高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质第1课时教学设计

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质第1课时教学设计，共13页。教案主要包含了设计意图，类题通法，巩固练习1，巩固练习2，巩固练习3等内容，欢迎下载使用。

一．教材分析
本小节内容选自《普通高中数学必修第一册》人教A版（2019）第三章《函数的概念与性质》的第二节《函数的基本性质》。以下是本章的课时安排：
二，学情分析
从学生的知识上看，学生已经学过一次函数、二次函数、反比例函数等简单函数，函数的概念及函数的表示，接下来的任务是从各种函数关系中，研究它们的共同属性；
从学生现有的学习能力看，已经具备了 一定的观察事物的能力，积累了一些研究问题的经验，在一定程度上具备了抽象、概括的能力和语言转换能力；
从学生的学习心理上看，学生头脑中有一些函数性质的实例，但并没有上升到“概念”的水平，对函数单调性的“定性”、“定量”描述有一些难度，学习本节内容，学生易产生共鸣，通过对比产生顿悟，渴望获得新知识是学号本节课的情感基础。
三．学习目标
1.了解函数的单调区间、单调性等概念，培养学生数学抽象的核心素养；
2.会划分函数的单调区间，会利用图象判断函数的单调性，提升直观想象的核心素养；
3.会用定义证明函数的单调性，培养逻辑推理的核心素养。
四．教学重点
重点：1、函数单调性的定义；
2、函数单调性的判断和证明。
难点：根据定义证明函数单调性．
五．教学过程
（一）新知导入
1. 创设情境，生成问题
德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的记忆牢固程度进行了有关研究.他经过测试，得到了以下一些数据：
以上数据表明，记忆量y是时间间隔t的函数.艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”，如图.

【探究1】 (1)当时间间隔t逐渐增大，你能看出对应的函数值y有什么变化趋势？通过这个试验，你打算以后如何对待刚学过的知识？
(2)“艾宾浩斯遗忘曲线”从左至右是逐渐下降的，对此，我们如何用数学观点进行解释？
【提示】 (1)随着时间间隔t逐渐增大，函数值y逐渐变小，这个试验告诉我们，在以后的学习中，我们应及时复习刚学习过的知识.
(2)“艾宾浩斯遗忘曲线”是减函数曲线.
探索交流，解决问题
【探究2】 作出函数 y=x+2, y=−x+2, y=x2, y=1x 的图象，指出函数的变化趋势.
【提示】随着x的增大，函数y=x+2呈上升趋势；y=−x+2呈下降趋势；y=x2在−∞，0上呈下降趋势，在0，+∞上呈上升趋势；y=1x在−∞，0，0，+∞上呈下降趋势.
【思考1】这种变化趋势反映了函数的什么性质？
【提示】 这是函数的单调性，增函数与减函数。
【设计意图】通过探究，引导学生发现函数的变化趋势，并能用数学方法表示出函数的变化趋势，提高学生用数学抽象的思维方式思考并解决问题的能力。
（二）函数的单调性
1.增函数与减函数的定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：
如果∀x1，x2∈D，当x1(2)如果∀x1，x2∈D，当x1f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们称它是减函数．

