2021-2022学年广东省深圳市南山实验教育集团八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年广东省深圳市南山实验教育集团八年级（下）期中数学试卷

一．选择题（本题共10小题，共30分）

1. 第届冬季奥林匹克运动会于年月日至月日在中国北京市和张家口市联合举办，以下是参选的冬奥会会徽设计的部分图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

2. 若分式的值为，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 将多项式因式分解，结果正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 如图，一次函数与一次函数的图象交于点，则关于的不等式的解集是(    )

A.
B.
C.
D.

5. 如图，将直角绕点按逆时针方向旋转到的位置，斜边和相交于点，则的度数等于(    )

A.
B.
C.
D.

6. 已知，，则多项式的值为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 某种长途电话的收费方式如下：接通电话的第一分钟收费元，之后的每一分钟收费元．如果某人打该长途电话被收费元钱，则此人打长途电话的时间是(    )

A. 分钟 B. 分钟
C. 分钟 D. 分钟

8. 如图，在数轴上、两点所对应的数分别是、，，，连接，以为圆心以为半径画弧交数轴于，则点在数轴上所对应的数是(    )

A.  B.  C.  D.

9. 不等式组的解集是，则的取值范围是(    )

A.  B.  C. 或 D.

10. 如图，在第个中，，；在边上任取一点，延长到，使，得到第个；在边上任取一点，延长到，使E.得到第个按此做法继续下去，则第个三角形中以为顶点的内角度数是(    )

1.  B.  C.  D.

二．填空题（本题共5小题，共15分）

11. 若点与关于原点对称，则______．
12. 关于的不等式，只有两个正整数解，则的取值范围是______．
13. 若关于的分式方程无解，则实数______．
14. 化简：____．
15. 如图，为线段上一动点不与点，重合，在同侧分别作等边和等边，与交于点，与交于点，与交于点，连结以下五个结论：
    ；；；为等边三角形；其中正确的有______注：把你认为正确的答案序号都写上

三．解答题（本题共8小题，共62分）

16. 解不等式组，并将它的解集在数轴上表示出来．
17. 先化简，再求值：，其中．
18. 如图，在中，，点、、分别在、、边上，且，．
     

求证：是等腰三角形；

当时，求的度数．

19. 在平面直角坐标系中，的顶点位置如图所示．
    作出关于轴对称的，若内部一点的坐标为，则点的对应点的坐标是______；
    作出关于原点对称的．

20. 常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程为：．
    这种分解因式的方法叫分组分解法．
    请利用这种方法分解因式．
21. 如图，中，平分，且平分，于，于．
    说明的理由；
    如果，，求、的长．
     

22. 某汽车销售公司经销某品牌款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降．今年月份款汽车的售价比去年同期每辆降价万元，如果卖出相同数量的款汽车，去年销售额为万元，今年销售额只有万元．
    今年月份款汽车每辆售价多少万元？
    为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的款汽车，已知款汽车每辆进价为万元，款汽车每辆进价为万元，公司预计用不多于万元且不少于万元的资金购进这两款汽车共辆，有几种进货方案？
    如果款汽车每辆售价为万元，为打开款汽车的销路，公司决定每售出一辆款汽车，返还顾客现金万元，要使中所有的方案获利相同，值应是多少？此时，哪种方案对公司更有利？
23. 如图，已知≌，，，点为的中点，过点与平行的直线交射线于点．
    如图，当，，三点在同一直线上时，判断与数量关系为______ ；
    将图中绕点逆时针旋转到图位置时，中的结论是否仍成立？若成立，试证明之，若不成立，请说明理由；
    将图中绕点逆时针旋转一周，旋转过程中能否为等腰直角三角形？若能，直接写出旋转角度；若不能，说明理由．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
D.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：．
根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，能熟记中心对称图形和轴对称图形的定义是解此题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：，，
，
故选：．
根据分式的值为零的条件：分子等于且分母不等于即可得出答案．
本题考查了分式的值为零的条件，掌握分式的值为零的条件：分子等于且分母不等于是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：


．
故选：．
直接提取公因式，进而分解因式得出答案．
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：当时，，
即不等式的解集为．
故选C．
观察函数图象得到当时，函数的图象都在的图象上方，所以关于的不等式的解集为．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
 

5.【答案】 

【解析】解：如图，设与的交点为，

将直角绕点按逆时针方向旋转到的位置，
，，
，
，
故选：．
由旋转的性质可得，，由外角的性质可求解．
本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：



将，代入，得
原式．
故选：．
根据分解因式的分组分解因式后整体代入即可求解．
本题考查了因式分解的应用，解决本题关键是掌握分组分解因式的方法．
 

7.【答案】 

【解析】解：是分钟后的钱，则为打长途电话的时间；
故选：．
根据是分钟后的钱，求出此人打长途电话的时间．
本题考查了列代数式分式，熟练根据已知条件列出代数式是解题关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
，
．
以为圆心，为半径画弧，交数轴于点，
，
点表示的数是：
故选：．
首先根据勾股定理求出的长，再根据同圆的半径相等可知，再根据条件：点对应的数是可求出点坐标．
此题主要考查了实数与数轴，勾股定理，关键是求出的长．
 

9.【答案】 

【解析】解：根据题意可知，
即，
所以，
又因为，
即，
所以，
所以，
故选：．
根据题中所给条件，结合口诀，可得与之间、和之间都存在一定的不等关系，解这两个不等式即可．
主要考查了已知一元一次不等式解集求不等式中的字母的值，同样也是利用口诀求解，注意：当符号方向不同，数字相同时如：，，没有交集也是无解但是要注意当两数相等时，在解题过程中不要漏掉相等这个关系．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到无解．
 

