北师大版初中数学九年级上册期中测试卷（困难）（含答案解析）

这是一份北师大版初中数学九年级上册期中测试卷（困难）（含答案解析），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

北师大版初中数学九年级上册期中测试卷
考试范围：第一，二，三章；考试时间：100分钟；总分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
1. 如图，在正方形ABCD中，点E，F将对角线AC三等分，且AC=12，点P在正方形的边上，则满足PE+PF=9的点P的个数是(    )
A. 0
B. 4
C. 6
D. 8
2. 等腰三角形一边长为2，它的另外两条边的长度是关于x的一元二次方程x2−6x+k=0的两个实数根，则k的值是(    )
A. 8 B. 9 C. 8或9 D. 12
3. 定义[x]为不大于实数x的最大整数，如[1.8]=1，[−1.4]=−2.[−3]=−3.函数y=[x](−2≤x<2)的图象如图所示，则方程[x]=12x2+x的解为(    )

A. 0或−2 B. 0 C. −1±3 D. 0或−1±3
4. 如图，小彬收集了三张除正面图案外完全相同的卡片，其中两张印有中国国际进口博览会的标志，另外一张印有进博会吉祥物“进宝”.现将三张卡片背面朝上放置，搅匀后从中一次性随机抽取两张，则抽到的两张卡片图案不相同的概率为(    )

A. 13 B. 49 C. 59 D. 23
5. 2018年5月5日，中国邮政发行《马克思诞辰200周年》纪念邮票1套2枚(如图)，这套邮票正面图案为：马克思像、马克思与恩格斯像，背面完全相同.发行当日，小宇购买了此款纪念邮票2套，他将2套邮票沿中间虚线撕开(使4枚形状、大小完全相同)后将4枚纪念邮票背面朝上放在桌面上，并随机从中抽出2张，则抽出的2张邮票恰好都是“马克思像”的概率为(    )

A. 12 B. 13 C. 14 D. 16
6. 下列说法：
①若一元二次方程x2+bx+a=0有一个根是a(a≠0)，则代数式a+b的值是−1；
②若b2>6ac，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0一定有两个不相等的实数根；
③若b=a+2c，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0一定有两个不相等的实数根；
④已知两实数m，n满足m2+3m−9=0，9n2−3n−1=0，且mn≠1，则mn2+mn+nn2的值为−6.其中正确的有(    )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
7. 如图，边长为2的正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，将正方形ABCD沿直线DF折叠，点C落在对角线BD上的点E处，折痕DF交AC于点M，则OM=(    )
A. 12
B. 22
C. 3−1
D. 2−1
8. 如图，在△ABC中，∠BAC=90∘，AB=3，AC=4，D是BC的中点，将△ABD沿AD翻折得到△AED，连接CE，则线段CE的长为(    )

A. 2 B. 54 C. 53 D. 75
9. 关于x，y的二元一次方程组3x−y=ax−3y=5−4a的解满足x A. a>35 B. a<13 C. a<53 D. a>53
10. 下列说法：
①若一元二次方程x2+bx+a=0有一个根是−a(a≠0)，则代数式a−b的值是−1
②若a+b+c=0，则x=a+b+c是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根
③若b=2a+3c，则一元二次方程ax2+bx+c=0有不相等的两个实数根
④当m取整数−1或1时，关于x的一元二次方程mx2−4x+4=0与x2−4mx+4m2−4m−5=0的解都是整数．
其中正确的有(    )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
11. 某事件发生的概率为14，则下列说法不正确的是(    )
A. 无数次实验后，该事件发生的频率逐渐稳定在14左右
B. 无数次实验中，该事件平均每4次出现1次
C. 每做4次实验，该事件就发生1次
D. 逐渐增加实验次数，该事件发生的频率就和14逐渐接近
12. 已知：如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，点D是射线AB上一动点，以CD为一边向左画正方形CDEF.连接DF，取DF中点Q，则BQ的最小值为(    )

A. 2 B. 22 C. 4 D. 2
第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
13. 如图，△ABC是边长为1的等边三角形，D，E为线段AC上两动点，且∠DBE=30°，过点D，E分别作AB，BC的平行线相交于点F，分别交BC，AB于点H，G.现有以下结论：①S△ABC=34；②当点D与点C重合时，FH=12；③AE+CD=3DE；④当AE=CD时，四边形BHFG为菱形，其中正确结论是                      . 
14. 如图，某单位准备在院内一块长30 m、宽20 m的长方形花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的部分种植花草．如图，要使种植花草的面积为532 m2，则小道进出口的宽度为________m．