注意：定义中的x1，x2有以下3个特征
(1)任意性，即“任意取x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；
(2)有大小，通常规定x1(3)属于同一个单调区间．
2.函数的单调区间
如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
注意：（1）单调区间D⊆定义域I.
（2）函数f(x)在定义域的某个区间D上单调，不一定在定义域上单调．如f(x)＝x2等.
（3）函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，它是函数的一个局部性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开．
（4）并非所有的函数都具有单调性，如f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1，x是偶数,0，x是奇数))，它的定义域是N，但不具有单调性．
（5）当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示.
【辩一辩】 1．若f(x)在区间[a，b]和(b，c]上都是增函数，则f(x)在区间[a，c]上是增函数．( )
2．函数f(x)为R上的减函数，则f(－3)>f(3)．( )
3．若函数y＝f(x)在定义域上有f(1)4．若函数y＝f(x)在区间D上是增函数，则函数y＝－f(x)在区间D上是减函数．( )
【答案】 × √ × √
【做一做】 如图是定义在[-5,5]上的函数图象，
根据图象得到函数的单调递增区间是： ；单调递减区间是： 。
【探究3】一次函数、二次函数及反比例函数具有怎样的单调性？
【提示】(1)一次函数y＝kx＋b的单调性由参数k决定：当k＞0时，该函数在R上是增函数；当k＜0时，该函数在R上为减函数．
(2)反比例函数y＝eq \f(k,x)(k≠0)的单调性如下表所示：
(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的单调性以对称轴方程x＝－eq \f(b,2a)为分界线．
【设计意图】
通过增函数与减函数的概念学习，使学生理解单调性研究函数的变化趋势，提高解决问题的能力。
（三）利用函数图象求函数的单调区间
例1.作出函数y＝－x2＋2|x|＋3的图象并指出它的单调区间．
[解析] 根据绝对值的意义，y ＝－x2＋2|x|＋3
＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x2＋2x＋3，x≥0,－x2－2x＋3，x<0))
＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x－12＋4，x≥0,－x＋12＋4，x<0)).
作出函数图象如图所示，
根据图象可知，
函数在区间(－∞，－1]，[0,1]上是增函数；函数在区间(－1,0)，(1，＋∞)上是减函数．
【变式】将本例函数改为f(x)＝|x2＋2x－3|，求f(x)的单调区间．
[解析] 令g(x)＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4.
先作出g(x)的图象，保留其在x轴及x轴上方部分，把它在x轴下方的图象翻到x轴上方就得到f(x)＝|x2＋2x－3|的图象，如图所示．
由图象易得：函数的递增区间是[－3，－1]，[1，＋∞)；
函数的递减区间是(－∞，－3]，[－1,1]．
【类题通法】 求函数单调区间可以根据函数的图象．
在某区间内，由左至右图象是上升的，该区间就是函数的单调增区间；
某区间内，由左到右图象是下降的，该区间就是函数的单调减区间．
函数单调区间的两种求法
①图象法．即先画出图象，根据图象求单调区间．
②定义法．即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解．
(2) 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现 两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；在单调区间D上函数要么是增函数，要么是减函数，不能二者兼有．
【巩固练习1】已知x∈R,函数f(x)=x|x-2|,试画出y=f(x)的图象,并结合图象写出函数的单调区间.
【解析】f(x)=x|x-2|=x(x−2),x≥2,x(2−x),x<2, 图象如图所示.
由图象可知,函数的单调增区间为(-∞,1],[2,+∞);单调减区间为[1,2].
【设计意图】通过例题学习，使学生掌握利用图象求单调区间的方法，强化直观想象的核心素养。
（四）利用定义判断或证明单调性
例2.根据定义证明fx＝x＋eq \f(1,x)在(0,1)上是单调递减．
[证明] ∀x1，x2∈(0,1)，且x1＜x2，有
fx1−fx2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1＋\f(1,x1)))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(1,x2)))＝(x1－x2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x1)－\f(1,x2)))
＝(x1－x2)＋eq \f(x2－x1,x1x2)＝eq \f(x1－x2,x1x2)(x1x2－1)．
由于0＜x1＜1,0＜x2＜1. ∴0＜x1x2＜1, ∴x1x2－1＜0.
又由x1＜x2， ∴x1－x2＜0，
∴eq \f(x1－x2,x1x2)(x1x2－1)＞0，
∴fx1>fx2，
∴函数fx＝x＋eq \f(1,x)在(0,1)上是减函数．
【类题通法】定义法判断函数单调性的四个步骤
【巩固练习2】根据定义，研究函数f(x)＝eq \f(ax,x－1)在x∈(－1,1)上的单调性．
[解析]
当a＝0时，f(x)＝0，在(－1,1)上不具有单调性，
当a≠0时，设x1，x2为(－1,1)上的任意两个数，且x1所以f(x1)－f(x2)＝eq \f(ax1,x1－1)－eq \f(ax2,x2－1)＝eq \f(ax1x2－1－ax2x1－1,x1－1x2－1)＝eq \f(ax2－x1,x1－1x2－1)
因为x1，x2∈(－1,1)且x10，x1－1<0，x2－1<0，
所以eq \f(x2－x1,x1－1x2－1)>0，
当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，所以f(x)在(－1,1)上单调递减，
当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)综上，当a＝0时，f(x)在(－1,1)上不具有单调性；
当a>0时，f(x)在(－1,1)上单调递减；
当a<0时，f(x)在(－1,1)上单调递增．
【设计意图】 让学生归纳证明单调性的一般步骤，使学生初步掌握运用概念进行简单论证的基本方法，强化证题的规范性，从而提高学生的推理论证能力。
通过解题，帮助学生初步构建解题模式。
（五）利用单调性求参数
例3.已知函数f(x)＝ax2－x＋1在(－∞，2)上单调递减，求a的取值范围．
[解析] 当a＝0时，f(x)＝－x＋1在(－∞，2)上单调递减，符合题意；
当a≠0时，要使f(x)在(－∞，2)上单调递减，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＞0，,－\f(－1,2a)≥2，))解得0＜a≤eq \f(1,4).
综上，a的取值范围为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,4))).
【延伸】 本例条件改为“函数f(x)＝ax2－x＋1的单调递减区间是(－∞，2)”，又该如何求解？
【解析】因为函数f(x)＝ax2－x＋1的单调递减区间是(－∞，2)，
所以此函数是二次函数，且−−12a=2,解得a=14.
【类题通法】根据函数的单调性求参数取值范围的方法
(1)利用单调性定义：设单调区间内x1＜x2，由f(x1)－f(x2)＜0(或f(x1)－f(x2)＞0)恒成立求参数范围．
(2)利用具体函数本身所具有的特征：如二次函数单调区间被对称轴一分为二，根据对称轴相对于所给单调区间的位置求参数．
提醒：若一函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．
【巩固练习3】若函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2b－1x＋b－1，x＞0，,－x2＋2－bx，x≤0))在R上为增函数，
则实数b的取值范围是________．
【解析】 要使此分段函数为R上的增函数，必须使函数g(x)＝(2b－1)x＋b－1在(0，＋∞)上是增函数；
函数h(x)＝－x2＋(2－b)x在(－∞，0]上是增函数，且满足h(0)≤g(0)，根据一次函数和二次函数的单调性可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2b－1＞0，,－\f(2－b,2×－1)≥0，,0≤b－1，))
∴1≤b≤2，即实数b的取值范围是[1,2]．
【设计意图】通过单调性的应用，培养学生逻辑推理的核心素养。
（六）操作演练 素养提升
1. 函数f(x)＝x－eq \f(1,x)在(0，＋∞)上( )
A．递增 B．递减
C．先增再减 D．先减再增
2.设f(x)＝(2a－1)x＋b在R上是减函数，则有( )
A．a≥eq \f(1,2) B．a≤eq \f(1,2)
C．a>－eq \f(1,2) D．a3．函数f(x)＝2x2－mx＋3，当x∈[－2，＋∞)时，f(x)为增函数，当x∈(－∞，－2]时，函数f(x)为减函数，则m等于( )
A．－4 B．－8
C．8 D．无法确定
4. 函数f(x)＝|x－1|的单调递增区间是________，单调递减区间是________．
答案： 1.A 2.D 3.B 4.[1，＋∞) (－∞，1]
【设计意图】 通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。
（八）课堂小结，反思感悟
1.知识总结：
2.学生反思：
（1）通过这节课，你学到了什么知识？


