高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换教学设计及反思

《5.5.2简单的三角恒等变换》

教学设计

一、教材分析

本小节内容选自《普通高中数学必修第一册》人教A版（2019）第五章《三角函数》的第五节《三角恒等变换》。以下是本节的课时安排：

二、学情分析

本节的主要内容是由三角恒等变换，让学生感受数形结合及转化的思想方法。发展学生数学直观、数学抽象、逻辑推理、数学建模的核心素养。

三、学习目标

1.利用二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦、正切公式,培养数学抽象的核心素养；

2.通过三角恒等变形将形如asin x＋bcos x的函数转化为y＝Asin(x＋φ)的函数，提升数学运算的核心素养；

3.灵活利用公式，通过三角恒等变形，解决函数的最值、周期、单调性等问题，强化数学运算的核心素养。

四、教学重点

重点：引导学生以已有的十一个公式为依据，以积化和差、和差化积、半角公式的推导作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力．

难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力

五、教学过程

（一）新知导入

1. 创设情境，生成问题

同学们知道电脑输入法中的“半角”和“全角”的区别吗？半角、全角主要是针对标点符号来说的，全角标点占两个字节，半角占一个字节，但不管是半角还是全角，汉字都要占两个字节.事实上，汉字字符规定了全角的英文字符、图形符号和特殊字符都是全角字符，而通常的英文字母、数字键、符号键都是半角字符.

【想一想】　任意角中是否也有“全角”与“半角”之分，二者有何数量关系？

【提示】是α的半角，α是2α的半角.

2.探索交流，解决问题

【探究】为丰富三角变换，我们曾由和角公式引出倍角公式，且“倍角是相对的”，那么倍角公式中的2α能否化为α，结果怎样？

【提示】能，结果是sin α＝2sin cos ；cos α＝2cos2－1＝1－2sin2＝cos2－sin2；tan α＝.

（二）半角公式

1.半角公式：

(1)sin2＝⇒sin＝± ，

(2)cos2＝⇒cos＝± ，

(3)tan2＝⇒tan＝± ，

称之为半角公式，符号由所在象限决定．

1.理解半角的含义：角是角α的半角，角α是角2α的半角，角2α是角4α的半角．

2.确定半角的正弦、余弦、正切值正、负号的方法：

①若给出的角已确定其终边所在象限，则可根据下表确定符号.

②若给出角α的范围(即某一区间)，可先求出的范围，然后再根据的范围确定符号．

③若给出的角的象限不确定，则需分类讨论．

【结论】tan＝＝.

【证明】tan＝＝＝，tan＝＝＝.

【做一做1】已知|cos θ|＝，且＜θ＜3π，求sin ，cos，tan的值．

【解析】∵|cos θ|＝，＜θ＜3π，∴cos θ＝－，＜＜.

∴sin＝－ ＝－，cos＝－ ＝－，∴tan＝＝2.

【探究2】公式sin αcos β＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]是否成立？

【提示】∵sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，(S(α＋β))

sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β，(S(α－β))

即sin αcos β＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]，

类似的公式还有：cos αsin β＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]，

cos αcos β＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]，

sin αsin β＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]．这四组公式叫作积化和差公式。

【探究】公式sin θ＋sin φ＝2sin·cos 是否成立？

【提示】在积化和差的公式中，如果“从右往左”看，实质上就是和差化积．为了用起来方便，在积化和差的公式中，如果令α＋β＝θ，α－β＝φ，则α＝，β＝.

把这些值代入积化和差的公式1中，就有sin·cos

＝＝(sin θ＋sin φ)．

∴sin θ＋sin φ＝2sin·cos.

同样可得：

sin θ－sin φ＝2cos·sin，

cos θ＋cos φ＝2cos·cos，

cos θ－cos φ＝－2sin·sin. 这四组公式叫作和差化积公式。

（三）典型例题

1.半角公式的应用

例1.　已知sin θ＝，且＜θ＜3π.求cos 和tan 的值．

【解析】　∵sin θ＝，＜θ＜3π，∴cos θ＝－＝－.

∵cos θ＝2cos2－1，∴cos2 ＝.

又＜＜，

∴cos ＝－ ＝－ ＝－.

tan ＝＝＝＝＝2.

【类题通法】利用半角公式求值的思路

(1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解．

(2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围．

(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan＝＝，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正、余弦值时，常先利用sin2＝，cos2＝计算．

(4)下结论：结合(2)求值．　　

【巩固练习1】已知α为钝角，β为锐角，且sin α＝，sin β＝，求cos 的值．

【解析】因为α为钝角，β为锐角，sin α＝，sin β＝，

所以cos α＝－，cos β＝，所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－×＋×＝，

又因为<α<π，0<β<，所以0<α－β<π，所以0<<，

所以cos ＝ ＝ ＝.

