数学必修 第一册2.2 基本不等式第1课时教学设计

这是一份数学必修 第一册2.2 基本不等式第1课时教学设计，共14页。教案主要包含了设计意图，思维引导，类题通法，巩固练习1，巩固练习2，巩固练习3等内容，欢迎下载使用。
《2.2基本不等式》第1课时 基本不等式   教学设计一．教材分析本小节内容选自《普通高中数学必修第一册》人教A版（2019）第二章《一元二次函数、方程和不等式》的第二节《基本不等式》。以下是本章的课时安排： 第一节第二节第三节课时内容等式性质与不等式性质基本不等式二次函数与一元二次方程、不等式所在位置教材第37页教材第44页教材第50页  新教材内容分析通过类比初中学过的等式和方程，梳理等式的基本性质，归纳其蕴含的数学思想方法的基础上，研究不等式的性质，为全章提供理论基础.教材从已经得到的重要不等式+出发，通过字母代换得到了基本不等式，并进行了证明，给出了几何解释，利用初中建立模型的思想，把基本不等式看成一种数学模型，解决了一些典型的最大最小值问题。以求解一元二次不等式为载体，引导学生通过类比从一元一次函数的观点，看一元一次方程、不等式，学习从函数的观点看一元二次方程、不等式、在建立二次函数与一元二次方程、不等式的联系中，获得用二次函数求解一元二次不等式的方法。 核心素养培养通过观察实例，理解不等式的性质，体现了逻辑推理的核心素养.通过字母代换获得基本不等式，体现了数学抽象的核心素养；通过基本不等式及其应用，体现了逻辑推理的核心素养.通过二次函数的图象，发现二次函数、方程、不等式之间的联系，强化了数学抽象与直观想象的核心素养；在求解一元二次不等式的解集的过程中，提升了数学运算的核心素养.教学主线比较大小的基本事实基本不等式的模型二次函数、方程、不等式之间的关系 二，学情分析      本章内容属于高中数学课程的预备知识部分，将帮助学生完成初高中数学学习的过渡，为学生整个高中阶段的数学学习提供学习心理、学习方式、知识技能等方面的准备。学生在上一节学习了不等关系及不等式，而基本不等式也是由不等关系提炼出来的，初中也学过圆的基础知识，对于基本不等式的几何解释页比较好理解，利用不等式的性质和比较大小的方法，可以对基本不等式进行证明，有了这些基础，学生学习本节内容还是比较有兴趣的，本节知识渗透了数形结合、化归等重要数学思想，有利于培养学生良好的思维品质。三．学习目标掌握基本不等式的定义、证明方法和几何解释，提升数学抽象的核心素养；会用基本不等式解决简单问题，强化逻辑推理和数学运算的核心素养。四．教学重点重点：基本不等式的定义以及推导过程；利用基本不等式解决简单的最值问题。难点：基本不等式的证明过程；      利用基本不等式解决简单的最值问题。五．教学过程（一）新知导入1. 创设情境，生成问题如图，是2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，它依据我国著名数学家赵爽为研究勾股定理作的弦图进行设计的，颜色的明暗使其看起来像一个风车。 【探究1】依据这个会标，你能找到一些相等或不等关系吗？ 【提示】如图，由图可知：①a2＋b2＝(a－b)2＋2ab；②a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，取“＝”  探索交流，解决问题  ∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．如果a＞0，b＞0，我们用， 分别代替上式中的a，b，可得≤，当且仅当a＝b时，等号成立． 【设计意图】通过探究，引导学生发现生活中的相等关系与不等关系，并能用数学式子表示出基本不等式的形式，提高学生用数学抽象的思维方式思考并解决问题的能力。（二）基本不等式基本不等式的定义： 如果a＞0，b＞0，通常称不等式 ≤（当且仅当a＝b时，等号成立）为基本不等式(basic inequality)．其中，叫做正数a，b的算术平均数， 叫做正数a，b的几何平均数．基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．【思考1】 不等式a2＋b2≥2ab与≤成立的条件相同吗？如果不同各是什么？【提示】  不同，a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R；≤成立的条件是a，b均为正实数【思考2】 如何理解“当且仅当”的含义？【提示】 “当且仅当”的含义：①当a＝b时，≥的等号成立，即a＝b⇒＝；②仅当a＝b时，≥的等号成立，即＝⇒a＝b. 【探究2】 如图，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC＝a，BC＝b.过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD，BD.你能利用这个图形，得出基本不等式的几何解释吗？【提示】由图可知，∆ACD∼△DCB， 因而，由CD小于或等于圆的半径，用不等式表示为≤ .当且仅当点C与圆心重合，即当a=b时，上述不等式等号成立.基本不等式的几何解释：圆的半径不小于圆的半弦。 【拓展】基本不等式的几种常见变形及结论(1)a＋b≥2(a＞0，b＞0)；(2)ab≤(a，b∈R)；(3)ab≤2，(a，b∈R)；(4)＋≥2(ab＞0)；(5)a＋≥2(a＞0，k＞0)；(6)≤≤≤ (a，b都是正实数)．【辩一辩】判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab、a＋b≥2均成立．(　　)(2)若a≠0，则a＋≥2 ＝4.(　　)(3)若a，b∈R，则ab≤2.(　　) 【答案】（1）×  （2）×  （3）√ （三）基本不等式的简单应用1.对基本不等式的理解例1.给出下面三个推导过程：①因为a，b∈(0，＋∞)，所以＋≥2 ＝2；②因为a∈R，a≠0，所以＋a≥2 ＝4；③因为x，y∈R，xy<0，所以＋＝－  ≤－2 ＝－2.其中正确的推导过程为(　　)A．①②             B．②③            C．②                D．①③【思维引导】　根据基本不等式中的条件进行判断．[解析]　从基本不等式成立的条件考虑．①因为a，b∈(0，＋∞)，所以，∈(0，＋∞)，符合基本不等式成立的条件，故①的推导过程正确；②因为a∈R，a≠0不符合基本不等式成立的条件，所以＋a≥2 ＝4是错误的；③由xy<0得，均为负数，但在推导过程中将＋看成一个整体提出负号后，，均变为正数，符合基本不等式成立的条件，故③正确．