数学必修 第一册第四章 指数函数与对数函数4.5 函数的应用（二）教案设计

《4.5.1 函数的零点与方程的解》教学设计

一、教材分析

本小节内容选自《普通高中数学必修第一册》人教A版（2019）第四章 指数函数与对数函数的第五节 函数的应用（二）（第一课时）。以下是本单元《4.5函数的应用（二）》三个课时的安排：

二、学情分析

     在教材第50页（2.3），学生已学习了二次函数的零点，且在此学习的过程中,已经初步理解了二次函数的图象与一元二次方程的根之间的关系，具备一定的用数形结合思想解决问题的能力，这为更深入的学习和理解函数零点提供了基础知识与认知.

但对于其他方程（例如高次方程）与对应函数图象之间的关系，还没有准确的认识。且在函数零点存在定理的导出过程中，涉及到转化思想、数形结合思想，及借助计算工具（列表），或利用信息技术Geogebra画图过程，这是学生学习的一个重点和难点，且这些思想或是工具对后面二分法的学习也有一定的辅助作用。

三、学习目标

1. 理解函数零点的概念，会求一些比较简单的函数的零点，达成数学抽象的核心素养.

2. 理解方程的解、函数的零点、函数图象与轴交点的横坐标三者的关系，培养数学抽象的核心素养.

3. 掌握函数零点存在定理，并能用该定理判断函数在区间内是否存在零点或零点所在区间，提升逻辑推理的核心素养.

4. 通过函数零点的概念和函数零点存在定理的形成及应用，体会数形结合、函数与方程、转化与划归数学思想.

四、教学重难点

重点：函数零点与方程的解之间的关系；

求函数零点的方法；

利用函数零点存在定理确定连续函数零点的大致区间.

难点：发现与理解方程的解与函数零点的关系；

探究函数零点存在定理的的认知过程.

五、教学过程

（一）新知导入

1. 创设情境，生成问题

一枚炮弹发射后，通过落到地面击中目标，炮弹射高是，且炮弹距离地面的高度（单位：）与飞行时间（单位：）形成的函数关系式是

【想一想】

利用函数解析式怎样求出这枚炮弹在哪一时刻落地？

2. 探索交流，解决问题

【问题1】  求出下列方程 的实数根并且画出其对应的函数 图象并且标出图象与 轴交点的横坐标.      

  【思考1】

（1）方程 的根的个数与函数 与 轴交点的个数有什么关系？

（2）方程 的根与函数与 轴交点的横坐标有什么关系？

（3）对于上面问题1中的（4），既不会解方程，又不会函数图象，如何解决呢？

【提示】  

（1）方程 的根的个数与函数 与 轴交点的个数相同；

（2）方程 的根与函数与 轴交点的横坐标相等。

（3）对于问题1中的（4），我们后面会在函数零点存在定理的应用处讲到。

【设计意图】

通过问题与思考题的探究，引导学生得出函数零点的概念。

问题1中（4）引出了本节课的主线，且为函数零点的转化作了铺垫。

（二）函数的零点

函数零点的概念：

对于一般函数，把使的实数x叫做函数的零点.

【思考2】  

由函数零点的概念，你发现函数的零点与方程的根有什么关系？

【提示】

函数的零点就是方程的实数解，也就是函数的图象与x轴交点的横坐标，所以方程有实数解函数有零点函数的图象与x轴有公共点。

【做一做】   根据零点的定义判断对错与填空.

（1）任何函数都有零点.（ ）

（2） 函数 的零点是.（ ）

（3）如右图所示，函数 的零点 是         .              

【提示】

（1）错，与x轴无交点的函数没有零点，如；                                          

      （2）错，零点是函数与x轴交点的横坐标，而不是交点；

（3） ，根据图象，函数与x轴的交点横坐标是 ，所以零点即为 。

【设计意图】

通过问题探究，使学生深入理解函数零点的概念，培养数学抽象的核心素养。

 （三）函数的零点的求解

例1  求下列函数的零点.

（1）f(x)＝－8x2＋7x＋1；

（2）f(x)＝1＋log3x.

【思维引导】  将函数的零点转化为方程的根或函数图象与x轴的交点求解。

[解析]

(1)令－8x2＋7x＋1＝0，解得x＝－或x＝1．所以函数的零点为－和1．

(2)令1＋log3x＝0，则log3x＝－1，解得x＝．所以函数的零点为。

【类题通法】

因为函数f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标，所以，求函数的零点的方法是令f(x)＝0，通过解方程f(x)＝0的根求得函数的零点，或者先做出函数y＝f(x)的图象，判断函数图象与x轴的交点的个数，再解方程得到函数的零点．

【情境问题】

提示：，所以在26秒的时候落地。

【巩固练习】

1. 已知函数f(x)＝loga(2－x)．

（1）求函数f(x)的定义域；

   （2）求函数f(x)的零点．

[解析]

(1)要使函数有意义，须2－x>0，解得x<2，∴函数定义域为(－∞，2)．

(2)令f(x)＝loga(2－x)＝0，∴2－x＝1解得x＝1.∵1∈(－∞，2)，∴函数f(x)的零点为1.