15. 某鱼塘养了200条鲤鱼、若干条草鱼和150条鲢鱼，该鱼塘主通过多次捕捞试验后发现，捕捞到草鱼的频率稳定在0.5左右．若该鱼塘主随机在鱼塘捕捞一条鱼，则捞到鲤鱼的概率为______．
16. 关于x的方程a(x+m)2+b=0的解是x1=2，x2=−1(a,b,m均为常数，且a≠0)，则a(2x+m−1)2+b=0的解是______．

三、解答题（本大题共8小题，共72.0分）
17. 已知关于x的方程x2−2x+2k−1=0有实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)设方程的两根分别是x1、x2，且x2x1+x1x2=x1⋅x2，试求k的值．
18. 如图，在△ABC中，AB=6cm，BC=7cm，∠ABC=30°，点P从A点出发，以1cm/s的速度向B点移动，点Q从B点出发，以2cm/s的速度向C点移动．如果P、Q两点同时出发，经过几秒后△PBQ的面积等于4cm2？

19. 有六张完全相同的卡片，分A、B两组，每组三张，在A组的卡片上分别画上“√、×、√”，B组的卡片上分别画上“√、×、×”，如图1所示．
(1)若将卡片无标记的一面朝上摆在桌上，再发布从两组卡片中随机各抽取一张，求两张卡片上标记都是√的概率(请用树形图法或列表法求解)
(2)若把A、B两组卡片无标记的一面对应粘贴在一起得到3张卡片，其正反面标记如图2所示，将卡片正面朝上摆放在桌上，并用瓶盖盖住标记．
①若随机揭开其中一个盖子，看到的标记是√的概率是多少？
②若揭开盖子，看到的卡片正面标记是√后，猜想它的反面也是√，求猜对的概率．

20. 《中国汉字听写大会》唤醒了很多人对文字基本功的重视和对汉字文化的学习，我市某校组织了一次全校2000名学生参加的“汉字听写大会”海选比赛，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分，为了更好地了解本次海选比赛的成绩分布情况，随机抽取了其中200名学生的海选比赛成绩(成绩x取整数，总分100分)作为样本进行整理，得到下列统计图表：
抽取的200名学生海选成绩分组表
组别
海选成绩x
A组
50≤x<60
B组
60≤x<70
C组
70≤x<80
D组
80≤x<90
E组
90≤x≤100
请根据所给信息，解答下列问题：
(1)请把图1中的条形统计图补充完整；(温馨提示：请画在答题卷相对应的图上)
(2)在图2的扇形统计图中，记表示B组人数所占的百分比为a%，则a的值为______，表示C组扇形的圆心角θ的度数为______度；
(3)规定海选成绩在90分以上(包括90分)记为“优等”，请估计该校参加这次海选比赛的2000名学生中成绩“优等”的有多少人？
(4)经过统计发现，在E组中，有2位男生和2位女生获得了满分，如果从这4人中挑选2人代表学校参加比赛，请用树状图或列表法求出所选两人正好是一男一女的概率是多少？

21. 如图1，已知AD/​/BC，AB/​/CD，∠B=∠C.


(1)求证：四边形ABCD为矩形．
(2)如图2，M为AD的中点，在AB上取一点N，使∠BNC=2∠DCM．
 ①若N为AB的中点，BN=2，求CN的长．
 ②若CM=3，CN=4，求BC的长．
22. 如图，在平行四边形ABCD中，AB=3，点E为线段AB的三等分点(靠近点A)，点F为线段CD的三等分点(靠近点C)，且CE⊥AB.将△BCE沿CE对折，BC边与AD边交于点G，且DC=DG．
(1)证明：四边形AECF为矩形；
(2)求平行四边形ABCD的周长．

23. 为打赢疫情防控阻击战，配餐公司为某校提供A、B、C三种午餐供师生选择，单价分别是：8元、10元、15元．为了做好下阶段的经营与销售，配餐公司根据该校上周A、B、C三种午餐购买情况的数据制成统计表如下，又根据过去平均每份的利润与销售量之间的关系绘制成统计图如下：

