2021-2022学年福建省三明市尤溪县八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年福建省三明市尤溪县八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共11小题，共44分）

1. 若，则下列不等式正确的是(    )

A.  B. 十 C.  D.

2. 垃圾分类一小步，低碳生活一大步，用数学的眼光观察下列垃圾分类标识的图案，是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 将点先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后的坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 如图，于，于，且，则≌的理由是(    )

A.
B.
C.
D.

5. 如图，某研究性学习小组为测量学校与河对岸工厂之间的距离，在学校附近选一点，利用测量仪器测得，，据此，可求得学校与工厂之间的距离等于(    )
    

A.  B.  C.  D.

6. 交通法规人人遵守，文明城市处处安全．在通过桥洞时，我们往往会看到如图所示的标志，这是限制车高的标志．则通过该桥洞的车高的范围在数轴上可表示为(    )

A.
B.
C.
D.
 

7. 如图，在平面直角坐标系中，将点绕原点顺时针旋转得到点，则的坐标为(    )

A.
B.
C.
D.

8. 在中，已知，，若用无刻度的直尺和圆规在上找一点，使是等腰三角形，则下列作法中，正确的有(    )

A.  B.  C.  D.

9. 用反证法证明命题“在同一平面内，若，，则”时，首先应假设(    )

A. 与相交 B.  C.  D. 与相交

10. 如图，一次函数的图象过点，则不等式的解集是(    )
     

A.  B.  C.  D.

11. 在新冠肺炎疫情防控期间，体温超过的必须如实报告，并主动到发热门诊就诊．体温“超过”用不等式表示为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共20分）

12. 命题“对顶角相等”的逆命题是______ 命题填“真”或“假”．
13. 如图，在中，，平分，若，则点到的距离为______．

14. 如图，在中，，，将绕点逆时针旋转角到的位置，恰好经过点，则旋转角的度数为______．

15. 已知一次函数为常数，与的对应值如下表：

那么，不等式的解集是______．

16. 如图，等边中，点是三边垂直平分线的交点，，的两边，与，分别相交于，，绕点顺时针旋转时，则下列四个结论：
    ；
    ；
    ；
    四边形的面积是个定值．
    其中正确的是______写出序号．

三、解答题（本大题共9小题，共86分）

17. 解不等式，并把解集表示在数轴上．
     
18. 如图，在中，是边上的点，，，垂足分别为，，且，求证：．

19. 解不等式组：并把解集表示在数轴上．
     
20. 在的方格纸，的三个顶点都在格点上．
    将图中的向下平移格，画出平移后的；
    将图中的绕着点按顺时针方向旋转，画出旋转后的．
     

21. 如图，在中，于点．
    尺规作图：过点作，垂足为点不写作法，保留作图痕迹
    在的条件下，若求证：．

22. 某单位计划在“五一”小长假期间组织员工到某地旅游，参加旅游的人数为人，甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人元．经过协商，甲旅行社表示可给予每位游客七折优惠；乙旅行社表示可先免去一位游客的费用，其余游客七五折优惠．设该单位参加旅游的人数是人，选择甲旅行社时，所需费用为元，选择乙旅行社时，所需费用为元．
    请分别写出，与之间的关系式．
    该单位选择哪一家旅行社支付的旅游费用较少？
23. 阅读下列材料，然后解答后面的问题．
    我们知道方程有无数组解，但在实际生活中我们往往只需求出其正整数解．
    例题：由得为正整数．
    则有，
    又为正整数，
    为正整数，
    由与互质，可知为的倍数，从而，代入，
    的正整数解为．
    问题：
    请你模仿例题解答过程，求出方程的正整数解．
    为了开展“阳光体育”活动，某班计划购买甲、乙两种体育用品每种体育用品至少购买件，其中甲种体育用品每件元，乙种体育用品每件元，共用去元，问有几种购买方案．
24. 如图，在中，，于点，，分别交，于点、，连接．
    判断的形状，并说明理由；
    若，求证：．

