北师大版初中数学九年级上册第四章《图形的相似》单元测试卷（标准）（含答案解析）
展开北师大版初中数学九年级上册第四章《图形的相似》单元测试卷
考试范围：第四章；考试时间：100分钟；总分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
- 如果，且，那么的值为( )
A. B. C. D.
- 如图，已知、分别为、上的两点，且，，，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
- 如图，在中，，点在边上，线段绕点顺时针旋转，点恰巧落在边上的点处．如果，那么与满足的关系式是( )
A. B. C. D.
- 下列命题：
所有的等腰三角形都相似；
有一对锐角相等的两个直角三角形相似；
四个角对应相等的两个梯形相似；
所有的正方形都相似．
其中正确命题的个数为( )
A. B. C. D.
- 要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边长分别为，和，另一个三角形框架的一边长为，它的另外两边长不可能是( )
A. 、 B. 、 C. 、 D. 、
- 如图，在矩形中，，是的中点，于点，则的长是( )
A.
B.
C.
D.
- 学校教学楼前面有一根高是米的旗杆，在某时刻太阳光下的影子长是米，与此同时，在旗杆周边的一棵大树在地面上投影出的影子长是米，则此大树的高度是 ( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
- 如图，在中，，，，点在边上，点在线段上，于点，交于点，若，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
- 如图，已知和的相似比是：，且的面积为，则四边形的面积是( )
A.
B.
C.
D.
- 如图，正方形和正方形是位似图形，且点与点是一对对应点，点，点，则它们位似中心的坐标是( )
A. B. C. D.
- 已知四条线段，，，满足，则下列等式一定成立的是( )
A. B. C. D.
- 如图，在中，，，平分，交于，交延长线于，则的值为．( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
- 如图所示，已知点，分别是的边，的中点，，相交于点，，则的长为______．
- 下列各组的两个图形：
两个等腰三角形；两个矩形；两个等边三角形；两个正方形；各有一个内角是的两个等腰三角形．
其中一定相似的是______只填序号 - 要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边长分别为，，，另一个三角形框架的一边长为，它的另外两边长分别为 ．
- 据墨经记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了世界上第个“小孔成像”的实验，阐释了光的直线传播原理，如图所示．如图所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是______．
三、解答题（本大题共8小题，共72.0分）
- 已知，，是的三边长，且，
求的值
若的周长为，求各边的长． - 已知：如图，在正方形中，点、分别在和上，．
求证：；
连接交于点，延长至点，使，连接、判断四边形是什么特殊四边形？并证明你的结论．
- 如图，、、分别是三边的中点．与相似吗？为什么？
- 如图，在平面直角坐标系中，已知，，点从点开始沿边以的速度向点移动，点从点开始沿边以的速度向点移动如果，同时出发，用单位：表示移动的时间，那么当为何值时，与相似
- 已知如图，中，，是斜边上的高，求证：．
- 如图，在每个小正方形的边长为个单位的网格中、的顶点均在格点网格线的交点上．
将向下平移个单位，再向右平移个单位得到，画出点，，分别为，，的对应点；
将绕点顺时针旋转得到，画出．
- 如图，在中，，为中点，，且．
求证：四边形是矩形；
连接交于点，若，，求的长． - 我们知道，如果两个四边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个四边形叫做相似四边形．仅有对应角相等的两个四边形不一定相似，如正方形与两邻边长为和的矩形就不是相似四边形．
仅有对应边成比例的两个四边形______相似填“一定”、“不一定”或“一定不”；
如图，在四边形和四边形中，，，，，求证：四边形∽四边形．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．设，得出，，，再根据，求出的值，从而得出，，的值，最后代入要求的式子进行计算即可得出答案．
【解答】
解：设，则，，，
，
，
，
，，，
；
故选：．
2.【答案】
【解析】解：，
，
，，
，
故选：．
先根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入后得出，代入求出即可．
本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据定理得出正确的比例式是解此题的关键．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的是平行线分线段对应成比例有关知识，作于，如图，根据旋转的性质得，则利用等腰三角形的性质得，由可得，再根据平行线分线段成比例，由得到，所以，然后用等线段代换后约分即可．
【解答】
解：作于，如图，
线段绕点逆时针旋转，端点恰巧落在边上的点处，
，
，
，即，
，
，
，
，
即．
故选A．
4.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了相似图形的判定，根据相似图形的形状必须完全相同进而判断是解题关键．
根据相似图形的性质以及定义分别判断得出即可．
【解答】
解：所有的等腰三角形形状不一定相同，故不一定都相似，故此选项错误；
有一对锐角相等的两个直角三角形相似，根据已知可得出三角形对应角相等，故此选项正确；
四个角对应相等的两个梯形相似；在梯形内，做一腰的平行线，得一小梯形，显然不相似，故此选项错误；
所有的正方形都相似，此选项正确．
故正确的有个．
故选B．
5.【答案】
【解析】
【分析】
考查相似三角形的判定定理：两角对应相等的两个三角形相似；两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边对应成比例的两个三角形相似．根据三组对应边的比相等的两个三角形相似，注意分情况进行分析．
【解答】
解：若边长为的边与边长为的边相对应，则另外两边长为和
若边长为的边与边长为的边相对应，则另外两边长为和
若边长为的边与边长为的边相对应，则另外两边长为和．
故选D．
6.【答案】
【解析】解：延长、交于，
点是的中点，
，
四边形是矩形，
，
，
