高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.3 对数教学设计

《4.4.1对数函数的概念》教学设计

一．教材分析

本小节内容选自《普通高中数学必修第一册》人教A版（2019）第四章《指数函数与对数函数》的第四节《对数函数》（第一课时）。以下是本节两个课时的安排：

     二，学情分析

    学生已经学习了指数函数幂的概念，在指数函数概念的基础上，引入对数函数的概念，符合学生的认知规律，也比较自然。

三．学习目标

1、理解对数函数的定义，会求对数函数的定义域；

2、了解对数函数与指数函数之间的联系，培养学生观察问题、分析问题和归纳问题的思维能力以及数学交流能力；渗透类比等基本数学思想方法。

3、在学习对数函数过程中，使学生学会认识事物的特殊性与一般性之间的关系，培养数学应用的意识，感受数学、理解数学、探索数学，提高学习数学的兴趣，了解对数函数在生产实际中的简单应用.

四．教学重点

重点：对数函数的概念，在此过程中培养学生的数学抽象素养。

难点：从不同的问题情境中归纳对数函数的定义域，并掌握对数函数的定义域。

五．教学过程

（一）新知导入

1. 创设情境，生成问题

    对中科院古脊椎动物与古人类研究所的专家向外界确认，河南汝阳村李锤发现的“龙骨”实际上是一头距今已有1亿至8 000万年历史的黄河巨龙的肋骨.经过发掘、整理、还原模型，专家推断这条黄河巨龙活着的时候，体重应该在60吨左右，是迄今为止亚洲最高大、最肥胖的“亚洲龙王”.

【想一想】同学们知道专家是怎样依据“龙骨”化石估算出黄河巨龙的生活年代的吗？

提示：考古学家是通过提取附着在“龙骨”化石上的残留物，利用t＝logP(P为碳14含量)估算出黄河巨龙的生活年代t的.

2. 探索交流，解决问题

【问题1】 考古学家一般是通过提取附着在出土文物、古遗址上死亡物体的残留物，利用t＝logP(P为碳14含量)估算出土文物或古遗址的年代t的.

【思考1】（1）t是P的函数吗？为什么？

（2）函数t＝logP的解析式与函数y＝log2x的解析式有什么共同特征？

【提示】  （1）t是P的函数，因为对于P每取一个确定的值按照对应关系f：t＝logP，都有唯一的值与之相对应，故t是P的函数.

（2）两个函数都是对数的真数作为函数的自变量.

【设计意图】

 由问题引发学生思考：已知自变量和对应关系，是否满足函数的定义？凸显学习新概念的必要性，培养学生数学抽象的核心素养。

（二）对数函数的概念

1.对数函数：一般地， 函数y＝x (a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，对数函数的定义域是（0，+∞）．

2.对概念的深度剖析：

（1）对数函数中的底数和对数运算中的底数相同，都是a>0，且a≠1.

（2）对数的运算中N>0，对数函数中的自变量x>0，对数函数的定义域是（0，+∞）．

（3）对数函数的形式：

系数：对数符号前面的符号是1；

底数：a>0，且a≠1；

真数：对数的真数仅有自变量x．

【做一做】  　下列函数是对数函数的是(　　)

A.y＝loga(2x)   B.y＝log22x

C.y＝log2x＋1   D.y＝lg x

解析：　选项A，B，C中的函数都不具有“y＝logax(a>0且a≠1)”的形式，只有D选项符合.

答案：D

【设计意图】

通过对数函数形式的熟悉，加深学生对对数函数的理解。

（三）对数函数的定义域

【思考2】1.对数的概念中，真数N需满足什么条件？为什么？

提示：真数N需满足由对数的定义：ax＝N(a>0，且a≠1)，则总有N>0，所以转化为对数式x＝logaN时，不存在N≤0的情况．

2.对数函数的概念中，自变量x的取值范围是什么？对数型函数需要满足什么条件呢？

提示：　对数函数中的自变量x>0，对数函数的定义域是（0，+∞），对数型函数需要满足真数大于0．

【设计意图】

充分利用由对数到对数运算，得出对数函数的定义域，进而得到对数型函数的定义域，培养学生数学抽象的核心素养。

对数函数的定义域

对数函数的定义域是（0，+∞），对数型函数需要满足真数大于0．

【做一做】  求函数f(x)＝log(2x-1)(－4x＋8)的定义域。

解：由题意得解得

故函数的定义域为（，1）∪（1,2）

【设计意图】

通过具体的例子，使学生掌握对数函数的定义域.

（四）对数函数的概念及应用

1.对数函数的概念

例1  (1)下列给出的函数：①y＝log5x＋1；②y＝logax2(a>0，且a≠1)；③y＝log(－1)x；

④y＝log3x；⑤y＝logx(x>0，且x≠1)；⑥y＝logx.其中是对数函数的为(　　)

A．③④⑤　　　　　　　B．②④⑥

C．①③⑤⑥            D．③⑥

(2)若函数y＝log(2a－1)x＋(a2－5a＋4)是对数函数，则a＝________.

