高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式2.2 基本不等式第2课时教案设计

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式2.2 基本不等式第2课时教案设计，共9页。教案主要包含了设计意图，类题通法，巩固练习1，巩固练习2，思维引导，巩固练习3等内容，欢迎下载使用。
《2.2基本不等式》第2课时  基本不等式的综合应用 教学设计一．教材分析本小节内容选自《普通高中数学必修第一册》人教A版（2019）第二章《一元二次函数、方程和不等式》的第二节《基本不等式》。以下是本章的课时安排： 第一节第二节第三节课时内容等式性质与不等式性质基本不等式二次函数与一元二次方程、不等式所在位置教材第37页教材第44页教材第50页  新教材内容分析通过类比初中学过的等式和方程，梳理等式的基本性质，归纳其蕴含的数学思想方法的基础上，研究不等式的性质，为全章提供理论基础.教材从已经得到的重要不等式+出发，通过字母代换得到了基本不等式，并进行了证明，给出了几何解释，利用初中建立模型的思想，把基本不等式看成一种数学模型，解决了一些典型的最大最小值问题。以求解一元二次不等式为载体，引导学生通过类比从一元一次函数的观点，看一元一次方程、不等式，学习从函数的观点看一元二次方程、不等式、在建立二次函数与一元二次方程、不等式的联系中，获得用二次函数求解一元二次不等式的方法。 核心素养培养通过观察实例，理解不等式的性质，体现了逻辑推理的核心素养.通过字母代换获得基本不等式，体现了数学抽象的核心素养；通过基本不等式及其应用，体现了逻辑推理的核心素养.通过二次函数的图象，发现二次函数、方程、不等式之间的联系，强化了数学抽象与直观想象的核心素养；在求解一元二次不等式的解集的过程中，提升了数学运算的核心素养.教学主线比较大小的基本事实基本不等式的模型二次函数、方程、不等式之间的关系 二，学情分析     本章内容属于高中数学课程的预备知识部分，将帮助学生完成初高中数学学习的过渡，为学生整个高中阶段的数学学习提供学习心理、学习方式、知识技能等方面的准备。学生在上一节学习了基本不等式的定义及简单应用，本节课是上一节内容的延伸，解决求最值过程中的易犯错误的处理方法，并求解了实际应用问题中的最值，所以学生学习本节内容还是比较有兴趣的，本节知识渗透了数学运算、逻辑推理、数学建模等核心素养，有利于培养学生良好的思维品质。 三．学习目标1. 通过实例，掌握基本不等式及应用，培养学生数学抽象的核心素养；2. 能够利用基本不等式求函数或代数式的最值，提升数学运算和逻辑推理的核心素养；              3. 会利用基本不等式求解实际问题中的最值，强化数学运算的核心素养。四．教学重点重点：利用基本不等式求最值；利用基本不等式解决实际应用问题．难点：基本不等式的应用；基本不等式求最值．五．教学过程 （一）新知导入1. 创设情境，生成问题 根据上一节课的知识，我们了解了基本不等式与最值的关系，如下：已知x，y都是正数，则①如果积xy等于定值P(积为定值)，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2.②如果和x＋y等于定值S(和为定值)，那么当x＝y时，积xy有最大值S2.【想一想】下面这些结论是否正确？(1)若a>0，b>0，且a＋b＝16，则ab≤64.(　　)(2)若ab＝2，则a＋b的最小值为2.(　　)(3)当x>1时，函数y＝x＋≥2，所以函数y的最小值是2.(　　)(4)若x∈R，则x2＋2＋≥2.(　　)【提示】（1）正确；（2）错误；（3）错误；（4）错误. 探索交流，解决问题 利用基本不等式求最大值或最小值时应注意：(1)x，y一定要都是正数；(2)求积xy最大值时，应看和x＋y是否为定值；求和x＋y最小值时，应看积xy是否为定值；(3)等号是否能够成立．以上三点可简记为“一正、二定、三相等”.【设计意图】通过探究，引导学生发现利用基本不等式求最值时的常见错误，在此基础上引导学生总结利用基本不等式求最值需要注意的问题，提高学生用数学抽象的思维方式思考并解决问题的能力。（二）基本不等式求最值1.配凑法例1.(1)若x＜0，求＋3x的最大值；(2)若x＞2，求＋x的最小值；(3)已知0＜x＜，求x(1－2x)的最大值．[解析]　(1)因为x＜0，所以＋3x＝－≤－2＝－12，当且仅当－＝－3x，即x＝－2时等号成立，所以＋3x的最大值为－12.(2)因为x＞2，所以x－2＞0，＋x＝＋x－2＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－2＝，即x＝3时等号成立，所以＋x的最小值为4.(3)因为0＜x＜，所以1－2x＞0，x(1－2x)＝·2x(1－2x)≤2＝，当且仅当2x＝1－2x，即x＝时等号成立，所以x(1－2x)的最大值为.【类题通法】利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件．【巩固练习1】已知x＜，求4x－2＋的最大值[解析]　（1）因为x＜，所以4x－5＜0，则5－4x＞0，所以4x－2＋＝4x－5＋＋3.因为5－4x＋≥2＝2，所以4x－5＋≤－2.所以4x－5＋＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x＝，即x＝1时，等号成立．故当x＝1时，4x－2＋取最大值1.  2.常值代换例2.已知x＞0，y＞0，且＋＝1，求x＋y的最小值．[解析]　∵x＞0，y＞0，＋＝1，∴x＋y＝(x＋y)＝＋＋10≥2＋10＝6＋10＝16，当且仅当＝，＋＝1，即x＝4，y＝12时，上式取等号．