2021-2022学年山东省淄博市沂源县七年级（下）期中数学试卷（五四学制）（含解析）

2021-2022学年山东省淄博市沂源县七年级（下）期中数学试卷（五四学制）

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 下列方程中，是二元一次方程的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列说法中正确的是(    )

A. 二元一次方程只有一个解
B. 二元一次方程组有无数个解
C. 二元一次方程组的解必是它所含的二元一次方程的公共解
D. 判断一组解是否为二元一次方程的解，只需代入其中一个二元一次方程即可

3. 用加减消元法解二元一次方程组下列方案可以消去未知数的是(    )

A.  B.
C.  D.

4. 已知函数和的图象交于点，则关于，的二元一次方程组的解是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 下列命题中，真命题是(    )

A. 两边及一角对应相等的两个三角形全等
B. 直角三角形的高有且只有一条
C. 一次函数不一定是正比例函数
D. 有一个角等于的三角形是等边三角形

6. 如图，直线，被，所截，且，则下列结论中正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

7. 已知直线，交于，交于，若的度数比的倍多，设和的度数分别为、，则下列正确的方程组为(    )

A.  B.
C.  D.

8. 下列事件中是必然发生的事件是(    )

A. 明天会下雨
B. 在地球上，抛出的篮球会下落
C. 射击运动员射击一次，命中十环
D. 抛两枚均匀的硬币，硬币落地后，都是正面朝上

9. 有一枚均匀的正方体骰子，骰子各个面上的点数分别为，，，，，，若任意抛掷一次骰子，朝上的面的点数记为，计算，则其结果为非负数的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，小亮从到达，路线为由到和由到都是正北方向，中间经历了次拐弯，第一次拐弯后，行进方向变为南偏东，若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

11. 如图，在中，将沿翻折，点落在处，、、三者之间的关系是(    )

A.  B.
C.  D.

12. 某校计划组织七年级学生开展一次研学旅行活动，活动需将学生分成若干组，每组一名指导教师，若每名学生一组，则有名学生无指导教师；若每名学生一组，则有一位指导教师只分到了名学生．设指导教师名，七年级学生名，根据题意，可列方程组为(    )

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）

13. 若是二元一次方程，则 ______ ．
14. 一副直角三角板如图放置，点在的延长线上，，，则的度数为______．

15. 有一枚均匀的正方体骰子，骰子各个面上的点数分别为、、、、、若任意掷一次骰子，朝上一面的点数为偶数的概率为______．
16. 胜利中学组织一批学生参加社会实践活动，活动中男生戴白色安全帽，女生戴红色安全帽，大家发现一个有趣的现象：每位男生看到的白色安全帽比红色多顶，而每位女生看到的白色安全帽是红色的倍．设男生有人，女生有人，那么可列方程组为______ ．
17. 关于，的二元一次方程组有正整数解，则正整数的值是______．

三、计算题（本大题共1小题，共12.0分）

18. 解方程组：
    ；
    ；
    ．

四、解答题（本大题共6小题，共58.0分）

19. 向如图所示的等边三角形区域内扔沙包区域中每个小等边三角形除颜色外完全相同，沙包随机落在某个等边三角形内．
    扔沙包一次，落在图中阴影区域的概率是______；
    要使沙包落在图中阴影区域的概率为，还要涂黑几个小等边三角形？请说明理由，并在图中涂黑．

20. 列二元一次方程组解应用题：某公园举行大型游园活动，成人票和儿童票均有较大折扣，甲、乙都随她们的家人参加了本次活动，丙也想去，就去打听甲、乙买门票花了多少钱，甲说她家去了个大人和个小孩，共花了元钱；乙说她家去了个大人和个小孩，共花了元钱，丙家计划去个大人和个小孩，请你帮他计算一下，需要多少元钱买门票？
21. 如图，和的度数满足方程组，且，．
    求证；
    求的度数．

