2021-2022学年山西省运城市八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年山西省运城市八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1. 若，则下列不等式中成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 以下冬奥会图标中，是中心对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

3. 如图是两个关于的一元一次不等式的解集在同一数轴上的表示，由它们组成的不等式组的解集是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 在平面直角坐标系中，将线段平移至若点的对应点的坐标为，则线段平移的方式可以为(    )

A. 向左平移个单位，向上平移个单位
B. 向左平移个单位，向上平移个单位
C. 向右平移个单位，向下平移个单位
D. 向右平移个单位，向下平移个单位

5. 小明在预习时遇到这样一道题：
   例：一个等腰三角形中一角为，求这个三角形另外两角的度数．
   解：如果顶角为，那么另外两角度数均为，如果底角为，那么另外两角中，一角的度数为，另外一角的度数为．
   这道例题体现的数学思想是(    )

A. 分类思想 B. 统计思想 C. 函数思想 D. 数形结合思想

6. 如图点表示的数是，点表示的数是，点与点、不重合是线段上的一点，且点表示的数是，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 如图，在中，是的垂直平分线，，且的周长为，则的周长为．(    )

A.  B.  C.  D.

8. 如图，在和中，，，，则下列结论中错误的是(    )

A. ≌
B.
C.
D. 为中点

9. 如图，一次函数的图象经过点，，则关于的不等式的解集为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，已知，点在边上，，点，在边上，，
    若，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11. 用不等式表示“的倍与的差不小于”______ ．
12. 用反证法证明命题“三角形中至少有一个内角大于或等于”，第一步应假设______．
13. 某种商品进价为元，标价为元出售，商场规定可以打折销售，但其利润率不能少于，请你帮助售货员计算一下，这种商品最多可以按______折销售．
14. 如图，在中，，，是的角平分线，，垂足为，若，则______．

15. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转，使点落在斜边上的点处，连接，则______．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分）

16. 计算：．
    下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务．
    ．
    解：第一步
    第二步
    第三步
    第四步
    第五步
    任务一：填空：以上解题过程中，第二步是依据______ 运算律进行变形的；
    第______ 步开始出现错误，这一步错误的原因是______ ；
    任务二：请直接写出该不等式的正确解集．
17. 解不等式组并写出它的非负整数解．
18. 如图，正方形网格中每个小正方形的边长都是个单位长度每个小正方形的顶点叫做格点，已知的三个顶点都是格点，请按要求画出三角形．
    将三角形先向上平移个单位长度再向右平移个单位长度得到；
    将绕格点顺时针旋转，得到．

19. 为打好“蓝天、碧水、净土”三大保卫战，夏县政府决定将县城附近的烧煤取暖全部改成集中供热．某工程队承包了该项工程米的总管道铺设任务．该工程队平均每天铺设管道米，在管道铺设了天后，为了缩短工期，经研究决定，余下的管道铺设任务要在天内含天完成，求该工程队平均每天至少再多铺设多长管道？
20. 
    如图，已知直线和上一点求作：直线使；要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法
    如图，已知直线和外一点下面是小华设计的“过点作直线的垂线”的作法：请结合图形阅读作法，并将证明““的过程补充完整作法：在直线上取点，分别以点，为圆心，，为半径作弧，两弧在直线下方交于点；作直线，结论：，且经过点．
    证明：连接，，，，由作法可知，，，
    点在线段的垂直平分线上，点在线段的垂直平分线上，依据：______，
    直线是线段的垂直平分线依据：______，
    垂直平分线的定义．
21. 如图，在中，，，点在线段上运动不与、重合，连接，作，交线段于．
    点从向运动时，逐渐变______填“大”或“小”，但与的度数和始终是______度；
    当的长度是多少时，≌，并说明理由．

