四川省峨眉第二中学校2021-2022学年高二下学期5月月考理科数学试卷

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四川省峨眉第二中学校2021-2022学年高二下学期5月月考理科数学试卷

试卷副标题

考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

请点击修改第I卷的文字说明

1．设命题，则为（       ）

A． B．

C． D．

2．若复数z满足，则（       ）.

A． B． C． D．

3．执行如图所示的程序框图，输出的s值为（       ）

A．4 B．3 C．2 D．1

4．已知函数f(x)＝xlnx，则f(x) （       ）

A．在(0，＋∞)上单调递增 B．在(0，＋∞)上单调递减

C．在上单调递增 D．在上单调递减

5．甲乙两名同学在高三的6次测试的成绩统计如图，甲乙两组数据的平均数分别为，，标准差分别为，，则（       ）

A．， B．，

C．， D．，

6．已知函数的导函数为，且满足，则（       ）

A． B． C．1 D．

7．已知命题对任意，总有；

是的充分不必要条件

则下列命题为真命题的是

A． B． C． D．

8．如图所示，黑色部分和白色部分图形是由曲线及圆构成的，在圆内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（       ）

A．  B．

C．  D．

9．若函数在 区间内存在最小值，则实数的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

10．已知函数，若是从1，2，3三个数中任取的一个数，是从0，1，2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为

A． B． C． D．

11．已知函数，若，不等式恒成立，则实数的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

12．已知函数对任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是

A． B．

C． D．

第II卷（非选择题）

请点击修改第II卷的文字说明

13．从300名学生（其中男生180人，女生120人）中按性别用分层抽样的方法抽取50人参加比赛，则应该抽取男生人数为________.

14．在如图所示一组数据的茎叶图中，有一个数字被污染后模糊不清，但曾计算得该组数据的极差与中位数之和为61，则被污染的数字为__________.

15．已知曲线在点处的切线与曲线相切,则a=________．

16．已知函数的定义域为，且，若，则函数的取值范围为______．

17．已知命题：，命题：．

(1)当时，为真命题，求的取值范围；

(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．

18．某网站从春节期间参与收发网络红包的手机用户中随机抽取名进行调查，将受访用户按年龄分成组：，，…，，并整理得到如下频率分布直方图：

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）从春节期间参与收发网络红包的手机用户中随机抽取一人，估计其年龄低于岁的概率；

（Ⅲ）估计春节期间参与收发网络红包的手机用户的平均年龄．

19．已知函数.

(1)若时，求曲线在点处的切线方程；

(2)若函数有两个零点，求a的取值范围.

20．铁路作为交通运输的重要组成部分，是国民经济的大动脉，在我国经济发展中发挥着重要的作用.近年来，国家持续加大对铁路行业尤其是对高速铁路的投资力度，铁路行业得到了快速发展且未来仍具有较大的增长潜力.下图是我国2017至2021年铁路营业里程折线图.

(1)为了使运算简单，用表示年份数与2016的差，用表示各年的营业里程数，由折线图易知与具有较强的线性关系，试用最小二乘法求关于的回归直线方程，并预测2022年营业里程为多少万公里；

(2)从2017至2021年的五个营业里程数中随机抽取两个数，求所取得的两个数中，至少有一个超过14的概率.

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，.

21．在四棱锥中,底面为菱形，.

(1)证明: ；

(2)若,求二面角的余弦值.

22．设函数．

（1）若当时，取得极值，求的值，并讨论的单调性；

（2）若存在极值，求的取值范围，并证明所有极值之和大于．

参考答案：

1．B

【解析】

【分析】

利用全称命题的否定是特称命题，否结论即可得到.

【详解】

因为命题为全称命题，全称命题的否定是特称命题，

所以命题的否定为.

故选：B

【点睛】

关键点点睛：本题主要考查全称命题的否定，全称命题的否定是特称命题是解题的关键，属于简单题.

2．A

【解析】

【分析】

根据复数的运算法则即可求得复数.

【详解】

∵.

故选：A.

3．C

【解析】

【分析】

按照流程图代入数据运行3次可得答案.

【详解】

运行第一次，

运行第二次，

运行第三次，

此时满足，结束循环，输出

故选：C .

4．D

【解析】

【分析】

利用导数求函数的单调区间.

【详解】

函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝lnx＋1(x>0).