22. 学习完平行线的性质与判定之后，我们发现借助构造平行线的方法可以帮我们解决许多问题．
    小明遇到了下面的问题：如图，，点在，内部，探究，，的关系，小明过点作的平行线，可得，，之间的数量关系是：______．
    如图，若，点在，外部，，，的数量关系是否发生变化？请写出证明过程．
     

23. 已知：点在的一边上，过点的直线作的平分线，过点画的垂线，如图所示．
    若，求及的度数；
    求证：平分．

24. 一个长方形的长减少，宽增加，就成为一个正方形，并且这两个图形的面积相等，这个长方形的长、宽各是多少？
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：是含有个未知数，符合二元一次方程的定义，属于二元一次方程，故此选项符合题意；
B.是一元一次方程，故此选项不符合题意；
C.是含有个未知数，未知数的项的最高次数是的整式方程，不属于二元一次方程，故此选项不符合题意；
D.，未知数的项的最高次数是的整式方程，不属于二元一次方程，故此选项不符合题意．
故选：．
根据二元一次方程的定义逐个判断即可．
本题考查了二元一次方程的定义，能熟记二元一次方程的定义是解此题的关键，注意：含有两个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是的整式方程，叫二元一次方程．
 

2.【答案】 

【解析】解：选项，二元一次方程有无数组解，故A选项说法错误；
选项，二元一次方程组有一组解，故B选项说法错误；
选项，二元一次方程组的解必是它所含的二元一次方程的公共解，故C选项说法正确；
选项，判断一组解是否为二元一次方程的解，需分别代入两个二元一次方程，故D选项说法错误．
故选：．
根据二元一次方程的解及二元一次方程组的解的定义，直接判断即可．
本题主要考查二元一次方程的解，二元一次方程组的解，解决此题的关键是熟练掌握相关的定义．
 

3.【答案】 

【解析】解：用加减消元法解二元一次方程组，可以消去未知数的是，
故选：．
方程组利用加减消元法变形即可．
此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算方法是解本题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：函数和的图象交于点，
则关于，的二元一次方程组的解是，
故选：．
根据函数图象可以得到两个函数交点坐标，从而可以得到两个函数联立的二元一次方程组的解．
本题考查一次函数与二元一次方程组，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答问题．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
根据全等三角形的判定定理、三角形的高的定义、一次函数与正比例函数的关系、等边三角形的判定定理判断即可．
【解答】
解：两边及一角对应相等的两个三角形不一定全等，是假命题；
直角三角形的高有三条，是假命题；
一次函数不一定是正比例函数，是真命题；
有一个角等于的等腰三角形是等边三角形，是假命题；
故选：．  

6.【答案】 

【解析】解：直线，被，所截，且，
，
故选：．
依据两直线平行，同位角相等，即可得到正确结论．
本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
，
的度数比的倍多，
设和的度数分别为、，
，
故选：．
根据题意和平行线的性质可以列出相应的方程组，从而可以解答本题．
本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组、平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程组．
 

8.【答案】 

【解析】解：选项是随机事件，故该选项不符合题意；
选项是必然事件，故该选项符合题意；
选项是随机事件，故该选项不符合题意；
选项是随机事件，故该选项不符合题意；
故选：．
根据随机事件和必然事件的定义判断即可．
本题考查了随机事件，掌握事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：任意抛掷一次骰子，朝上的面的点数有种等可能结果，其中使为非负数的有这一个，
其结果为非负数的概率是，
故选：．

本题主要考查可能性大小，由朝上的面的点数有种等可能结果，其中使为非负数的有这一个，计算可得．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，
小亮从到达，路线为由到和由到都是正北方向，中间经历了次拐弯，
，，
．
故选：．
根据平行线的性质可求，的度数，再根据角的和差关系可求的度数．
本题考查的知识点为“两直线平行，内错角相等”和“两直线平行，同旁内角互补”．
 