种类
数量(份)
A
1800
B
2400
C
800
请你根据以上信息，解答下列问题：
(1)该校师生上周购买午餐费用的中位数是_____元；
(2)为了提倡均衡饮食，假如学校要求师生每人选择两种不同午餐交替使用，试通过列表或画树状图分析，求该校学生小明选择“AB”组合的概率；
(3)经分析与预测，师生购买午餐种类与数量相对稳定．根据上级规定，配餐公司平均每份午餐的利润不得超过3元，否则应调低午餐的单价．
①请通过计算分析，试判断配餐公司在下周的销售中是否需要调低午餐的单价？
②为了便于操作，公司决定只调低一种午餐的单价，且调低幅度至少1元(只能整数元)，才能使得下周平均每份午餐的利润在不违反规定下最接近3元，试通过计算说明，应把哪一种午餐的单价调整为多少元？
24. 已知关于x的方程x2+ax+a−2=0．
(1)当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根；
(2)求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
答案和解析

1.【答案】D 
【解析】
【分析】
本题考查了正方形的性质，最短路径问题，在BC上找到点H，使点H到点E和点F的距离之和最小是本题的关键．
作点F关于BC的对称点M，连接FM交BC于点N，连接EM，交BC于点H，可得点H到点E和点F的距离之和最小，可求最小值，即可求解．
【解答】
解：如图，作点F关于BC的对称点M，连接FM交BC于点N，连接EM，交BC于点H，

∵点E，F将对角线AC三等分，且AC=12，
∴EC=8，FC=4=AE，
∵点M与点F关于BC对称，
∴CF=CM=4，∠ACB=∠BCM=45°，
∴∠ACM=90°，
∴EM=EC2+CM2=45，
则在线段BC存在点H到点E和点F的距离之和最小为45<9，
在点H右侧，当点P与点C重合时，
则PE+PF=12，
∴点P在CH上时，
45 在点H左侧，当点P与点B重合时，
BF=FN2+BN2=210，
∵AB=BC，CF=AE，∠BAE=∠BCF，
∴△ABE≌△CBF(SAS)，
∴BE=BF=210，
∴PE+PF=410，
∴点P在BH上时，45 ∴在线段BC上点H的左右两边各有一个点P使PE+PF=9，
同理在线段AB，AD，CD上都存在两个点使PE+PF=9．
即共有8个点P满足PE+PF=9，
故选：D．  
2.【答案】B 
【解析】解：当等腰三角形的底边为2时，
此时关于x的一元二次方程x2−6x+k=0的有两个相等实数根，
∴△=36−4k=0，
∴k=9，
此时两腰长为3，
∵2+3>3，
∴k=9满足题意，
当等腰三角形的腰长为2时，
此时x=2是方程x2−6x+k=0的其中一根，
∴4−12+k=0，
∴k=8，
此时另外一根为：x=4，
∵2+2=4，
∴不能组成三角形，
综上所述，k=9，
故选：B．
根据一元二次方程的解法以及等腰三角形的性质即可求出答案．
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及等腰三角形的性质，本题属于中等题型．

3.【答案】B 
【解析】解：当1≤x<2时，12x2+x=1，解得x=−1+3或x=−1−3，均不合题意;
当0≤x<1时，12x2+x=0，解得x1=0， x2=−2(舍去);
当−1≤x<0时，12x2+x= −1，方程没有实数解;
当−2≤x<−1时， 12x2+x=−2，方程没有实数解．
所以方程[x]=12x2+x的解为0．
故选B．

4.【答案】D 
【解析】解：用A1、A2分别表示两张印有中国国际进口博览会的标志，用B表示一张印有进博会吉祥物“进宝”．
一次性随机抽取两张，所有可能出现的情况如下：

共有6种等可能出现的结果，有4种两张卡片图案不相同，
∴P(两张卡片图案不相同)=46=23，
故选：D．
利用树状图或列表法列出所有可能出现的结果数，再从中得到满足条件的结果数，进而求出概率即可．
考查随机事件发生概率的计算方法，列表法和树状图法是常用的方法，使用的前提是每一种结果出现的可能性是均等的，即是等可能事件．

5.【答案】D 
【解析】
【分析】
本题主要考查概率公式和树状图的知识，解题的关键是掌握随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
由这2套共4张邮票中，“马克思像”的有2张，画出树状图，再利用概率公式计算可得．
【解答】
解：如图：在这2套共4张邮票中，“马克思像”的2张，总情况有12种，则抽出的2张邮票恰好都是“马克思像”有两种，概率为212=16．