25. 在中，，将绕点按顺时针方向旋转，得到，点的对应点为点，点的对应点为点，与的延长线交于点．
    
    如图，连接，求证；
    如图，连接与交于点．
    求证：；
    求证：，，三点在同一条直线上．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、不等式的两边同时减去，不等号的方向不变，即，故此选项不符合题意；
B、不等式的两边同时加上，不等号的方向不变，即十，故此选项不符合题意；
C、不等式的两边同时乘，不等号的方向改变，即，故此选项不符合题意；
D、不等式的两边同时除以，不等号的方向不变，即，故此选项符合题意．
故选：．
根据不等式的性质分析判断．
本题主要考查了不等式的性质．解题的关键是掌握不等式的性质：不等式两边加或减同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式两边乘或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．
 

2.【答案】 

【解析】解：选项B、、都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项A能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：．
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

3.【答案】 

【解析】解：将点先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后的坐标是，即，
故选：．
直接利用平移中点的变化规律求解即可．
本题主要考查了坐标系中点的平移规律，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
 

4.【答案】 

【解析】解：，，
，
在和中，
，
≌，
故选：．
根据垂直定义得出，再根据两直角三角形全等的判定定理推出即可．
本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，，，，两直角三角形全等还有等．
 

5.【答案】 

【解析】解：，，，
，
．
故选：．
直接利用直角三角形的性质得出度数，进而利用直角三角形中所对直角边是斜边的一半，即可得出答案．
此题主要考查了直角三角形的性质，正确掌握边角关系是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：由题意可得：
通过该桥洞的车高的取值范围是：．
在数轴上表示如图：

故选：．
利用已知图表直接得出该桥洞的车高的取值范围．
此题主要考查了在数轴上表示不等式的解集．根据图表理解题意是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了坐标与图形变化旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：，，，，．
作轴于，如图，把点绕原点顺时针旋转得到点看作把绕原点顺时针旋转得到，利用旋转的性质得到，，，，从而可确定点的坐标．
【解答】
解：作轴于，如图，

，
，，
点绕原点顺时针旋转得到点相当于把绕原点顺时针旋转得到，
，，，，
点的坐标为．
故选：．  

8.【答案】 

【解析】解：图：由题意得：平分，
，
，，
，
，
不是等腰三角形，
故错误；
图：由题意得：
，
是等腰三角形，
故正确；
图：由题意得：
点在的垂直平分线上，
，
是等腰三角形，
故正确，
所以，上列作法中，正确的有：，
故选：．
根据作图痕迹可知，图作的是的平分线，图作的是，图作的是的垂直平分线，然后逐一判断即可解答．
本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定方法是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：反证法证明命题“在同一平面内，若，，则”时，
应假设与相交，
故选：．
根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可．
本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查一次函数与一元一次不等式的关系，先把代入得，则化为，然后解关于的不等式即可．
【解答】
解：把代入得，解，
则化为，
而，
所以，
解得．  

11.【答案】 

【解析】解：体温“超过”用不等式表示为，
故选：．
根据题意可知，体温超过，说明体温大于，从而可以用相应的不等式表示出来．
本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，写出相应的不等式．
 

12.【答案】假 

【解析】解：命题“对顶角相等”的逆命题是相等的角为对顶角，此逆命题为假命题．
故答案为假．
先交换原命题的题设与结论得到逆命题，然后根据对顶角的定义进行判断．
本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果那么”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
 

13.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于，

，平分，
，
，
，
即点到的距离为．
故答案为：．
过点作于，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，从而得解．
本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：在中，，，
，
将绕点逆时针旋转角到的位置，
，，
，
，
，
故答案为：．
根据旋转的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．
此题考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质．注意掌握旋转前后图形的对应关系是解此题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了一次函数与一元一次不等式，认真体会一次函数与一元一次方程及一元一次不等式之间的内在联系．理解一次函数的增减性是解决本题的关键．
由表格得到函数的增减性后，再得出时，对应的的值即可．
【解答】
解：根据表可以知道函数值随的增大而增大，且时，，
故不等式的解集是．
故答案为：．  

