人教A版 (2019)必修 第一册3.3 幂函数教案及反思

 《3.3幂函数》

  教学设计 

一．教材分析

本小节内容选自《普通高中数学必修第一册》人教A版（2019）第三章《函数的概念与性质》的第三节《幂函数》。以下是本章的课时安排：

二，学情分析

从学生的知识上看，学生在初中已经学过正比例函数、二次函数、反比例函数等简单函数的图象，在上一节又学习了函数的单调性与奇偶性，已经初步积累了研究函数的初步经验，为学习幂函数做了知识的储备；

从学生现有的学习能力看，已经具备了 一定的分析问题和解决问题能力，逻辑思维能力也初步形成，但缺乏冷静、深刻，不严谨；从学生的思维特点看，学生要理解研究一类函数的内容、基本思路（定义、表示---图象与性质---应用），对学生是一个思维的突破。

三．学习目标

1、理解幂函数的概念，达成数学抽象的核心素养；

2、会画幂函数y=x，y=x2，y=x3，y=x－1，y=x的图象，结合这几个幂函数的图象，理解幂函数图象的变化情况和性质，提升直观想象的核心素养；

3、通过观察、总结幂函数的性质，培养学生逻辑推理的核心素养．

4、在具体问题情境中，运用数形结合思想，利用幂函数性质、图像特点解决实际问题，强化数学运算的核心素养。

四．教学重点

重点：常见幂函数的概念、图象和性质；

难点：幂函数的单调性及比较两个幂值的大小．

五．教学过程

（一）新知导入

1. 创设情境，生成问题

数学史上很早就借用“幂”字，起先用于表示面积，后来扩充为表示平方或立方.1859年中国清末大数学家李善兰(1811～1882)译成《代微积拾级》一书，创设了不少数学专有名词，如函数、极限、微分、积分等，并把“Power”这个词译为“幂”．这样“幂”就转译为若干个相同数之积．

大约到15世纪，人们才意识到要用一个缩写的方式来表示若干个相同数的乘积．直到17世纪才开始出现在幂的符号中将指数与底数分开来表示的趋势．

1636年苏格兰人休姆(Hume)引进了一种较好的记法，他用罗马数字表示指数，写在底数的右上角，如“A4”写作“AⅣ”，这种记法与现在相比较，除了数字采用罗马数字外，其余完全一样．一年以后，法国数学家笛卡儿将其进行了改进，把罗马数字改用阿拉伯数字，成了今天的样子。

2.探索交流，解决问题

问题1：如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克，那么她需要付的钱数p=w元，这里p是w的函数.

问题2：如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S=a2，这里S是a的函数.

问题3：如果正方体的边长为a，那么正方体的体积V=a3，这里V是a的函数.

问题4：如果正方形场地的面积为S，那么正方形的边长a=S，这里a是S的函数.

问题5：如果某人t s内骑车行进了1 km，那么他骑车的平均速度v=t－1 km/s，这里v是t的函数.

【探究1】观察五个解析式有什么共同特征？  

【提示】五个解析式都是幂的形式，指数为常数，底数为变量。

【设计意图】通过探究，引导学生直观感受幂函数的结构，并尝试用数学语言表达幂函数的定义，提高学生思考并解决问题的能力。

（二）幂函数的概念

1.幂函数的定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．

例1.下列函数：①y＝x3；②y＝；③y＝4x2；④y＝x5＋1；⑤y＝(x－1)2；⑥y＝x；⑦y＝ax(a＞1)．其中幂函数的个数为(　　)

A．1　　　　　　　　　 　B．2

C．3   D．4

[解析]　(1)由幂函数的概念可知，只有①⑥是幂函数．

[答案]　B

【类题通法】幂函数解析式的结构特征

(1)指数为常数．

(2)底数是自变量，自变量的系数为1.

(3)幂xα的系数为1.

(4)只有1项．

【巩固练习1】已知f(x)＝ax2a＋1－b＋1是幂函数，则a＋b等于(　　)

A．2  B．1  C.  D．0

解析　因为f(x)＝ax2a＋1－b＋1是幂函数，

所以a＝1，－b＋1＝0，

即a＝1，b＝1，则a＋b＝2.

答案　A

（三）幂函数的图象及性质

1．在同一平面直角坐标系内函数(1)y＝x；(2)y＝；(3)y＝x2；(4)y＝x－1；(5)y＝x3的图象如图．

2．五个幂函数的性质

性质总结：(1)当α＞0时，

①图象都通过点(0,0)，(1,1)；

②在第一象限内，函数值随x的增大而增大；

③在第一象限内，α＞1时，图象是向下凸的；

0＜α＜1时，图象是向上凸的；

④在第一象限内，过点(1,1)后，图象向右上方无限伸展．

(2)当α＜0时，

①图象都通过点(1,1)；

②在第一象限内，函数值随x的增大而减小，图象是向下凸的；

③在第一象限内，图象向上与y轴无限接近，向右与x轴无限接近；

④在第一象限内，过点(1,1)后，|α|越大，图象下降的速度越快．

【辩一辩】下列命题中，

①幂函数的图象不可能在第四象限；

②当α＝0时，函数y＝xα的图象是一条直线；

③当α>0时，幂函数y＝xα是增函数；

④当α＜0时，幂函数y＝xα在第一象限内函数值随x值的增大而减小．

[答案]  ①④

【设计意图】通过学习，使学生明确幂函数的图象及性质，强化直观想象的核心素养。

（四）幂函数的应用

1.求幂函数的解析式

例2.函数f(x)＝(m2－m－1)是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式．

[解]　由m2－m－1＝1得，m2－m－2＝0，解得m＝2或m＝－1.