[答案]    D【类题通法】基本不等式≥(a>0，b>0)的2个关注点(1)不等式成立的条件：a，b都是正数．(2)验证等号是否成立。【巩固练习1】下列命题中正确的是(　　)A．当a，b∈R时，＋≥2 ＝2B．当a>0，b>0时，(a＋b)≥4C．当a>4时，a＋≥2 ＝6D．当a>0，b>0时，≥[解析]　A项中，可能<0，所以不正确；B项中，因为a＋b≥2>0，＋≥2>0，相乘得(a＋b)≥4，当且仅当a＝b时等号成立，所以正确；C项中，a＋≥2 ＝6中的等号不成立，所以不正确；D项中，由基本不等式知，≤(a>0，b>0)，所以D不正确．[答案]   B2.证明不等式例2.(1)已知a，b，c为不全相等的正实数， 求证：a＋b＋c>＋＋.(2)已知a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1， 求证：   ≥8.  【思维引导】(1)左边是和式，右边是带根号的积式之和，所以用基本不等式，将和变积，并证得不等式；(2)不等式右边数字为8，使我们联想到左边因式分别使用基本不等式，可得三个“2”连乘， 又－1＝＝≥，可由此变形入手．[证明]　(1)∵a>0，b>0，c>0，∴a＋b≥2>0，b＋c≥2>0，c＋a≥2>0.∴2(a＋b＋c)≥2(＋＋)，即a＋b＋c≥＋＋.由于a，b，c为不全相等的正实数，故等号不成立．∴a＋b＋c>＋＋.(2)∵a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1，∴－1＝＝≥，同理－1≥，－1≥.由上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得≥··＝8.当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．【类题通法】利用基本不等式证明不等式的注意事项(1)    利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式中必须有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，从而达到放缩的效果．(2)    注意事项：① 多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；② 累加法是不等式证明中的一种常用方法，在证明不等式时注意使用条件；③ 对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型再使用．【巩固练习2】已知a＞0，b＞0，c＞0，求证：＋＋≥a＋b＋c.[证明]　∵a＞0，b＞0，c＞0，∴＞0，＞0，＞0.则 ＋≥2＝2c，＋≥2b，＋≥2a.由不等式的性质知，2≥2(a＋b＋c)，∴ ＋＋≥a＋b＋c.3.基本不等式与最值【探究3】 (1)当x＞0，y＝x＋的最小值是几？(2)         当x＞0，y＞0，x＋y＝1，xy的最大值是几？　【提示】（1）当x=1是，y取到最小值2.（2）当时，y取到最大值.基本不等式与最值：（1）设x，y为正实数，若x＋y＝s(s为定值)，则当x＝y＝时，积xy有最大值为.（2）设x，y为正实数，若xy＝p(p为定值)，则当x＝y＝时，和x＋y有最小值为2. 例3.(1)若x＞0，求y＝x＋的最小值，并求此时x的值；(2)设0＜x＜，求y＝4x(3－2x)的最大值。[解析]（1）　∵x＞0，∴x＋≥2＝4当且仅当x＝，即x2＝4，x＝2时取等号．∴y＝x＋(x＞0)在x＝2时取得最小值4.（2）　∵  0＜x＜，∴3－2x＞0，∴ y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)] ≤2 ＝.当且仅当2x＝3－2x，即x＝时，等号成立．∵ ∈，∴ 函数y＝4x(3－2x)    的最大值为.【类题通法】若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，通常化(或利用)和为定值。【巩固练习3】已知x，y>0，且满足＋＝1，则xy的最大值为________．[解析]　∵x，y>0，∴＋＝1≥2 ，得xy≤3，当且仅当＝即x＝，y＝2时，取“＝”号，∴xy的最大值为3.[答案]   3 （四）操作演练  素养提升1.下列不等式中正确的是(　　)A．a＋≥4  B．a2＋b2≥4abC.≥  D．x2＋≥22．若a，b∈R且ab＞0，则下列不等式中恒成立的是(　　)A．a2＋b2＞2ab  B．a＋b≥2C.＋＞                         D.＋≥23.若x＞0，y＞0且x＋y＝4，则下列不等式中恒成立的是(　　)A.＞              B.＋≥1C.≥2               D.≥14.已知m＝a＋＋1(a>0)，n∈{x|0<n＜3}，则m，n之间的大小关系是(　　)A．m>n　　　　　　 B．m<nC．m＝n  D．m≤n [答案]   1.D   2.D     3.B     4.A 【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。 （六）课堂小结，反思感悟 1.知识总结：2.学生反思：（1）通过这节课，你学到了什么知识？                                                                                                                                                                                               （2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？                                                                                                                                                                                 【设计意图】通过总结，让学生进一步巩固基本不等式，辨析基本不等式成立的条件,树立用基本不等式解决相关问题的意识。  六．布置作业完成教材：第46页  练习     第1，2，3,4,5题