故选D．  
6.【答案】C 
【解析】
【分析】
此题主要考查了根的判别式、根与系数的关系以及方程的解，根据一元二次方程根的意义，判别式、根与系数的关系解题是解决本题的关键．
①将a代入方程得出a+b的值即可；②分ac≥0或ac<0，两种情形计算b2−4ac，证明即可；③利用b=a+2c，分析△得出即可；④根据题意判断m，1n都是x2+3x−9=0的根，结合m≠1n，利用根与系数的关系计算mn2+mn+nn2的值即可判断．
【解答】
解：①若一元二次方程x2+bx+a=0有一个根是a(a≠0)，
则a2+b×a+a=0，
整理得出：a(a+b+1)=0，
则代数式a+b=−1，故此①正确；
②若b2>6ac，则b2−6ac>0，
若ac≥0，则b2−4ac=b2−6ac+2ac>0，
若ac<0，则b2−4ac>0，
证得方程ax2+bx+c=0一定有两个不相等的实数根，故②正确；
③若b=a+2c，
那么△=b2−4ac=(a+2c)2−4ac=a2+4c2，
∵a≠0，
∴△>0，
故③正确；
④∵两实数m，n满足m2+3m−9=0，9n2−3n−1=0，
∴m，1n都是x2+3x−9=0的根，
∵mn≠1，
∴m≠1n，
∴m+1n=−3，m·1n=mn=−9，
∴mn2+mn+nn2=m+mn+1n=−3−9=−12．
故④错误；
故正确的有3个，
故选：C．  
7.【答案】D 
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=BC=CD=2，∠DCB=∠COD=∠BOC=90°，OD=OC，
∴BD=2AB=2，
∴OD=BO=OC=1，
∵将正方形ABCD沿直线DF折叠，点C落在对角线BD上的点E处，
∴DE=DC=2，DF⊥CE，
∴OE=2−1，∠EDF+∠FED=∠ECO+∠OEC=90°，
∴∠ODM=∠ECO，
在△OEC与△OMD中
∠EOC=∠DOC=90°OC=OD∠OCE=∠ODM,
△OEC≌△OMD(ASA)，
∴OM=OE=2−1，
故选：D．
根据正方形的性质得到AB=AD=BC=CD=2，∠DCB=∠COD=∠BOC=90°，OD=OC，求得BD=2AB=2，得到OD=BO=OC=1，根据折叠的性质得到DE=DC=2，DF⊥CE，求得OE=2−1，根据全等三角形的性质即可得到结论．
本题考查了翻折变换(折叠问题)，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，正确的识别图形是解题的关键．

8.【答案】D 
【解析】解：如图，连接BE交AD于点O，过点A作AH⊥ BC于点H．

在Rt△ABC中，由勾股定理，可得BC=5，
∵ D是BC的中点
∴ED=DB=DC=52，
∵AE=AB，ED=DB=DC
此时△CEB为直角三角形．
由S△ABC=12BC⋅AH=12AB⋅AC，
得AH=125．
根据折叠的特征，得AD垂直平分线段BE．
由S△ABD=12AD⋅BO= 12BD⋅AH，
得OB=125，
∴BE=2OB=245．
∴在Rt△BEC中，由勾股定理，得CE=75．
故选：D．


9.【答案】D 
【解析】
【分析】
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．将a看做已知数求出方程组的解表示出x与y，代入已知不等式即可求出a的范围．
【解答】
解：3x−y=a   ①x−3y=5−4a   ② ①×3−②得：8x=7a−5，即x=7a−58，
①−②×3得：8y=13a−15，即y=13a−158，
根据题意得：7a−58<13a−158，
去分母得：7a−5<13a−15，
移项合并得：6a>10，
解得：a>53．
故选D．
  
10.【答案】B 
【解析】解：①若一元二次方程x2+bx+a=0有一个根是−a(a≠0)，则a2+b×(−a)+a=0
整理得出：a(a−b+1)=0，
则代数式a−b=−1，故此选项正确；

②若a+b+c=0，则x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根，故此选项错误；

③若b=2a+3c，那么△=b2−4ac=(2a+3c)2−4ac=(2a+2c)2+5c2，
当a≠0，c=−a时，△>0；当a≠0，c=0时，△>0；当a≠c≠0时，△>0，
∴△>0，故此选项正确；