11.【答案】 

【解析】解：由折叠得：，

，，
，
即，
故选：．
根据三角形的外角得：，，代入已知可得结论．
本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：设指导教师名，七年级学生名，根据题意，可列方程组为：
．
故选：．
根据“若每名学生一组，则有名学生无指导教师；若每名学生一组，则有一位指导教师只分到了名学生”，分别得出等式求出答案．
此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确得出等量关系是解题关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：是二元一次方程，
，，
解得：，，
则，
故答案为：
利用二元一次方程的定义判断确定出与的值，即可求出的值．
此题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解本题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：由题意可得：，，
，
，
．
故答案为：．
直接利用三角板的特点，结合平行线的性质得出，进而得出答案．
此题主要考查了平行线的性质，根据题意得出的度数是解题关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：任意抛掷一次骰子共有种等可能结果，其中朝上一面的点数为偶数的只有种，
朝上一面的点数为偶数的概率．
故答案为．
根据概率公式即可得．
本题主要考查概率公式，掌握随机事件的概率事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：由题意可得，
，
故答案为：．
根据题意可以列出相应的二元一次方程组，本题得以解决．
本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
 

17.【答案】 

【解析】解：，
得：，
，
把代入得：，
，是正整数，是正整数，
，，，，
，，，，
当时，，，
则正整数的值是，
故答案为：．
首先把看作常数，解方程组分别表示，，再根据的值，可知是的约数，列式可得，代入求出，的值后，符合题意，从而得出结论．
本题考查了二元一次方程组的解，能灵活运用知识点求出特殊解是解此题的关键．
 

18.【答案】解：，
，得，
解得，
将代入，得，
解得．
方程组的解为．
，
，得，
，得，
解得，
将代入，得，
解得．
方程组的解为．
，
，得，
，得，
将代入，得．
方程组的解为． 

【解析】两个二元一次方程相加，可求得的值，进而可求的值．
将，与相加，可求得的值，进而可得的值．
将，与相减，可求得的值，进而可得的值．
本题考查解二元一次方程组，掌握加减消元法是解答本题的关键．
 

19.【答案】 

【解析】解：图中共有个等边三角形，其中阴影部分的三角形有个，
扔沙包一次，落在图中阴影区域的概率是，
故答案为：；

涂黑个，
因为图形中有个小等边三角形，要使沙包落在图中阴影区域的概率为，
所以图形中阴影部分的小等边三角形要达到个，已经涂黑了个，所以还需要涂黑个，
如图所示：

由图中共有个等边三角形，其中阴影部分的三角形有个，利用概率公式计算可得；
要使沙包落在图中阴影区域的概率为，所以图形中阴影部分的小等边三角形要达到个，据此可得．
本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的概率．
 

20.【答案】解：设打折后的成人票元张，儿童票元张，
依题意得：，
解得：，
．
答：丙家需要元钱买门票． 

【解析】设打折后的成人票元张，儿童票元张，利用总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出，的值，再将其代入中即可求出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

21.【答案】解：由，解得，
，
．

 ，，
，
，
，
，
，

． 

【解析】解方程组求出，即可判断．
证明，利用平行线的性质解决问题即可．
本题考查平行线的性质和判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

22.【答案】 

【解析】解：记过点作的平行线为，
，
，
，
，
，
，
故答案为：；
发生变化，
如图，过点，则，

，
，
，
．
根据平行线的性质即可得到，，之间的关系；
过点作，则，由可得，进而可得，即可得到，，的数量关系．
本题主要考查平行线的性质与判定，解题关键是构造合适的辅助线．
 

23.【答案】解：直线，平分，
，，
，
，
，
，
；

证明：平分，，，
，，
，，
，
平分． 

【解析】根据平行线的性质和角平分线的性质，可以求得的度数；
根据角平分线的性质、平角的定义可以求得和的关系，从而可以证明结论成立．
本题考查平行线的性质、垂线等知识，解答本题的关键是熟记平行线的性质定理．
 

24.【答案】解：设这个长方形的长为，宽为，
由题意可得
解得：
答：设这个长方形的长为，宽为． 

【解析】设这个长方形的长为，宽为，根据题意表示正方形的边长和两个图形的面积，得方程组求解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及灵活选取方法解二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．