(3)已知对数函数的图象过点(16,4)，则f ＝________．

解析：　(1)由对数函数定义知，③⑥是对数函数，故选D.

(2)因为函数y＝log(2a－1)x＋(a2－5a＋4)是对数函数，

所以解得a＝4.

(3)设对数函数为f(x)＝logax(a>0且a≠1)，

由f(16)＝4可知loga16＝4，∴a＝2，∴f(x)＝log2x，∴f ＝log2＝－1.

答案：　(1)D （2）4  （3）－1

【类题通法】判断一个函数是否是对数函数，必须严格符合形如y＝logax(a＞0且a≠1)的形式：

系数：对数符号前面的符号是1；

底数：a>0，且a≠1；

真数：对数的真数仅有自变量x．

跟踪训练1.若函数f(x)＝(a2＋a－5)logax是对数函数，则a＝________

解析：由a2＋a－5＝1得a＝－3或a＝2.又a>0且a≠1，所以a＝2.

答案：2

2.对数函数的定义域

例2  求下列函数的定义域．

(1)y＝loga(3－x)＋loga(3＋x)；(2)f(x)＝．

解：　(1)由得－3<x<3，∴函数的定义域是{x|－3<x<3}．

(2)由题意有解得x>－且x≠0，

则函数的定义域为∪(0，＋∞).

延伸拓展：1.把本例(1)中的函数改为y＝loga(x－3)＋loga(x＋3)呢？

解：　由得x>3.

∴函数y＝loga(x－3)＋loga(x＋3)的定义域为{x|x>3}．

2.把本例(1)中的函数再改为y＝loga(x＋3)(x－3)呢？

解：　(x＋3)(x－3)>0，即或解得x<－3或x>3.

∴函数y＝loga[(x＋3)(x－3)]的定义域为{x|x<－3或x>3}．

【类题通法】求对数型函数的定义域时应遵循的原则

（1）分母不能为；（2）根指数为偶数时，被开方数非负；

（3）对数的真数大于0，底数大于0且不为1

特别提醒：定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求与对数函数有关的定义域问题时，要注意对数函数的概念，若自变量在真数上，则必须保证真数大于0；若自变量在底数上，应保证底数大于0且不等于1.

跟踪训练2. 求下列函数的定义域：

(1)f(x)＝lg(x－2)＋；(2)f(x)＝logx＋1(16－4x)．

解：　(1)要使函数有意义，需满足解得x>2且x≠3，

所以函数定义域为(2,3)∪(3，＋∞)．

(2)要使函数有意义，需满足

解得－1<x<0或0<x<4，所以函数定义域为(－1,0)∪(0,4)．

3.对数函数值的求解

例3 已知f(x)＝log3.①求f()，f(－)；②求f()＋f(－)；

③求f(a)＋f(－a)的值，a∈(－1,1)．

解：　①f()＝log3＝log3＝－1.

f(－)＝log3＝log33＝1.

②f()＝log3＝log3，f(－)＝log3＝log3，

∴f()＋f(－)＝log3＋log3＝0.

③f(a)＋f(－a)＝log3＋log3＝log3＝0.

【类题通法】

计算对数函数的函数值，主要依据对数的运算性质．

跟踪训练3. 设函数，则f(－2)＋f(log212)＝(　　)

A．3　　　　　　B．6           C．9        D．12

解：　C  由于f(－2)＝1＋log24＝3，f(log212)＝2log212－1＝2log26＝6，所以f(－2)＋f(log212)＝9.

（五）操作演练  素养提升

1．下列函数是对数函数的是(　　)

A．y＝2＋log3x                    B．y＝loga(2a)(a>0，且a≠1)

C．y＝logax2(a>0，且a≠1)          D．y＝ln x

2. （多选题）下列各组函数中，定义域不同的是(　　)

A．y＝ax与y＝logax(a＞0，且a≠1)           B．y＝2ln x与y＝ln x2

C．y＝lg x与y＝lg                        D．y＝x2与y＝lg x2

3.若f(x)＝，则f为(　　)

A．－             B.               C．8           D．－8

【答案】 1.D   结合对数函数的形式y＝logax(a>0且a≠1)可知D正确．

2.ABD    A项中，函数y＝ax的定义域为R，y＝logax(a＞0，且a≠1)的定义域为(0，＋∞)；B项中，y＝2ln x的定义域是(0，＋∞)，y＝ln x2的定义域是{x|x∈R，x≠0}；C项中，两个函数的定义域均为(0，＋∞)；D项中y＝x2的定义域为R，y＝lg x2的定义域是{x|x∈R，x≠0}．

3.B    f＝log3＝－3，f＝f(－3)＝2－3＝.

【设计意图】

通过课堂达标练习，巩固本节学习的内容。

（六）课堂小结，反思感悟

 1.知识总结：

2.学生反思：

（1）通过这节课，你学到了什么知识？

（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？

【设计意图】

通过课堂小结，有利于学生对本节内容形成知识网络，纳入自己的知识体系。

六．布置作业

完成教材：第131页  练习1,2,3