当m＝2时，m2＋m－3＝3，f(x)＝x3符合要求，

当m＝－1，m2＋m－3＝－3＜0，f(x)＝x－3在(0，＋∞)为减函数，不符合要求．

综上，f(x)＝x3.

【类题通法】判断幂函数的依据

形如y＝xα的函数叫幂函数，它具有三个特点：

(1)系数为1.    (2)指数为常数(也可以为0)．   (3)后面不加任何项．

【巩固练习2】已知幂函数f(x)＝kxα(k∈R，α∈R)的图象过点，则k＋α＝(　　)

A.     B．1      C.   D．2

[解析]　∵幂函数f(x)＝kxα(k∈R，α∈R)的图象过点，∴k＝1，f＝α＝，即α＝－，∴k＋α＝.

[答案]  A

2.幂函数图象的应用

例3.（1）已知幂函数f(x)＝xα的图象过点P，试画出f(x)的图象并指出该函数的定义域与单调区间．

[解]　因为f(x)＝xα的图象过点P，所以f(2)＝，即2α＝，得α＝－2，即f(x)＝x－2，

f(x)的图象如图所示，

定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，单调减区间为(0，＋∞)，单调增区间为(－∞，0)．

【类题通法】(1)幂函数图象的画法

①确定幂函数在第一象限内的图象：先根据α的取值，确定幂函数y＝xα在第一象限内的图象．

②确定幂函数在其他象限内的图象：根据幂函数的定义域及奇偶性确定幂函数f(x)在其他象限内的图象．

(2)解决与幂函数有关的综合性问题的方法

首先要考虑幂函数的概念，对于幂函数y＝xα(α∈R)，由于α的取值不同，所以相应幂函数的单调性和奇偶性也不同．同时，注意分类讨论思想的应用．

（2）幂函数y＝x2，y＝x－1，y＝，y＝在第一象限内的图象依次是图中的曲线(　　)

A．C2，C1，C3，C4                 B．C4，C1，C3，C2

C．C3，C2，C1，C4                 D．C1，C4，C2，C3

[解析]　由于在第一象限内直线x＝1的右侧时，幂函数y＝xα的图象从上到下相应的指数α由大变小，故幂函数y＝x2在第一象限内的图象为C1，同理，y＝x－1在第一象限的图象为C4，y＝x在第一象限内的图象为C2，y＝x－在第一象限内的图象为C3，故选D.

[答案]　D

【类题通法】幂函数在第一象限内指数变化规律：在第一象限内直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；在直线x＝1的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小.

【巩固练习3】 （1）点(，2)与点分别在幂函数f(x)，g(x)的图象上，问当x为何值时，有①f(x)>g(x)；②f(x)＝g(x)；③f(x)<g(x)．

[解] 设f(x)＝xα，g(x)＝xβ，则()α＝2，(－2)β＝－，∴α＝2，β＝－1.

∴f(x)＝x2，g(x)＝x－1.分别作出它们的图象如图所示，由图象可知，

当x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f(x)>g(x)；

当x＝1时，f(x)＝g(x)；

当x∈(0,1)时，f(x)<g(x)．

（2）在同一坐标系内，函数y＝xa(a≠0)和y＝ax－的图象可能是(　　)

[解析]　选项A中，幂函数的指数a<0，则直线y＝ax－应为减函数，A错误；

选项B中，幂函数的指数a>1，则直线y＝ax－应为增函数，B错误；

选项D中，幂函数的指数a<0，则－>0，直线y＝ax－在y轴上的截距为正，D错误．

[答案]　C

3.比较大小

例4. 比较下列各组数的大小．

(1)0.5与0.5；(2)－1与－1；(3)与.

解　(1)因为幂函数y＝x0.5在(0，＋∞)上是单调递增的，又>，所以0.5>0.5.

(2)因为幂函数y＝x－1在(－∞，0)上是单调递减的，又－<－，所以－1>－1.

(3)因为在(0，＋∞)上是单调递增的，所以＝1，

又在(0，＋∞)上是单调递增的，所以＝1，所以.

【类题通法】幂值大小比较常用的方法

要比较的两个幂值，若指数相同，底数不同时，考虑应用幂函数的单调性；考虑借助中间量“1”“0”“－1”进行比较．

【巩固练习4】比较下列各组数的大小：

(1)和；(2)，和.

[解]　(1)函数y＝在(0，＋∞)上为减函数，又3<3.1，所以.

(2)所以

【设计意图】通过例题解答，让学生直观感受幂函数的图象和性质的应用，从而提高学生的逻辑推理的核心素养.

（五）操作演练  素养提升

1.下列函数中不是幂函数的是 (　　)

A．y＝　　　　　 B．y＝x3

C．y＝3x D．y＝x－1

2.已知幂函数的图象过点(2,4)，则其解析式为   (　　)

A．y＝x＋2       B．y＝x2

C．y＝       D．y＝x3

3．已知幂函数y＝xn，y＝xm，y＝xp的图象如图，则(　　)

A．m＞n＞p                  B．m＞p＞n

C．n＞p＞m                   D．p＞n＞m

4.函数f(x)＝(m2－m－1)是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时是减函数，则实数m的值为(　　)

A．4  B．3

C．－1或2  D．2

答案：1.C   2.B   3.C    4.D

【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。

（六）课堂小结，反思感悟

 1.知识总结：

2.学生反思：

（1）通过这节课，你学到了什么知识？

（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？

【设计意图】

通过总结，让学生进一步巩固函数的奇偶性，树立用函数的性质解决相关问题的意识。

六．布置作业

完成教材：第91页  练习     第1，2,3题

          第91 页   习题3.3  第1,2,3题