在和中，
，
≌，
．
，
，
故选：．
延长、交于，利用证明≌，得再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案．
本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上中线的性质等知识，倍长中线构造全等三角形是解题的关键．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
在同一时刻物高和影长成正比，根据相似三角形的性质即可解答．
【解答】
解：设树高为米，
根据题意得，，
解得：，
故选：．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查相似三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，利用数形结合的思想解答．
根据题意和三角形相似的判定和性质，可以求得的长，本题得以解决．
【解答】
解：作交于点，则∽，
，
，，
，
，
∽，
，
，
，
，
设，则，
，，
，
，，，
，
∽，
，
即，
解得，，
，
故选：．
9.【答案】
【解析】解：和的相似比是：，且的面积是，
，
，
．
故选：．
由和的相似比是：及的面积是，利用相似三角形的性质可得出的值，再利用，即可求出四边形的面积．
本题考查了相似三角形的性质，牢记“相似三角形的面积的比等于相似比的平方”是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：点与点是一对对应点，可知两个位似图形在位似中心同旁，位似中心就是与轴的交点，
设直线解析式为，
将，，代入，
得，
解得 ，
即，
令得，
坐标是；
故选：．
两个位似图形的主要特征是：每对位似对应点与位似中心共线；不经过位似中心的对应线段平行．则位似中心就是两对对应点的延长线的交点．
本题主要考查位似图形的性质，难度适中，每对位似对应点与位似中心共线．注意若题干中不指明“点与点是一对对应点”，则应有两种情况．
11.【答案】
【解析】A.由得，故此选项错误
B.根据分式的合比性质，等式一定成立，故此选项正确
C.该等式的变化不符合分式的性质，故此选项错误
D.根据分式的合比性质，等式不一定成立，故此选项错误．
故选B．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查的是平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定及性质，平行线分线段成比例，平行四边形的性质的有关知识，根据平行四边形的性质得到，然后利用平行线的性质得到，再利用角平分线的定义得到，进而得到，从而得到，则，然后利用平行线分线段成比例求解即可．
【解答】
解：四边形是平行四边形，
，，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
．
故选B．
13.【答案】
【解析】解：，．
，，
：：：，
，
，
，
故答案为．
利用三角形的中位线定理即可解决问题．
本题考查三角形中位线定理，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
14.【答案】
【解析】解：两个等腰三角形的对应角不一定相等，故错误；
两个矩形对应角相等，但对应边的比不一定相等，故错误；
两个等边三角形一定相似；
两个正方形一定相似；
各有一个内角是的两个等腰三角形不一定相似，故错误，
故答案为：．
根据相似图形的定义，形状相同的图形是相似图形．具体的说就是对应的角相等，对应边的比相等，对每个命题进行判断．
本题考查的是相似图形，根据相似图形的定义进行判断．对多边形主要是判断对应的角和对应的边．
15.【答案】，或，或，
【解析】略
16.【答案】
【解析】解：设蜡烛火焰的高度是，
由相似三角形的性质得到：．
解得．
即蜡烛火焰的高度是．
故答案为：．
直接利用相似三角形的对应边成比例解答．
本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
17.【答案】解：设，则，，，
．
的周长为，
，即．
解得，
，，．
【解析】本题利用 参数法 ，设，易得，，，再根据问题求解即可．
18.【答案】证明：四边形是正方形，
，，
在与中，
，
≌，
．
四边形是菱形．
证明：≌，
，
四边形是正方形，
平分，
，
，
又，
垂直平分三线合一定理，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是菱形．
【解析】根据正方形的性质得出，，根据证出≌即可；
根据≌，推出，推出，根据三线合一得出垂直平分，即可求出答案．
本题主要考查对正方形的性质，平行四边形的判定，菱形的判定，平行线分线段成比例定理，全等三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．
19.【答案】解：由三角形中位线的性质，知
，，；，，．
于是，在▱、▱、▱中，
，，．
又因为，
所以．
【解析】判定两个三角形相似，需要知道它们的各角分别相等，各边成比例．
20.【答案】解：，
若∽，
则，即 ．
解得．
，
若∽，
则，即．
解得．
综上所述，当或时，与相似．
【解析】见答案
21.【答案】证明：是斜边上的高．
，
又在中，，
，
，
∽，
，
．
【解析】根据是斜边上的高，利用直角三角形两锐角互余的性质求证，然后即可求证∽，利用相似三角形对应边成比例即可求得结论．
此题主要考查相似三角形的判定与性质，关键是利用直角三角形两锐角互余的性质求证．
22.【答案】解：如图，即为所求；
如图，即为所求．
【解析】根据平移的性质即可将向下平移个单位，再向右平移个单位得到；
根据旋转的性质即可将绕点顺时针旋转得到．
本题考查了作图旋转变换，作图平移变换，解决本题的关键是掌握旋转和平移的性质．
23.【答案】证明：，，
四边形是平行四边形，
，为的中点，
，
，
四边形是矩形．
解：四边形是矩形，
，
，，
，
，
，
，
∽，
，
．
【解析】本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
先判断四边形是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可判断．
先由含角的直角三角形的性质求出，的长，进而得到的长，再由勾股定理求出的长，然后证明∽，推出，由此即可解决问题．
24.【答案】不一定
【解析】解：仅有对应边成比例的两个四边形不一定相似；
故答案为：不一定；
连接，，如图，
，
∽，
，，，
，，
，
，
，
同理，
∽，
，
，
，，，
四边形∽四边形．
直接判断即可；
只要证明各角对应相等、各边对应成比例即可．
本题考查的多边形的相似，解题的关键是证明各边对应成比例，各角对应相等．