④∵关于x的一元二次方程mx2−4x+4=0与x2−4mx+4m2−4m−5=0有解，
则m≠0，
∴△≥0
mx2−4x+4=0，
∴△=16−16m≥0，即m≤1；
x2−4mx+4m2−4m−5=0，
△=16m2−16m2+16m+20≥0，
∴4m+5≥0，m≥−54；
∴−54≤m≤1，而m是整数，
所以m=1，m=0(舍去)，m=−1(一个为x2−4x+4=0，另一个为x2+4x+3=0，冲突，故舍去)，
当m=1时，mx2−4x+4=0即x2−4x+4=0，方程的解是x1=x2=2；
x2−4mx+4m2−4m−5=0即x2−4x−5=0，方程的解是x1=5，x2=−1；
当m=0时，mx2−4x+4=0时，方程是−4x+4=0不是一元二次方程，故舍去．
故m=1，故此选项错误；
故正确的有2个，
故选：B．
①将−a代入方程得出a−b的值即可；②利用a+b+c=0，即x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根得出答案，③利用b=2a+3c，分析△得出即可；
④这两个一元二次方程都有解，因而根与判别式△≥0，即可得到关于m不等式，从而求得m的范围，再根据m是整数，即可得到m的可能取到的几个值，然后对每个值进行检验，是否符合使两个一元二次方程的解都是整数即可确定m的值．
此题主要考查了根的判别式以及方程的解，解答此题要知道一元二次方程根的情况与判别式△的关系，首先根据根的判别式确定m的范围是解决本题的关键．

11.【答案】C 
【解析】
【试题解析】
【分析】
本题考查了利用频率估计概率.解题的关键是了解某事件发生的概率为14，不一定试验4次就一定有一次发生，分别判断后即可得出答案．
【解答】
解：A.无数次实验后，该事件发生的频率逐渐稳定在14左右，故A正确，不符合题意；
B.无数次实验中，该事件平均每4次出现1次，故B正确，不符合题意；
C.每做4次试验，该事件可能发生一次，也可能发生两次，也有可能不发生，故C错误，符合题意；
D.逐渐增加实验次数，该事件发生的频率就和14逐渐接近，故D正确，不符合题意。
故选C。
  
12.【答案】A 
【解析】解：如图：

∵四边形CDEF为正方形，
∴∠DCF=∠ACB=90°，CD=CF，
∴∠ACD=∠BCF，
在△ACD与△BCF中，
AC=BC∠ACD=∠BCFCD=CF，
∴△ACD≌△BCF(SAS)，
∴∠CAD=∠CBF=45°，
∴∠FBD=∠CBF+∠CBA=90°，
∴△FBD为直角三角形，
∵Q为FD的中点，
∴BQ=12DF，
∵DF=CD2+CF2=2CD，
∴BQ=22CD，
∴当CD最小时，BQ最小，
∴当CD⊥AB时，CD最小，CD最小值为12AB=12×AC2+BC2=12×42+42=22，
∴BQ最小值为22×22=2，
故选：A．
先证明△ACD≌△BCF，得到∠CBF=45°，可以证明△FBD是直角三角形，所以BQ=12DF，又利用勾股定理，得到DF=2CD，有BQ=22CD，所以当CD最小时，BQ最小，利用垂线段最短，当CD⊥AB时，BQ取得最小值，即可解决．
本题考查线段最值问题，涉及到的知识点有手拉手模型的全等三角形，垂线段最短，直角三角形斜边中线等于斜边一半等，证明△ACD≌△BCF是解决本题的关键．

13.【答案】①②④ 
【解析】
【分析】
本题是四边形综合题，考查了等边三角形的性质，平行四边形的性质，菱形的判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质，旋转的性质等知识，添加恰当辅助线构造直角三角形，找出AE，CD，DE的关系是解题的关键．
①利用三角形的面积公式计算即可；
②依题意画出图形，利用等边三角形和平行线的性质求出FH即可；
③将△CBD绕点B逆时针旋转60°，得到△ABN，由“SAS”可证△DBE≌△NBE，可得DE=NE，在Rt△PNE中，利用勾股定理可得AE，CD，DE的关系，可判断③；
④先证△AGE，△DCH都是等边三角形，可得AG=AE=CH=CD，利用菱形的判定定理判定即可．
【解答】
解：①过点A作AP⊥BC于点P，如图1：

∵△ABC是边长为1的等边三角形，AP⊥BC，
∴BP=12BC=12，
∴AP=AB2−BP2=32，
∴S△ABC=12BC×AP=12×1×32=34.故①正确；
②当点D与点C重合时，H，D，C三点重合，如图2：