故当x＝4，y＝12时，x＋y的最小值是16.【类题通法】这种方法常用于“已知ax＋by＝m(a，b，x，y均为正数)，求＋的最小值”和“已知＋＝1(a，b，x，y均为正数)，求x＋y的最小值”两类题型．【巩固练习2】　（2021·阜阳市耀云中学高二期中）已知x>0，y>0，且，则x+y的最小值是（　　）A．10 B．15 C．18 D．23[解析]  由x>0，y>0，且，得，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是18．[答案]  C【设计意图】通过基本不等式求最值，使学生熟练掌握基本不等式求最值的方法，培养学生逻辑推理和数学运算的核心素养。 （三）利用基本不等式求实际问题的最值 例3.如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．(1)现有可围 36 m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)若使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？【思维引导】　设每间虎笼长x m，宽y  m，则问题（1）是在4x＋6y＝36的前提下求xy的最大值．问题（2）是在xy＝24的前提下求4x＋6y的最小值．[解析]　(1)设每间虎笼长x  m，宽为y  m，则由条件知4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18.设每间虎笼面积为S，则S＝xy.由于2x＋3y≥2＝2，∴2≤18，得xy≤，即S≤，当且仅当2x＝3y时，等号成立．由解得故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使面积最大．(2)由条件知S＝xy＝24.设钢筋网总长为l，则l＝4x＋6y.∵2x＋3y≥2＝2＝24，∴l＝4x＋6y＝2(2x＋3y)≥48，当且仅当2x＝3y时，等号成立．由解得故每间虎笼长6 m，宽4 m时，可使钢筋网总长最小． 【类题通法】求实际问题中最值的解题4步骤(1)先读懂题意，设出变量，理清思路，列出函数关系式．(2)把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题．(3)在定义域内，求函数的最大值或最小值时，一般先考虑基本不等式．(4)回到实际问题中，正确写出答案．　　 【巩固练习3】围建一个面积为360 m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口，如图．已知旧墙的维修费用为45 元/m，新墙的造价为180 元/m.设利用的旧墙长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元)．试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．[解析]　设矩形的另一边长为a m，则y＝45x＋180(x－2)＋180×2a＝225x＋360a－360.由已知xa＝360，得a＝，∴y＝225x＋－360.∵x>0，∴225x＋≥2＝10 800.∴y＝225x＋－360≥10 440.当且仅当225x＝时，等号成立．即当x＝24 m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10 440元．【设计意图】通过基本不等式求解实际应用问题的最值，使学生熟练掌握基本不等式求最值的方法，培养学生数学建模的核心素养。（四）操作演练  素养提升1.设x>0，则3－3x－的最大值是(　　)A．3   B．3－2C．－1   D．3－22．当x>1时，则2x＋的最小值为           3.函数y＝(x＞－1)的最小值为________．4.已知正数a，b满足a＋2b＝2，则＋的最小值为________．[答案]   1.D   2.10     3.0    4.4【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。（六）课堂小结，反思感悟 1.知识总结：2.学生反思：（1）通过这节课，你学到了什么知识？                                                                                                                                                                                               （2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？                                                                                                                                                                                 【设计意图】通过总结，让学生进一步巩固基本不等式，辨析基本不等式求最值时需要注意的问题,树立用基本不等式解决相关问题的意识。 六．布置作业 完成教材：第48页  练习     第1，2，3,4题 第48页   习题2.2   第1，3，5，6，7，8题