高中人教A版 (2019)第一章 集合与常用逻辑用语1.4 充分条件与必要条件教案

这是一份高中人教A版 (2019)第一章 集合与常用逻辑用语1.4 充分条件与必要条件教案，共1页。教案主要包含了设计意图，思维引导，类题通法，巩固练习1，巩固练习2，巩固练习3等内容，欢迎下载使用。

本小节内容选自《普通高中数学必修第一册》人教A版（2019）第一章《集合与常用逻辑用语》的第四节《充分条件与必要条件》，以下是“常用逻辑用语”单元的课时安排：


二，学情分析
充要条件是中学数学中最重要的数学概念之一，它主要讨论了命题的条件与结论之间的逻辑关系，是学生解决数学问题时进行等价转化的逻辑基础，是今后学习数学推理的基础。学生在上一节已经学习了充分条件、必要条件的意义，学会了根据命题真假的判断方法，尝试由条件去推结论，从命题的条件与结论的互推关系，分析充要条件的含义，让学生逐渐习惯用数学思维研究数学结论。
三．学习目标
1．通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系,培养数学抽象的核心素养。
2．会对某些命题的充要条件进行证明，培养逻辑推理的核心素养。
四．教学重点
重点：理解充要条件的含义；
难点：会证明充要条件的关系
五．教学过程
（一）新知导入
1. 创设情境，生成问题
古文中的逻辑—— 我国战国时期墨子所著《墨经》对充分条件、必要条件的描述：
充分条件：“有之则必然，无之则未必不然”
必要条件：“无之则必不然，有之则未必然 ”
物理中的逻辑——
【思考】 在①、②两个电路中， A、C的开闭与灯泡B亮起来，会形成什么逻辑条件呢？
【思考】 你能举生活中存在“充分条件或必要条件”的逻辑语句或事例吗？
探索交流，解决问题
【问题1】 已知p:整数a是6的倍数,q:整数a是2和3的倍数.
请判断:p是q的充分条件吗?p是q的必要条件吗?
【提示】 p⇒q,故p是q的充分条件,又q⇒p,故p是q的必要条件.
【思考1】通过判断,你发现了什么?这种关系是否对任意一个“若p,则q”的命题只要具备上述命题的条件都成立?你能用数学语言概括出来吗?
【提示】 可以发现p既是q的充分条件,又是q的必要条件,
且这种关系对“若p,则q”的命题只要具备p⇒q,q⇒p都成立,即p⇔q.
【设计意图】 通过问题探究，增强学生学习数学的兴趣和激发对民族文化的热爱的同时，
进一步加深对新知的全面认识.
（二）充要条件
如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⟺q．
此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件(sufficient and necessary cnditin)．显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．
概括地说，如果p⟺q，那么p与q互为充要条件．
【思考2】
（1）如果p是q的充要条件，那么p与q是两个相互等价的命题，这种说法对吗？
（2）“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？
p是q的条件判断还有什么情况？

【提示】 （1）正确。
（2）p是q的充要条件说明p是条件，q是结论；p的充要条件是q说明q是条件，p是结论。
（3）若p⇒q，但qeq \(⇒,/)p，则称p是q的充分不必要条件．
若q⇒p，但peq \(⇒,/)q，则称p是q的必要不充分条件．
若peq \(⇒,/)q，且qeq \(⇒,/)p，则称p是q的既不充分也不必要条件。

【辩一辩】 判断正误
(1)q是p的必要条件时，p是q的充分条件．( )
(2)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题．( )
(3)q不是p的必要条件时，“peq \(⇒,/)q”成立．( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)√
【做一做】（1）已知a，b是实数，则“a>0且b>0”是“a＋b>0，且ab>0”的________条件．
（2）“x<2”是“eq \f(1,x－2)<0”的( )
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分又不必要条件
[答案] （1）充要 （2）A