∵∠DBE=30°，∠ABC=60°，
∴BE是∠ABC的平分线，
∵AB=BC，
∴AE=EC=12AC=12，
∵CF/​/AB，
∴∠FCA=∠A=60°，
∵GF/​/BC，
∴∠FEC=∠ACB=60°，
∴∠FCE=∠FEC=60°，
∴∠FCE=∠FEC=∠F=60°，
∴△EFC为等边三角形，
∴FC=EC=12，
即FH=12.故②正确；
③如图3，将△CBD绕点B逆时针旋转60°，得到△ABN，连接NE，过点N作NP⊥AC，交CA的延长线于P，

∴BD=BN，CD=AN，∠BAN=∠C=60°，∠CBD=∠ABN，
∵∠DBE=30°，
∴∠CBD+∠ABE=30°=∠ABE+∠ABN=∠EBN，
∴∠EBN=∠DBE=30°，
又∵BD=BN，BE=BE，
∴△DBE≌△NBE(SAS)，
∴DE=NE，
∵∠NAP=180°−∠BAC−∠NAB=60°，
∴AP=12AN，NP=3AP=32AN=32CD，
∵NP2+PE2=NE2，
∴34CD2+(AE+12CD)2=DE2，
∴AE2+CD2+AE⋅CD=DE2，故③错误；
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠ABC=∠C=60°，
∵GF/​/BH，BG/​/HF，
∴四边形BHFG是平行四边形，
∵GF/​/BH，BG/​/HF，
∴∠AGE=∠ABC=60°，∠DHC=∠ABC=60°，
∴△AGE，△DCH都是等边三角形，
∴AG=AE，CH=CD，
∵AE=CD，
∴AG=CH，
∴BH=BG，
∴▱BHFG是菱形，故④正确，
故答案为①②④．  
14.【答案】1 
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用和图形的平移，解题的关键是利用图形的平移和等面积法，把阴影部分转化为一横和两竖的小道，并列出方程．设小道进出口的宽度为x米，然后利用其种植花草的面积为532平方米列出方程求解即可．

【解答】
解：若小道进出口的宽度为x m，
根据题意，得30×20−20×2x−30x+2x·x=532．
整理，得x2−35x+34=0，
解得x1=1，x2=34(不合题意，舍去)．
故小道进出口的宽度为1 m．
  
15.【答案】27 
【解析】解：设草鱼有x条，根据题意得：
x200+x+150=0.5，
解得：x=350，
由题意可得，捞到鲤鱼的概率为200200+350+150=27，
故答案为：27．
根据捕捞到草鱼的频率可以估计出放入鱼塘中鱼的总数量，从而可以得到捞到鲤鱼的概率．
本题考查用样本估计总体，解题的关键是明确题意，由草鱼的数量和出现的频率可以计算出鱼的数量．

16.【答案】x1=32，x2=0 
【解析】
【分析】
本题考查了解一元二次方程−直接开平方法：形如x2=p或(nx+m)2=p(p≥0)的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．把方程a(2x+m−1)2+b=0看作关于2x−1的一元二次方程，则2x−1=2或2x−1=−1，然后解两个一次方程即可．
【解答】
解：把方程a(2x+m−1)2+b=0变形为a[(2x−1)+m]2=a，
∵关于x的方程a(x+m)2+b=0的解是x1=2，x2=−1，
∴2x−1=2或2x−1=−1，
∴x1=32，x2=0．
故答案为x1=32，x2=0．  
17.【答案】(1)解：∵原方程有实数根，
∴b2−4ac≥0，
∴(−2)2−4(2k−1)≥0
∴k≤1；
(2)∵x1，x2是方程的两根，根据一元二次方程根与系数的关系，得：
x1+x2  =2，x1 ⋅x2 =2k−1，
又∵x2x1+x1x2=x1⋅x2，
∴x12+x22x1⋅x2=x1⋅x2，
∴(x1+x2)2−2x1 x2 =(x1 ⋅x2)2，
∴22−2(2k−1)=(2k−1)2 ，
解之，得：k1=52,k2=−52.经检验，都符合原分式方程的根，
∵k≤1，
∴k=−52． 
【解析】本题主要考查了根的判别式以及根与系数关系的知识，解答本题的关键是根据根的判别式的意义求出k的取值范围，此题难度不大．
(1)根据一元二次方程x2−2x+2k−1=0有两个不相等的实数根得到△=(−2)2−4(2k−1)≥0，求出k的取值范围即可；
(2)根据根与系数的关系得出方程解答即可．