（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？


【设计意图】
通过总结，让学生进一步巩固函数的单调性，树立用函数的单调性解决相关问题的意识。
六．布置作业
完成教材：第79页 练习 第2，3，4题
第85 页 习题3.2 第1,2,3，8题
第一节
第二节
第三节
第四节
课时内容
函数的概念及其表示
函数的基本性质
幂函数
函数的应用（一）
所在位置
教材第60页
教材第76页
教材第89页
教材第93页
新教材
内容
分析
以初中已学的函数知识和二次函数为基础，通过四个实例的归纳、概括，抽象出函数的“集合--对应说”，并用抽象符号表示函数；通过典型例题训练学生选择适当的方法表示函数，并通过例题引入分段函数并进行简单应用.
教材用代数运算和函数图象研究函数的单调性、奇偶性、最大（小）值，体现了研究数学性质的一般思路；在研究方法上，加强了通过代数运算和图象直观解释函数性质的引导和明示，为提升学生的抽象思维水平奠定基础.
在初中已学习的正比例、反比例、二次函数等基础上，通过实例引导学生归纳共性、抽象出概念；借助幂函数这一类函数的研究，使学生理解研究函数的内容、基本思路和方法，引导学生从不同的角度理解函数的概念.
利用函数的概念及其蕴含的数学思想方法解决简单的实际问题，包括研究已知解析式或图象的函数的性质，以及简单的建模问题，使学生螺旋上升地认识已有函数，同时巩固函数概念.
核心素养培养
通过观察实例，理解函数的概念，体现了数学抽象的核心素养；通过作出函数的图象以及图象的应用，提升直观想象的核心素养.
通过实例，引导学生归纳概括出用严格的数学语言精确刻画单调性的方法，为提升数学运算、直观想象奠定了基础.
通过幂函数概念的学习，强化了数学抽象；通过幂函数图象与性质的学习，提升直观想象与数学运算的核心素养.
通过实例，了解函数在实际生活中的应用，促进学生数学抽象的核心素养；根据实际问题构造函数模型解决问题，体现了数学建模的核心素养.
教学主线
函数的图象
时间间隔t
刚记忆完毕
20分钟后
60分钟后
8～9小时后
1天后
2天后
6天后
一个月后
记忆量y (百分比)
100
58.2
44.2
35.8
33.7
27.8
25.4
21.1
k的符号
单调区间
k＞0
在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减
k＜0
在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增
a＜0
在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(b,2a)))上单调递增，在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b,2a)，＋∞))上单调递减
a＞0
在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(b,2a)))上单调递减，在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b,2a)，＋∞))上单调递增