22. 月日是“世界读书日”，甲、乙两个书店在这一天举行了购书优惠活动．
    甲书店：所有书籍按标价折出售；
    乙书店：一次购书中标价总额不超过元的按原价计费，超过元后的部分打折．
    以单位：元表示标价总额，单位：元表示在甲书店应支付金额，单位：元表示在乙书店应支付金额．
    就两家书店的优惠方式，分别求，关于的函数表达式；
    “少年正是读书时”，“世界读书日”这一天，八年级学生奇思计划去甲、乙两个书店购书，如何选择这两家书店购书更省钱？
23. 综合与实践
    某兴趣小组为研究特殊三角形旋转时“点、线、面”在特殊位置时的特殊结论，小组成员选取了两个完全相同的含角的三角尺如图摆放，其中，，保持不动，将绕着直角顶点顺时针旋转一个角度，与边交于点如图．
    如图，当时，与的位置关系是______，判断此时的形状并证明．
    如图，当______时，是等腰三角形．
    如图，当继续旋转至点、、三点共线时，连接，求的长．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、不等式两边乘或除以同一个正数，不等号的方向不变，故本选项正确；
B、根据不等式的基本性质不等式两边加或减同一个数或式子，不等号的方向不变，故本选项错误；
C、不等式两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变，故本选项错误；
D、不等式两边加或减同一个数或式子，不等号方向不变．故本选项错误．
故选：．
根据不等式的性质逐项分析即可．
本题主要考查不等式的性质：
不等式两边加或减同一个数或式子，不等号的方向不变；
不等式两边乘或除以同一个正数，不等号的方向不变；
不等式两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．
 

2.【答案】 

【解析】解：不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B.不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C.是中心对称图形，故本选项符合题意；
D.不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：．
根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后和原图形重合．
 

3.【答案】 

【解析】解：根据数轴得：不等式组的解集为，
故选：．
找出两个不等式解集的方法部分确定出不等式组的解集即可．
此题考查了在数轴表示不等式的解集，弄清不等式组取解集的方法是解本题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：线段平移后，点的对应点的坐标为，
将线段向左平移个单位，向上平移个单位得到线段，
故选A．
根据点到确定出平移规律．
本题考查了坐标与图形变化平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，先确定出平移规律是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：解答中分角为底角和顶角两种情况，属于分类思想，
故选：．
利用等腰三角形的性质写出答案即可．
考查了等腰三角形的性质，解题的关键是了解各种数学思想的应用，难度不大．
 

6.【答案】 

【解析】解：点是线段上的一点，且与点，不重合，
，
解不等式，得，
解不等式，得．
不等式组的解集为．
故选：．
根据已知条件列出一元一次不等式组，解不等式组即可得出答案．
本题考查解一元一次不等式组、数轴，解答本题的关键是根据已知条件列出一元一次不等式组．
 

7.【答案】 

【解析】解：是的垂直平分线，，
，，
的周长为，
，
的周长，
故选：．
根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
和都是直角三角形，
在和中，
，
≌，故选项A正确，不符合题意；
，故选项B正确，不符合题意；
，
，，
，
，
，故选项C正确，不符合题意；
无法证明和是否相等，故选项D错误，不符合题意；
故选：．
根据可以证出≌，然后即可说明各个选项中的条件是否成立，本题得以解决．
本题考查全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是证出≌．
 

9.【答案】 

【解析】解：一次函数的图象经过，
时，，
又随的增大而减小，
关于的不等式的解集是．
故选：．
由一次函数的图象经过，以及随的增大而减小，可得关于的不等式的解集．
本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
 

10.【答案】 

【解析】解：过点作，垂足为，
，
，，
，
在中，，
，
，
，
故选：．
过点作，垂足为，根据等腰三角形的三线合一性质可得，然后在中，求出，从而求出，即可解答．
本题考查了等腰三角形的性质，含度角的直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：“的倍与的差不小于”，用不等式表示为．
故答案为．
的倍与的差，表示为，不小于表示的意思是大于或等于，从而可得出不等式．
本题考查了由实际问题抽象一元一次不等式的知识，注意理解“不小于”的含义．
 

12.【答案】三角形的三个内角都小于 

【解析】解：第一步应假设结论不成立，即三角形的三个内角都小于．
熟记反证法的步骤，直接填空即可．
反证法的步骤是：
假设结论不成立；
从假设出发推出矛盾；
假设不成立，则结论成立．
在假设结论不成立时，要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
 

13.【答案】 

【解析】解：设这种商品可以按折销售，则售价为，那么利润为：，
根据题意可得：，
解得：．
答：这种商品最多可以按折销售．
故答案为：．
利润率不能低于，意思是利润率大于或等于，相应的关系式为：打折后的销售价进价进价，把相关数值代入即可求解．
此题主要考查了一元一次不等式的应用，解决本题的关键是得到利润率的相关关系式，注意“不能低于”用数学符号表示为“”；利润率是利润与进价的比值．
 