2.与三角函数的性质有关的综合题

例2.已知函数.

（1）求函数的单调减区间；

（2）当时，求函数的值域.

【解析】（1）

，

所以

令，解得，

故函数的减区间为.

（2）当时，所以，所以，

故函数的值域为

【类题通法】研究形如f(x)＝asinx＋bcosx的函数性质，都要运用辅助角公式化为一个整体角的正弦函数或余弦函数的形式．因此辅助角公式是三角函数中应用较为广泛的一个重要公式，也是高考常考的考点之一．对一些特殊的系数a，b应熟练掌握，例如sinx±cosx＝sin；sinx±cosx＝2sin等.

【巩固练习2】已知函数.

（1）求的最小正周期和图象的对称轴方程；

（2）当时，求的最小值和最大值.

【解析】，

（1）最小正周期为，由，得出对称轴，；

（2），令，则，，

即最小值为0，最大值为.

3.三角函数式的化简

例3. 化简：    (180°<α<360°)．

【解析】原式＝

＝ ＝.

又∵180°<α<360°，∴90°<<180°，∴cos<0，

∴原式＝＝cosα.

[变式]　若本例中式子变为(－π<α<0)，求化简后的式子．

【解析】原式＝ ＝

＝＝.

因为－π<α<0，所以－<<0，所以sin<0，

所以原式＝＝cosα.

【类题通法】化简问题中的“3变”

(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式．

(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切．

(3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径．如升幂、降幂、配方、开方等．

【巩固练习3】已知π<α<，化简：＋.

【解析】原式＝＋，

∵π<α<，∴<<.   ∴cos<0，sin>0.

∴原式＝＋＝－＋  ＝－cos.

4.三角恒等变换在实际问题中的应用

例4.某工人要从一块圆心角为45°的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1 m，求割出的长方形桌面的最大面积(如右图)．

【解析】连接OC，设∠COB＝θ，则0°<θ<45°，OC＝1.

∵AB＝OB－OA＝cosθ－AD＝cosθ－sinθ，

∴S矩形ABCD＝AB·BC＝(cosθ－sinθ)·sinθ＝－sin2θ＋sinθcosθ

＝－(1－cos2θ)＋sin2θ＝(sin2θ＋cos2θ)－＝cos(2θ－45°)－.

当2θ－45°＝0°，即θ＝22.5°时，Smax＝ (m2)．

∴割出的长方形桌面的最大面积为 m2.

【类题通法】三角函数应用题的特点和处理方法

(1)实际问题的意义反映在三角形的边、角关系上．

(2)引进角为参数，利用三角函数的有关公式进行推理，解决最优化问题．

(3)解决三角函数应用问题与解决一般的应用问题一样，先建模，再讨论变量的性质，最后做出结论并回答问题．

【巩固练习4】如图，有一块以点O为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD开辟为绿地，使其一边AD落在半圆的直径上，另两点B，C落在半圆的圆周上．已知半圆的半径长为20 m，如何选择关于点O对称的点A，D的位置，可以使矩形ABCD的面积最大，最大值是多少？

【解析】连接OB(图略)，设∠AOB＝θ，

则AB＝OBsin θ＝20sin θ，OA＝OBcos θ＝20cos θ，且θ∈.

因为A，D关于原点对称，所以AD＝2OA＝40cos θ.

设矩形ABCD的面积为S，则S＝AD·AB＝40cos θ·20sin θ＝400sin 2θ.

因为θ∈，所以当sin 2θ＝1，即θ＝时，Smax＝400(m2)．

此时AO＝DO＝10(m)．

故当A，D距离圆心O为10 m时，矩形ABCD的面积最大，其最大面积是400 m2.

【设计意图】通过三角函数的实际应用，培养学生数学建模的核心素养。

（四）操作演练  素养提升

1．若cos α＝，α∈(0，π)，则cos的值为(　　)

A.　　B．－    C．±  D．±

2．函数的最小正周期为________．

3．化简的结果为________．

4．已知＝，则sin x－cos x＝________.

【答案】1.A      2.      3.sin 1＋cos 1      4.

【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。

（五）课堂小结，反思感悟

 1.知识总结：

2.学生反思：

（1）通过这节课，你学到了什么知识？

（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？

【设计意图】

通过总结，让学生进一步巩固函数的表示法，树立用函数解析式解决相关问题的意识。

六、布置作业

完成教材：第228页  练习     第1，2，3题

          第229 页   习题5.5 第10,11，15,16,17题