【设计意图】
通过问题探究，使学生深入理解充要条件的概念，培养数学抽象的核心素养。

充要条件的判断
指出下列各组命题中，p是q的什么条件(充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分又不必要条件)．
(1)p：ab＝0，q：a2＋b2＝0；
(2)p：xy≥0，q：|x|＋|y|＝|x＋y|；
(3)p：m＞0，q：方程x2－x－m＝0有实根；
(4)p：|x－1|＞2，q：x＜－1.
【思维引导】 分两个步骤进行判断:①判断充分性p⇒q; ②判断必要性q⇒p.
[解析] 对(1)，ab＝0指其中至少有一个为零，而a2＋b2＝0指两个都为零，因此q⇒p，但p⇒q，p是q的必要不充分条件；
对(2)，|x＋y|＝|x|＋|y|⇔(|x＋y|)2＝(|x|＋|y|)2⇔x2＋2xy＋y2＝x2＋2|xy|＋y2⇔xy＝|xy|⇔ xy≥0，所以p是q的充要条件；
对(3)，方程x2－x－m＝0有实根的充要条件是Δ＝1＋4m＞0，m＞－eq \f(1,4)，所以p⇒q但q⇒p，p是q的充分不必要条件；
对(4)，|x－1|＞2⇒x＞3或x＜－1，所以p⇒q但q⇒p，所以p是q的必要不充分条件．
【类题通法】 充 分、必要条件的判断方法：
1.定义法： 若p⇒q，但qeq \(⇒,/)p，则称p是q的充分不必要条件．
若q⇒p，但peq \(⇒,/)q，则称p是q的必要不充分条件．
若p⇒q，且q⇒p，则称p是q的充要条件。
若peq \(⇒,/)q，且qeq \(⇒,/)p，则称p是q的既不充分也不必要条件。
2.集合法

【巩固练习1】指出下列各组命题中，p是q的什么条件(充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分又不必要条件)．
(1)p：数a能被6整除，q：数a能被3整除；
(2)p：x>1，q：x2>1；
(3)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形；
(4)p：|ab|＝ab，q：ab>0.
[解析] (1)∵p⇒q，q不能推出p，∴p是q的充分不必要条件．
(2)∵p⇒q，q不能推出p，∴p是q的充分不必要条件．
(3)∵p不能推出q，q⇒p，∴p是q的必要不充分条件．
(4)∵ab＝0时，|ab|＝ab，∴“|ab|＝ab”不能推出“ab>0”，即p不能推出q.
而当ab>0时，有|ab|＝ab，即q⇒p.∴p是q的必要不充分条件．
【设计意图】
通过例题及练习的学习，使学生理解条件与结论的推出关系，强化逻辑推理的核心素养。

（四）充要条件的探求与证明
例2.已知ab≠0，求证：a＋b＝1是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0的充要条件．

[思路导引] 从充分性、必要性两方面证明．
【证明】①充分性：因为a＋b＝1，所以b＝1-a,
所以a3+b3+ab−a2−b2=a3+1−a3+a1−a−a2−1−a2
=a3+1−3a+3a2−a3+a−a2−a2−1+2a−a2=0,即a3+b3+ab−a2−b2=0；
②必要性：因为a3+b3+ab−a2−b2=0，所以a+ba2−ab+b2−a2−ab+b2=0,
所以a2−ab+b2a+b−1=0，因为ab≠0，所以a，b均不为0，所以a2−ab+b2≠0，
所以a+b−1=0，即a+b=1.
综上可知，当ab≠0时，a＋b＝1是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0的充要条件．
【类题通法】充要条件的证明分充分性的证明和必要性的证明．
在证明时要注意两种叙述方式的区别：
①p是q的充要条件，则由p⇒q证的是充分性，由q⇒p证的是必要性；
②p的充要条件是q，则由p⇒q证的是必要性，由q⇒p证的是充分性．
【巩固练习2】已知x，y都是非零实数，且x>y，求证：eq \f(1,x)0.
【证明】法一：充分性：由xy>0及x>y，得eq \f(x,xy)>eq \f(y,xy)，即eq \f(1,x)必要性：由eq \f(1,x)y，所以y－x<0，所以xy>0.
所以eq \f(1,x)0.
法二：eq \f(1,x)y⇔y－x<0，故由eq \f(y－x,xy)<0⇔xy>0.
所以eq \f(1,x)0，即eq \f(1,x)0.