18.【答案】解：如图，
过点Q作QE⊥PB于E，则∠QEB=90°．
∵∠ABC=30°，
∴2QE=QB．
∴S△PQB=12⋅PB⋅QE．
设经过t秒后△PBQ的面积等于4cm2，
则PB=(6−t)cm，QB=2t(cm)，QE=t(cm)．
根据题意，12⋅(6−t)⋅t=4．
t2−6t+8=0．
t2=2，t2=4．
当t=4时，2t=8，8>7，不合题意舍去，取t=2．
当点Q到达C点时，此时t=72，
S△PQB=12×72×(6−t)=4
∴t=267>72
答：经过2秒后△PBQ的面积等于4cm2． 
【解析】作出辅助线，过点Q作QE⊥PB于E，即可得出△PQB的面积为12×PB×QE，由P、Q点的移动速度，设时间为t秒时，可以得出PB、QE关于t的表达式，代入面积公式，即可得出答案．
本题考查了一元二次方程的运用，注意求得的值的取舍问题．

19.【答案】解：(1)列表如下：
 
√
×
√
√

(√,√)
(×,√)
(√,√)
×
(√,×)
(×,×)
(√,×)
×
(√,×)
(×,×)
(√,×)
所有等可能的情况有9种，两种卡片上标记都是“√”的情况有2种，
则P=29；
(2)①∵三张卡片上正面的标记有三种可能，分别为“√，×，√”，
∴随机揭开其中一个盖子，看到的标记是“√”的概率为23．
则P=23；
②∵正面标记为“√”的卡片，其反面标记情况有两种可能，分别为“√”和“×”，
∴猜对反面也是“√”的概率为12．
则P=12． 
【解析】(1)列表得出所有等可能的情况数，找出两种卡片上标记都是“√”的情况数，即可求出所求的概率；
(2)①根据题意得到所有等可能情况有3种，其中看到的标记是“√”的情况有2种，即可求出所求概率；
②所有等可能的情况有2种，其中揭开盖子，看到的卡片正面标记是“√”后，它的反面也是“√”的情况有1种，即可求出所求概率．
此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

20.【答案】(1)D的人数是：200−10−30−40−70=50(人)，
补全图形如下：


(2)15，  72  ；
(3)根据题意得：2000×70200=700(人)，
答：估计该校参加这次海选比赛的2000名学生中成绩“优等”的有700人．

(4)分别用A、B表示两名女生，分别用D、E表示两名男生，由题意，可列表：
第一次
第二次
A
B
C
D
A

(A,B)
(A,C)
(A,D)
B
(B,A)

(B,C)
(B,D)
C
(C,A)
(C,B)

(C,D)
D
(D,A)
(D,B)
(D,C)

由已知，共有12种结果，且每种结果出现的可能性相同，其中满足要求的有8种，
∴P(恰好抽到1个男生和1个女生)=812=23． 
【解析】
解：(1)见答案；

(2)B组人数所占的百分比是30200×100%=15%，则a的值是15；
C组扇形的圆心角θ的度数为360°×40200=72°；
故答案为：15，72；

(3)见答案．

(4)见答案．
【分析】
(1)用随机抽取的总人数减去A、B、C、E组的人数，求出D组的人数，从而补全统计图；
(2)用B组抽查的人数除以总人数，即可求出a；用360乘以C组所占的百分比，求出C组扇形的圆心角θ的度数；
(3)用该校参加这次海选比赛的总人数乘以成绩在90分以上(包括90分)所占的百分比，即可得出答案．
(4)首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与所选两人正好是一男一女的情况，再利用概率公式即可求得答案．
本题考查的是用列表法或画树形图求随机事件的概率，条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．  
21.【答案】解：(1)证明：∵AD/​/BC，AB/​/CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，∠B+∠C=180∘．
∵∠B=∠C，
∴∠B=∠C=90∘．
∴四边形ABCD是矩形．
(2) ①如图1，延长CM，交BA延长线于点E．
∵AN=BN=2．
∴AB=CD=4．
∵ AE/​/DC，
∴∠E=∠MCD.在△AEM和△DCM中．

∠E=∠MCD,∠AME=∠DMC,AM=DM,
∴△AME≌△DMC(AAS)．
∴AE=CD=4．
∵∠BNC=2∠DCM=2∠E=∠E+∠NCE，
∴∠NCE=∠E，
∴CN=EN=AE+AN=4+2=6．
 ②如图2，延长CM与BA的延长线交于点E.由 ①可知，△EAM≌△CDM. EN= CN，
∴EM= CM=3，EN=CN=4．
设BN=x，则BC2=CN2−BN2=CE2−EB2. 
∴42−x2=62−(x+4)2．
∴x=12．
∴BC=CN2−BN2=42−(12)2=372．