当f′(x)>0时，解得x>，即函数的单调递增区间为；

当f′(x)<0时，解得0<x<，即函数的单调递减区间为.

故选：D.

5．D

【解析】

【分析】

根据图象分析即可得解.

【详解】

∵甲同学整体成绩高于乙同学 ,

  ∴甲＞乙，

∵甲同学成绩的波动幅度小于乙同学，即甲同学成绩更稳定，.

故选：D.

6．B

【解析】

【分析】

求得函数的导数，令，即可求解.

【详解】

由题意，函数，可得，

所以，则．

故选：B.

7．D

【解析】

【详解】

试题分析：由题设可知：是真命题，是假命题；所以，是假命题，是真命题；

所以，是假命题，是假命题，是假命题，是真命题；故选D.

考点：1、指数函数的性质；2、充要条件；3、判断复合命题的真假.

8．A

【解析】

根据图象的对称性知，黑色部分图形的面积为圆面积的四分之一，即可得出概率

【详解】

根据函数性质：与图中的圆构成的图形关于直线对称，所以黑色区域图形的面积为圆面积的四分之一，在圆内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是．

故选：A

【点睛】

此题考查几何概率模型的计算，根据图形的对称性进行转化，求出图形的面积关系便可准确求出概率.

9．C

【解析】

利用导数求出函数的极小值为，由题意可知，再由求得的值，数形结合可得出实数的取值范围.

【详解】

解：由题意，，

当或时，；当时，.

故在，上是增函数，在上是减函数，

所以，函数的极小值为.

作其图象如图，

令得，解得或，

结合图象可知，解得，.

故选：C.

【点睛】

关键点点睛：本题考查利用函数在区间上存在最值求参数，解本题的关键就是弄清楚函数的极小值点在区间内，通过求得，数形结合得出实数所满足的不等式组，综合性较强.

10．D

【解析】

【详解】

试题分析：将记为横坐标，将记为纵坐标，可知总共有9个的结果，而函数有两个极值点的条件为其导函数有两个不相等的实根，，满足题中条件为，即，所以满足条件的基本事件有共6个基本事件，所以所求的概率为，故选D．

考点：古典概型．

11．C

【解析】

【分析】

利用导数分析函数在上的单调性，根据单调性求其最值，由条件列不等式求的范围.

【详解】

，所以，令，故，因为，故，故在上单调递增，

所以；

所以在上单调递增，

故；

又恒成立，

所以，

所以，

所以．

所以实数的取值范围是，

故选：C.

12．D

【解析】

【分析】

构造函数，利用函数导数判断函数的单调性，将代入函数，根据单调性选出正确的选项.

【详解】

构造函数，依题意，故函数在定义域上为增函数，由得，即，排除A选项. 由得，即，排除B选项.由得，即，排除C，选项. 由得，即，D选项正确，故选D.

【点睛】

本小题主要考查构造函数法比较大小，考查函数导数的概念，考查函数导数运算，属于基础题.

13．30人

【解析】

先计算出男生、女生的比例，再按分层抽样的方法计算出抽取男生的人数.

【详解】

因为男生与女生的比例为180∶120＝3∶2，所以应该抽取男生人数为50×＝30人.

故答案为：人

【点睛】

本小题主要考查分层抽样，属于基础题.

14．2

【解析】

【分析】

根据茎叶图进行数据分析求出极差，再由极差与中位数之和为61，列方程即可求解.

【详解】

根据茎叶图进行数据分析可得：极差为48-20=28.

因为极差与中位数之和为61，所以中位数为33.

设被污染的数字为a，则，解得：a=2.

故答案为：2

15．8

【解析】

【详解】

试题分析：函数在处的导数为，所以切线方程为；曲线的导函数的为，因与该曲线相切，可令，当时，曲线为直线，与直线平行，不符合题意；当时，代入曲线方程可求得切点，代入切线方程即可求得.

考点：导函数的运用.

【方法点睛】求曲线在某一点的切线，可先求得曲线在该点的导函数值，也即该点切线的斜率值，再由点斜式得到切线的方程，当已知切线方程而求函数中的参数时，可先求得函数的导函数，令导函数的值等于切线的斜率，这样便能确定切点的横坐标，再将横坐标代入曲线（切线）得到纵坐标得到切点坐标，并代入切线（曲线）方程便可求得参数．

16．

【解析】

【分析】

先由导数求出，再计算，分类讨论，由均值不等式求解即可得解.