例3.求关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负实根的充要条件．
[思维引导] 至少有一个负根可能是一个负根也可能是两个负根，需要分类讨论．
[解析] ①当a＝0时，方程为一元一次方程，其根为x＝－eq \f(1,2)，符合要求．
②当a≠0时，方程为一元二次方程，此时ax2+2x+1=0有实根的充要条件是
判别式Δ≥0，
即4－4a≥0，从而a≤1.
设方程ax2+2x+1=0的两根分别为x1，x2，则x1＋x2＝－eq \f(2,a)，x1x2＝eq \f(1,a).
(Ⅰ)方程ax2+2x+1=0有一负根一正根的充要条件为a≤11a<0,
(Ⅱ)方程ax2+2x+1=0有两个负根的充要条件为a≤1−2a<01a>0⟹0综上所述，方程ax2+2x+1=0至少有一个负实根的充要条件是a≤1.

【类题通法】探求充要条件的方法
(1)探求A成立的充要条件时，先将A视为条件，并由A推导结论(设为B)，再证明B是A的充分条件，这样就能说明A成立的充要条件是B，即从充分性和必要性两方面说明．
(2)将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程，因为探求过程每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来说明．

【巩固练习3】
已知方程x2+2k−1x+k2=0，求使方程有两个大于1的实数根的充要条件．

【解析】方程x2+2k−1x+k2=0，有两个大于1的实数根x1,x2
⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Δ＝2k－12－4k2≥0，,x1－1x2－1>0，,x1－1＋x2－1>0))⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k≤\f(1,4)，,x1x2－x1＋x2＋1>0，,x1＋x2－2>0))
⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k≤\f(1,4)，,k2＋2k－1＋1>0，,－2k－1－2>0))⇔k<－2.
所以使方程有两个大于1的实根的充要条件是k<－2.


【设计意图】通过学习充分条件的探求与证明，使学生明确充分性、必要性的推导方向，培养学生的逻辑推理的核心素养，培养学生解决问题的能力。


（五）操作演练 素养提升
1．设x∈R，则“1A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
2．“x为无理数”是“x2为无理数”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
3．已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
4.已知a，b为实数，则“a＋b>4”是“a，b中至少有一个大于2”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

[答案] 1.B 2.B 3.A 4.A

【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。






（六）课堂小结，反思感悟
1.知识总结：
2.学生反思：
（1）通过这节课，你学到了什么知识？





（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？





【设计意图】
通过总结，让学生进一步巩固充要条件的判断，提高逻辑推理能力

六．布置作业
完成教材：第22页 练习 第1，2，3题
第22页 习题1.4 第1,2,3,4,5题

第四节
第五节
课时内容
充分条件与必要条件
全称量词与存在量词
所在位置
教材第17页
教材第26页
新教材
内容
分析
通过列举学生熟悉的数学命题，加深学生对命题的条件与结论的认识，教材主要以“若p则q”形式的命题为载体，通过考察命题中的条件p与结论q之间的关系，学习充分条件、必要条件、充要条件这三个逻辑用语。
全称量词和存在量词是数学中经常使用的量词，教材通过丰富的数学实例，介绍了这两类量词的意义，探究了全称量词命题和存在量词命题的否定，并鼓励学生使用新的数学符号，使学生习惯于运用数学符号语言表达一些数学内容。
核心素养培养
通过观察实例，理解充分条件、必要条件、充要条件的意义，会辨析充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分又不必要条件，体现了逻辑推理的核心素养。
通过数学实例，使学生理解全称量词、存在量词的意义，体现了数学抽象的核心素养；会判定命题的真假，会写出命题的否定，体现了逻辑推理的核心素养。
教学主线
命题的真假判断
记法
关系
AB
BA
A=B
图示
结论
是的充分不必要条件
是的必要不充分条件
，互为充要条件
是的既不充分也不必要条件