴PE∥OB，
∴∠CBO=∠CPE=30°，
∴PE=PCcos30°=(3-t)，CE=PCsin30°=(3-t)，
∴点E(t，0)，
∴QE=3t--(t)=t-，
延长QP交AB于点D，∵PQ⊥AB，∠A=∠A，
∴△ADQ∽△AOB，
∴∠AQD=∠ABO，

∴tan∠AQD=tan∠ABO，
根据(1)知OA=，，
∴tan∠AQD=tan∠ABO==÷=，
∴=，
∴(3-t)：(t-)=，
解得t=1.96．
25．如图，在中，点D，E分别在边，上，且，点P与点C关于直线成轴对称．

(1)求作点P；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
(2)连接EP，若，判断点P是否在直线上，并说明理由．
【答案】(1)见解析；(2)点P在直线上，见解析
(1)如图点P即为所求．
解法一： 解法二：

(2)点P在直线上，理由如下：
如图，连接，设线段与交于点Q，

∵点P与点C关于直线成轴对称，
∴垂直平分．
∴，．
∵，
∴．
∴四边形是菱形．
∴
∴，．
∴．
∴．
∵，
设，则．
∴，．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
又∵点Q在上，
∴点Q与点P重合．
∴点P在直线上．
26．如图，在矩形中，点是边上一点，．


(1)过作于点．(基本作图，保留作图痕迹，不写作法，要下结论)；
(2)求证：．
【答案】(1)见解析；(2)见解析
解：(1)解：如图，在DE另一侧取点K， 以A为圆心，以AK为半径画弧，交DE于点M、N，分别以M、N为圆心，以大于MN为半径画弧，两弧交于点G，连接AG交DE与F， 线段AF即为所求作线段；


(2)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠B＝90°，AB＝CD．
∴∠AEB＝∠DAE，
∵DA＝DE，
∴∠DAE＝∠DEA，
∴∠AEB＝∠AED，
∵AB⊥BE，AF⊥ED，
∴AB＝AF，
∴AF＝CD．
27．如图，中，，，，点在的边上，，以为直角边在同侧作等腰直角三角形，使，过作于点，连接．

(1)求证：；
(2)求的最小值；
(3)若，求的值．
【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)．
解：(1)证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
又∵是等腰直角三角形，
∴，
在和中，
∴；
(2)由(1)得，
∴，，
∴，
由勾股定理得，，
当时，的最小值为，∴的最小值为；
(3)由(1)得，，
，
整理得，，
，
∵，∴，∴，∴，
在中，由勾股定理得，
，∴，∴，
∴，
，，∴．
28．如图，，直线过点，直线，直线，垂足分别为、，且．

(1)求证；
(2)求证．
【答案】证明见解析．
证明：(1)∵BM⊥直线l，CN⊥直线l，
∴∠AMB＝∠CNA＝，
在Rt△AMB和Rt△CNA中，
，
∴Rt△AMB≌Rt△CNA(HL)；
(2)由(1)得：Rt△AMB≌Rt△CNA，
∴∠BAM＝∠ACN，
∵∠CAN+∠ACN＝，
∴∠CAN+∠BAM＝，
∴∠BAC＝﹣＝
29．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，AE∥BC，CE∥AD．

(1)求证：四边形ADCE是菱形；
(2)连接BE，若∠ABC＝30°，AC＝2，求BE的长．
【答案】(1)见解析；(2)
(1)证明：∵AE∥BC，CE∥AD，
∴四边形ADCE是平行四边形．
∵∠BAC=90°，AD是BC边上的中线，
∴AD=BD=CD．
∴四边形ADCE是菱形．
(2)解：过点E作EH⊥BA交BA的延长线于点H．
在Rt△ABC中，∠ABC30°，AC2，
∴BC，AB．
∴ADBC2，
∵四边形ADCE是菱形，
∴AEAD2，
∵AE//BC，
∴∠EAH∠ABC30°．
在Rt△AEH中，EH，
AH．
∴HBAH＋AB．
在Rt△BEH中，
BE．

30．如图，在中，，，，将绕点按逆时针方向旋转得到，此时点恰好落在边上，则周长为__________．

【答案】6
∵将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C，
∴AC＝A'C，AB＝A'B'，∠A＝∠CA'B'＝ ，
∴△AA'C是等边三角形，
∵，∴AC＝＝＝2
周长为2+2+2=6．
故答案为：6