【详解】

由，得，

∴，设，由于，因而，

∴，，

∴，

当时，，当时，，当时取得最小值，当时取得最大值，的取值范围为．

故答案为：

17．(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）当时，分别求得命题对应的集合，结合为真命题，取并集，即可求得的取值范围；

（2）根据题意得到集合是集合的真子集，分和，两种情况，即可求解.

(1)

解：当时，命题，即为，命题，即为

因为为真命题，即命题和中至少有一个是真命题，

所以，即的取值范围.

(2)

解：因为是的充分不必要条件，即集合是集合的真子集，

当时，，解得，此时满足题意；

当时，则满足，解得，

综上可得，即实数的取值范围．

18．（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）32.5.

【解析】

【分析】

（1）根据频率分布直方图的矩形面积和为1即可得解；

（2）求解样本中年龄低于40的矩形的面积即可得解；

（3）利用每个矩形的面积乘以横坐标的中点值求和即可得解.

【详解】

（1）根据频率分布直方图可知，，

解得. 

(2)根据题意，样本中年龄低于40的频率为，

所以从春节期间参与收发网络红包的手机用户中随机抽取一人，

估计其年龄低于40岁的概率为0.75.

(3)根据题意，春季期间参与收发网络红包的手机用户的平均年龄估计为

(岁) .

【点睛】

本题主要考查了频率分布直方图的简单应用，属于基础题.

19．(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）求出即可得答案；

（2），然后求出的单调性，结合其图像可得答案.

(1)

当时，，.

∴切线方程为，即

(2)

令

设

当时，当时，

∴在上单调递增，在单调递减

∵时时

∴函数有两个零点时，a的取值范围为

20．(1)，万公里；

(2).

【解析】

【分析】

（1）利用最小二乘法即求；

（2）利用古典概型概率公式即得.

(1)

由题意：的取值为1，2，3，4，5，

，，

，

，

2022年的营业里程数为（万公里）；

(2)

在12.7，13.1，14.0，14.9，15.3五个数中，有2个超过14万公里，有3个没有超过14万公里，

设取得的两个数中，至少有一个超过14万公里为事件A，则由题意知：

，

即所求概率为.

21．(1)见解析;(2).

【解析】

【详解】

分析：(1)先证明，即，又；

（2）以 为坐标原点，分别以 所在直线为 轴建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，代入公式即可得到二面角的余弦值.

详解：证明：

（1）取 中点为，连结

，

D，

底面为菱形，且

为等边三角形，

，

平面

，平面

∴

.

（2）设

，

为中点

，

，

.

以 为坐标原点，分别以 所在直线为 轴建立如图所示的空间直角坐标系，

相关各点的坐标为

，，，.

设的法向量为

得

令得，即

，

设二面角的平面为，由图可知，为钝角，

则.

点睛：空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.

22．（1），在区间单调递增，在区间单调递减；（2）的取值范围为；证明见解析．

【解析】

【分析】

（1）利用导数研究极值的条件，求得a的值，并将导函数通分和分解因式，得到导函数的正负区间，进而得到函数f(x)的单调区间；

（2）利用导数和极值的关系，采用分类讨论的方法，求得a的取值范围，根据极值点满足的二次方程，利用根与系数的关系，结合对数的运算，得到，进而求得极值之和，根据极值存在的条件证得最终的结论.

【详解】

（1），依题意有，故．

经检验满足题意．

，的定义域为，

，

当时，；当时，；当时，．

所以在区间单调递增，在区间单调递减．

（2）的定义域为，．

方程的判别式．

若，即，在的定义域内，故无极值．

若，则或．

当，，，当时，，当时，，所以无极值．

当，，，也无极值．

若，即或，

则有两个不同的实根，．

当时，，从而在的定义域内没有零点，故无极值．

当时，，，在的定义域内有两个不同的零点，

可知在取得极值．

综上，存在极值时，的取值范围为．

由可得，则，

，

所以的极值之和为

．

【点睛】

本小题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查了较为复杂的运算能力和分类讨论思想，属中高档题，难度较大.关键是要熟练准确掌握导数与函数的单调性的关系，导数与极值的关系，并注意利用二次方程根与系数的关系简化运算.