【设计意图】

通过例题及练习的学习，使学生掌握求函数零点的方法，强化数学运算的核心素养。

（四） 函数零点存在定理

【思考3】  下面两组镜头，哪一组能说明人一定曾渡过河?

【探究】 

如果函数在区间满足，是否一定推出函数在区间内有零点，进一步得到方程在区间内有根？若不能，请举出反例.

【提示】

如果函数在区间满足，不一定推出函数

在区间内有零点，进一步得到方程在区间内有根，

例如函数，满足，作出函数图象为

由图象可知此函数没有零点。

【设计意图】

通过问题探究，探究零点存在定理，使学生对不同条件函数的零点是否存在作出判断。

（五）函数零点存在定理

1.零点存在性定理

如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0,_这个c也就是方程f(x)＝0的解．

【辨一辨】  根据零点的存在性定理判断:

（1）已知函数在区间，

则f(x)在区间(a,b)内存在零点.（   ）

（2）已知函数在区间，则f(x)在区间(a,b)内没有零点.（   ）

（3）已知函数在区间[a,b]上连续并且有零点，则一定有.（  ）

（4）已知函数在区间，则在区间内有且仅

有一个零点.（   ）

【提示】

（1）错，（2）错，（3）错，（4）错

【点睛】

(1)           一个函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点必须同时满足:

①函数f(x)在区[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线;

②f(a)f(b)<0．这两个条件缺一不可，否则结论不一定成立；

(2)           若函数f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的,且在两端点处的函数值f(a),f(b) 

异号，则函数y=f(x)的图象至少穿过x轴一次,即方程f(x)=0在区间(a,b)内至少有一个实数根。

（3）零点的存在性定理只能判断出零点的存在性,而不能判断出零点的个数．

【设计意图】

通过问题探究，使学生理解零点存在性定理，提升数学抽象的核心素养。

2. 零点存在性定理的应用

例2   函数在区间上存在零点吗？

【思维引导】

利用零点存在性定理，判断是否小于0.

[解析]

因为f=,所以,

所以函数 在区间上存在零点。

【延伸探究】

（1）    若存在，在区间上是否只有一个零点？

（2）    判断函数在区间上的零点的个数，还有别的方法吗？

（3） 求方程 的实数解的个数。

【提示】 （1）函数在上是单调递增函数，所以只有一个零点.

（2）方法一、借助计算工具，列出x,y的对应值表，画出的图象.

方法二、借助信息技术，比如GeoGebra,绘制的图象.

方法三、由=0得,设=lnx,  =,分别作出两个函数的图象，如图，

由图象可知两个函数图象只有一个交点，

所以函数的零点只有一个。

（3）    由函数零点概念知，方程只有一个实数解。

【类题通法】

函数零点个数的判断方法：

对于一般函数的零点个数的判断问题，不仅要用零点存在性定理来判断区间[a，b]上是否有f(a)·f(b)<0，还需要结合函数的图象和单调性来判断零点个数：

(1)若函数f(x)在[a，b]上单调，且f(a)·f(b)<0，则f(x)存在零点，且在(a，b)上只有1个零点．

(2)若通过构造f(x)＝g(x)－h(x)，且g(x)、h(x)图象容易作出，则f(x)的零点个数就是g(x)与h(x)图象交点个数，通过作图容易得到f(x)零点个数．

【设计意图】体现信息技术的应用

             强化函数零点的解决方法 - 培养学生数形结合、问题转化能力

【巩固练习2】   函数的零点所在的大致区间为（   ）

【解析】

所以函数的零点在区间内。

答案：C

【设计意图】

通过例题学习，使学生掌握函数零点存在性定理的应用，会判断零点所在的区间及零点的个数，提升逻辑推理和数学运算的核心素养。

（六）操作演练  素养提升

1．函数的零点为（   ）

A.，  B.    C. 0,4     D.4

2. 函数的零点所在的一个区间是（   ）

A.         B.     C.      D.

  3.已知函数的图象是连续不断的,有如下对应值表：

那么函数在区间[1,6]上的零点个数是（   ）

A.2个    B.3个     C.4个      D.至少三个

【答案】1.C  2.B  3.D

【设计意图】

通过课堂达标练习，巩固本节学习的内容。

（七）课堂小结，反思感悟

 1.知识总结：

2.学生反思：

（1）通过这节课，你学到了什么知识？

（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？

【设计意图】

通过课堂小结，有利于学生对本节内容形成知识网络，纳入自己的知识体系。