10.【答案】 

【解析】解：在中，，，
，
，是的外角，
；
同理可得，，
第个三角形中以为顶点的内角度数是．
故选：．
先根据等腰三角形的性质求出的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出，及的度数，找出规律即可得出第个三角形中以为顶点的内角度数．
本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出，及的度数，找出规律是解答此题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了关于原点对称的点的坐标，这一类题目是需要识记的基础题，记忆时要结合平面直角坐标系．
平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，即：求关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆．
【解答】
解：点与关于原点对称，
，，
．
故答案为：．  

12.【答案】 

【解析】解：原不等式解得，
解集中只有两个正整数解，
则这两个正整数解是，，
，
解得．
故答案为：．
解不等式得，由于只有两个正整数解，即，，故可判断的取值范围，求出的取值范围．
本题考查了一元一次不等式的整数解．正确解不等式，求出正整数是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质．
 

13.【答案】或 

【解析】解：方程去分母得：，
整理，得，
当整式方程无解时，，；
当整式方程的解为分式方程的增根时，，
，，
的值为或．
故答案为或．
分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于．
本题考查了分式方程无解的条件，是需要识记的内容．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了因式分解提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．原式提取公因式，计算即可得到结果．
【解答】
解：原式



．
故答案为．  

15.【答案】 

【解析】解：和都是等边三角形，
，，，
，
，
在和中，
，，，
≌，
，结论正确．
≌，
，
又，
，
，
在和中，
，，，
≌，
，，
又，
为等边三角形，结论正确；
，
，结论正确．
≌，
，
，
结论正确．
没有条件证出，错误；
综上，可得正确的结论有个：．
故答案为：．
根据全等三角形的判定方法，证出≌，即可得出，正确．
先证明≌，即可判断出，即可得正确；
根据，可得为等边三角形，证出，得出，正确．
没有条件证出，得出错误；
，正确；即可得出结论．
此题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定和性质的应用、等边三角形的性质和应用、平行线的判定；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
 

16.【答案】解：
由得：，即，
由得：，即，
所以．
在数轴上表示为：
 

【解析】先解不等式组中的每一个不等式，再根据大大取较大，小小取较小，大小小大取中间，大大小小无解，把它们的解集用一条数轴表示出来．
本题考查不等式组的解法和解集在数轴上的表示法，如果是表示大于或小于号的点要用空心，如果是表示大于等于或小于等于号的点用实心．
 

17.【答案】解：原式
，
当时，
原式． 

【解析】根据分式的混合运算顺序进行化简，再代入值即可．
本题考查了分式的化简求值，解决本题的关键是分式的混合运算．
 

18.【答案】证明：，
，
在和中
，
≌，
，
是等腰三角形；

≌，
，，
，



 

【解析】此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质的理解和掌握，此题主要应用了三角形内角和定理和平角是，因此有一定的难度，属于中档题．
由，，，利用边角边定理证明≌，然后即可求证是等腰三角形．
根据可求出根据≌，利用三角形内角和定理即可求出的度数．
 

19.【答案】 

【解析】解：如图，即为所求，点的对应点的坐标；
故答案为：；
如图，即为所求．

利用轴对称变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
利用旋转变换的性质分别作出，，的对应点，，即可．
本题考查作图旋转变换，轴对称变换等知识，解题的关键是掌握旋转变换，轴对称变换的性质，属于中考常考题型．
 

20.【答案】解：

． 

【解析】把前三项分为一组，最后一项单独作为一组，然后进行分解即可解答．
本题考查了因式分解分组分解法，公因式，因式分解运用公式法，合理进行分组是解题的关键．
 

21.【答案】证明：连接，，
平分，，，
，，
且平分，
，
在与中，
，
≌，
；
解：平分，

，，

在和中，

≌，
，
设，则，
，，，，
，
解得：，
，． 

【解析】连接，，由平分，于，于，根据角平分线的性质，即可得，又由且平分，根据线段垂直平分线的性质，可得，继而可证得≌，则可得；
首先证得≌，即可得，然后设，由，即可得方程，解方程即可求得答案．
 

22.【答案】解：设今年月份款汽车每辆售价万元．则：
，
解得：．
经检验，是原方程的根且符合题意．
答：今年月份款汽车每辆售价万元；

设购进款汽车辆．则：
．
解得：．
的正整数解为，，，，，
共有种进货方案；

设总获利为万元，购进款汽车辆，则：
．
当时，中所有方案获利相同．
此时，购买款汽车辆，款汽车辆时对公司更有利． 

【解析】求单价，总价明显，应根据数量来列等量关系．等量关系为：今年的销售数量去年的销售数量．
关系式为：款汽车总价款汽车总价．
方案获利相同，说明与所设的未知数无关，让未知数的系数为即可；多进款汽车对公司更有利，因为款汽车每辆进价为万元，款汽车每辆进价为万元，所以要多进款．
本题考查分式方程和一元一次不等式组的综合应用，找到合适的等量关系及不等关系是解决问题的关键．
 

23.【答案】解：与数量关系为：理由如下：
≌，
，．
，
．
在与中，，
≌，
，
．
在与中，，
≌，
．
结论仍然成立．理由如下：
与同理，可证明≌，
．
设旋转角为，则，
．
，

，

，
．
在与中，，
≌，
．
能成为等腰直角三角形，此时旋转角为或．
当旋转角度为时，如下图所示：

当旋转角度为时，如下图所示：

所以当旋转角为或，点、、在一条直线上，点、、在一条直线上，为等腰直角三角形． 

【解析】本题考查了图形的旋转变换．解题要点是由旋转性质得出旋转过程中不变的量，再利用全等三角形证明题设中的结论．
首先证明≌，得；然后证明≌，得到；
与同理可证明结论仍然成立；
当旋转角为或时，能成为等腰直角三角形，此时点、、在一条直线上，点、、在一条直线上．