16.【答案】 

【解析】解：连接、，过点作于，
为等边三角形，
，
点是三边垂直平分线的交点，
，、分别平分和，
，
，即，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，正确；
≌，
，
四边形的面积，即四边形的面积是个定值，正确；
，，
，
，，
，
，
随的变化而变化，
四边形的面积是个定值，
，错误；
故答案为：．
连接、，过点作于，证明≌，根据全等三角形的性质、三角形的面积公式计算，判断即可．
本题考查的是旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及三角形面积的计算，掌握旋转的性质和等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
 

17.【答案】解：去括号得：，
移项得：，
合并得：，
表示在数轴上，如图所示：
． 

【解析】不等式去括号，移项，合并，把系数化为，求出解集，表示在数轴上即可．
此题考查了解一元一次不等式，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．
 

18.【答案】证明：，，
，
在和中，
，
≌，
． 

【解析】由垂直的定义，，证明≌，得出对应角相等即可．
本题考查了全等三角形的判定与性质，能够证明≌是解决问题的关键．
 

19.【答案】解：不等式组整理得：，
解得：，
表示在数轴上，如图所示：
． 

【解析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可．
此题考查了解一元一次不等式，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．
 

20.【答案】解：如图，为所作；
如图，为所作．
 

【解析】利用网格特点和平移的性质画出、、的对应点即可；
利用网格特点和旋转的性质画出、、的对应点即可．
本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换．
 

21.【答案】解：如图，线段即为所求；

证明：在和中，
，
≌，
，
． 

【解析】根据要求作出图形即可；
根据证明≌，可得结论．
本题考查作图基本作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

22.【答案】解：由题意可得，，，
答：，；
当时，解得，
即当时，两家费用一样；
当时，解得，
即当时，乙社费用较低；
当时，解得，
即当时，甲社费用较低；
答：当人数为人时，两家均可选择，当人数在之间时选择乙旅行社，当人数时，选择甲旅行社． 

【解析】根据题意可以直接写出甲旅行社收费元、乙旅行社收费元与参加旅游的人数人之间的关系式；
根据题意，可以列出相应的不等式，从而可以得到该单位选择哪一家旅行社支付的旅游费用较少．
本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
 

23.【答案】解：由得：为正整数，
，
则有：，
当时，，
当时，，
方程的正整数解为：或；
设购买甲种体育用品件，乙种体育用品件，
由题意得：
，
，
，
，是正整数，
当时，，
当时，，
所以，共有种购买方案：购买甲种体育用品件，乙种体育用品件；
购买甲种体育用品件，乙种体育用品件． 

【解析】先将方程变形为：，再根据，为正整数，可得，然后进行计算即可解答；
设购买甲种体育用品件，乙种体育用品件，根据题意可得：，然后进行计算即可解答．
本题考查了二元一次方程的解，解一元一次不等式组，二元一次方程的应用，根据题意找出正确的等量关系是解题的关键．
 

24.【答案】解：为等腰直角三角形．
理由：，，
，
垂直平分，
，
，
，
为等腰直角三角形；
证明：在上取一点，使，连接，

在和中，
，
≌，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
中，由勾股定理得：，
． 

【解析】先根据等腰三角形三线合一的性质得，由勾股定理计算可得的长，由等腰直角三角形性质得，最后由线段的差可得结论；
如图，作辅助线，构建全等三角形，证明≌，得，，由等腰三角形三线合一的性质得，最后由勾股定理和等量代换可得结论．
本题考查的是勾股定理，全等三角形的性质和判定，等腰三角形和等腰直角三角形的性质和判定，第二问有难度，正确作出辅助线是关键．
 

25.【答案】证明：将绕点按顺时针方向旋转，得到，，
，，
，，，
，
；
连接，

将绕点按顺时针方向旋转，得到，
，，，
，
，
，
，
；
，，
是的垂直平分线，
，
，
点在的垂直平分线上，
，，三点在同一条直线上． 

【解析】根据等腰三角形的底角相等和旋转的性质可证明结论；
连接，根据等腰三角形的性质和旋转的性质可说明，则；
根据线段垂直平分线的判定与性质可证明结论．
本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的判定与性质等知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．