 
【解析】见答案

22.【答案】(1)证明：∵ABCD是平行四边形，
∴AB/​/CD，AB=CD，
∵点E为线段AB的三等分点(靠近点A)，
∴AE=13AB，
∵点F为线段CD的三等分点(靠近点C)，
∴CF=13CD，
∴AE=CF，
∵AE/​/CF，
∴四边形AECF为平行四边形；
∵CE⊥AB，
∴∠AEC=90°，
∴四边形AECF为矩形；
(2)解：∵AB=3，
∴AE=CF=1，BE=2，
∵将△BCE沿CE对折得到△ECB′，
∴B′E=BE=2，
∴AB′=1，
∵DC=DG=3，
∴∠DGC=∠DCG，
∵BB′//CD，
∴∠DCG=∠B′，
∵∠DGC=∠B′GA，
∴∠B′=∠B′GA，
∴AB′=AG=1，
∴DA=BC=4，
∴C平行四边形ABCD=2(AB+BC)=2×(3+4)=14． 
【解析】(1)由已知可得AE=13AB，CF=13CD，能得到AE=CF，AE/​/CF，再由CE⊥AB，即可证明四边形AECF为矩形；
(2)由折叠可知B′E=BE=2，求得AB′=1，先证明∠B′=∠B′GA，能得到AB′=AG=1，进而可以解决问题．
本题考查平行四边形的性质，矩形的判定，平行线分线段成比例定理；利用平行线的性质，确定△AGB′是等边三角形是解本题的关键．

23.【答案】解：(1)10；
(2)①树状图如下：

根据树状图能够得到共有6种等可能情况：AB，AC，BA，BC，CA，CB．
其中“AB”组合共有2中情况，
∴P(AB)=26=13．
(3)根据条形统计图得知，A的利润为2元，B的利润为4元，C的利润为3元，
因此，总利润为：1800×2+4×2400+3×800=15600(元)，
平均利润为：15600÷5000=3.12(元)，
3.12>3，因此应调低午餐单价．
②假设调低A单价一元，平均每份午餐的利润为：1×1800+4×2400+3×8005000=2.76(元)，
调低B单价一元，平均每份午餐的利润为：2×1800+3×2400+3×8005000=2.64(元)，
调低C单价一元，平均每份午餐的利润为：2×1800+4×2400+2×8005000=2.96(元)，
当A，B，C调的越低，利润就越低，因此距离3元的利润就会越远，
因此最低即为降低1元，此时，当调低ABC大于1元时，平均每份午餐的利润一定小于2.96元，
综上，应该调低C午餐1元，即C的午餐单价应该调整为14元时，才能使下周平均每份午餐的利润更接近3元． 
【解析】
【分析】
本题考查了条形统计图，中位数，画树状图法求概率，算数平均数．
(1)先求总人数，再根据中位数的计算方法计算即可；
(2)画出树状图，得到共有6种等可能结果，然后利用概率公式计算即可；
(3)①先求出平均利润与3元比较即可；
②分别假设调低A、B、C，计算出对应的平均每份午餐的利润，然后得到当A，B，C调的越低，利润就越低，因此距离3元的利润就会越远，从而可得到结论．
【解答】
解：(1)全校总人数为：1800+2400+800=5000人．
因此再将价钱按照8元(A)、10元(B)、15元(C)的价钱排列后，
对于5000份数据，按照从小到大排列后，中位数为第2500和第2501个数据的平均数．也就是说，中位数为数量(份)的第2500和2501个数的平均数，
因此，通过统计表计算得知，A+B一共为1800+2400=4200，因此中位数为B午餐的费用，
即为10元，
故答案为10．
(2)见答案；
(3)见答案．  
24.【答案】解：(1)设方程的另一个根为x，
则由根与系数的关系得：x+1=−a，x⋅1=a−2，
解得：x=−32，a=12，
即a=12，方程的另一个根为−32；

(2)∵△=a2−4(a−2)=a2−4a+8=a2−4a+4+4=(a−2)2+4>0，
∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 
【解析】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，注意：如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a、b、c为常数，a≠0)的两个根，则x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca，要记牢公式，灵活运用．
(1)设方程的另一个根为x，则由根与系数的关系得：x+1=−a，x⋅1=a−2，求出即可；
(2)写出根的判别式，配方后得到完全平方式，进行解答．