14.【答案】 

【解析】解：，，
，，
是的角平分线，，
，，
，，
，
在中，由勾股定理得：，
，
．
故答案为：．
根据角平分线性质得出，求出，根据勾股定理求出，即可求出答案．
本题考查角平分线性质，等腰三角形性质，勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：将绕点顺时针旋转，使点落在斜边上的点处，
，，，
，
，
，
故答案为：．
根据将绕点顺时针旋转，使点落在斜边上的点处，可得，，，即得，从而，故．
本题考查直角三角形中的旋转变换，涉及等腰三角形性质及应用，解题的关键是掌握旋转的性质．
 

16.【答案】解：


；
任务一：
乘法分配律
五；化系数为用到性质，即变不等号方向，其它都不会改变不等号方向；
任务二： 

【解析】，
第一步，
第二步，
第三步，
第四步，
第五步，
任务一：填空：以上解题过程中，第二步是依据乘法分配律运算律进行变形的；
第五步开始出现错误，这一步错误的原因是化系数为用到性质，即变不等号方向，其它都不会改变不等号方向；
任务二：该不等式的正确解集是．
故答案为：乘法分配律；五，化系数为用到性质，即变不等号方向，其它都不会改变不等号方向；．
本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．同时考查了解一元一次不等式，步骤：去分母；去括号；移项；合并同类项；化系数为．
先算乘方，再算乘法，最后算加法；如果有绝对值，要先做绝对值内的运算；
去分母；去括号；移项；合并同类项；化系数为，依此即可求解．
 

17.【答案】解：不等式组整理得：，
解得：，
则不等式组的非负整数解为，，． 

【解析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而求出非负整数解即可．
此题考查了一元一次不等式组的整数解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
 

18.【答案】解：如图所示，即为所求；

如图所示，即为所求． 

【解析】依据平移的方向和距离，即可得到；
依据旋转方向，旋转角度以及旋转中心，即可得到．
本题主要考查了利用平移变换以及旋转变换作图，作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照几何变换确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到几何变换后的图形．
 

19.【答案】解：设该工程队平均每天再多铺设管道，
依题意得：，
解得：．
答：该工程队平均每天至少再多铺设管道． 

【解析】设该工程队平均每天再多铺设管道，利用工作总量工作效率工作时间，结合余下的管道铺设任务要在天内含天完成，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出该工程队平均每天至少再多铺设管道．
本题考查了一元一次不等式的应用，解题的关键是根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

20.【答案】到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上  两点确定一直线 

【解析】解：如图，为所作；

证明：连接，，，，如图，
由作法可知，，，
点在线段的垂直平分线上，点在线段的垂直平分线上，到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上，
直线是线段的垂直平分线两点确定一直线，
垂直平分线的定义．
故答案为：到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上；两点确定一直线．
利用基本作图，过点作直线的垂线；
先利用作法得到，，根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理得到直线是线段的垂直平分线，从而得到．
本题考查了作图复杂作图：熟练掌握种基本作图是解决问题的关键．也考查了垂线段最短和线段垂直平分线的性质．
 

21.【答案】小   

【解析】解：由图可知，
点从向运动时，逐渐变小，
，
，
即与的度数和始终是，
故答案为：小，；
当时，≌，
理由：由，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
故当时，≌．
根据题意和图形，可以写出点从向运动时，的变化情况，再根据，即可得到与的度数和的情况；
根据题意可以写出当的长度是多少时，≌，然后写出理由即可．
本题考查全等三角形的判定、等腰三角形的性质，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
 

22.【答案】解：甲书店应支付金额为：；
乙书店应支付金额：，
，；
令，解得，
令，解得，
令，解得，
当时，去甲书店省钱，
当时，去甲乙两家书店购书支付金额相同，
当时，去乙书店省钱． 

【解析】根据题意给出的数量关系即可求出答案；
根据关系式分情况讨论即可．
本题考查一次函数的应用，解题的关键是正确找出题中的数量关系，本题属于基础题型．
 

23.【答案】  或或 

【解析】解：当时，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
故答案为：；
当时，，
当时，，
当时，，
故答案为：或或；
延长交于，

，，
，，
，
，
，，
，
，
，，
，
在中，由勾股定理得，
．
根据内错角相等，两直线平行可证明，再说明，可得的形状；
分三种情形，分别是当时，，当时，，当时，；
延长交于，利用含角的三角形的性质可得，，再利用勾股定理可得答案．
本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，平行线的判定，三角形内角和定理等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．