高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆第1课时学案设计

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆第1课时学案设计，共8页。学案主要包含了学习目标，自主学习，小试牛刀，经典例题，跟踪训练，当堂达标，参考答案等内容，欢迎下载使用。

【自主学习】
一．椭圆的简单几何性质
二．离心率
(1)定义：椭圆的焦距与长轴长的比eq \f(c,a)称为椭圆的 ．
(2)性质：离心率e的范围是(0,1)．当e越接近于1时，椭圆 ；当e越接近于0时，椭圆就越接近于圆．
思考：离心率相同的椭圆是同一椭圆吗？
【小试牛刀】
思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的长轴长等于a. ( )
(2)椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a－c. ( )
(3)椭圆的离心率e越小，椭圆越圆． ( )
(4)若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长分别为10,8，则椭圆的方程为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1. ( )
(5)设F为椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的一个焦点，M为其上任一点，则|MF|的最大值为a＋c(c为椭圆的半焦距)．( )
【经典例题】
题型一 椭圆的简单几何性质
点拨：由标准方程研究性质时的两点注意
(1)已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式的先化成标准形式，再确定焦点的位置，进而确定椭圆的类型．
(2)焦点位置不确定的要分类讨论，找准a与b，正确利用a2＝b2＋c2求出焦点坐标，再写出顶点坐标．同时要注意长轴长、短轴长、焦距不是a，b，c，而应是2a,2b,2c.
例1 求椭圆9x2＋16y2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标．



【跟踪训练】1 已知椭圆C1：eq \f(x2,100)＋eq \f(y2,64)＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上．
(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；
(2)写出椭圆C2的方程，并研究其性质．





题型二 由几何性质求椭圆的标准方程
点拨：利用椭圆的几何性质求标准方程的思路
(1)利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是：
①确定焦点位置；
②设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)；
③根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数，列方程(组)时常用的关系式有b2＝a2－c2，e＝eq \f(c,a)等．
(2)在椭圆的简单几何性质中，轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置，因此仅依据这些条件求所要确定的椭圆的标准方程可能有两个．
例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)椭圆过点(3,0)，离心率e＝eq \f(\r(6),3)；
(2)经过点M(1,2)，且与椭圆eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,6)＝1有相同的离心率．



【跟踪训练】 2求出满足下列条件的椭圆的标准方程．短轴的一个端点到一个焦点的距离为5，焦点到椭圆中心的距离为3。




题型三 求椭圆的离心率
点拨：求椭圆离心率及范围的两种方法
(1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝eq \f(c,a)求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝eq \f(c,a)求解．
(2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的齐次关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围．
例3 若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(3),2) C.eq \f(\r(3),4) D.eq \f(\r(6),4)
【跟踪训练】 3 设椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的两焦点为F1，F2，若在椭圆上存在一点P，使eq \(PF1,\s\up8(→))·eq \(PF2,\s\up8(→))＝0，求椭圆的离心率e的取值范围．



【当堂达标】
1.经过点P(3,0)，Q(0,2)的椭圆的标准方程为( )
A．eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1 B．eq \f(y2,9)＋eq \f(x2,4)＝1 C．eq \f(x2,9)－eq \f(y2,4)＝1 D．eq \f(y2,9)－eq \f(x2,4)＝1
2．(多选)已知中心在原点的椭圆C的半焦距长为1，离心率等于eq \f(1,2)，则C的方程是( )
A.eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,4)＝1 B.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,\r(3))＝1 C.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1 D.eq \f(x2,4)＋y2＝1
3.比较椭圆①x2＋9y2＝36与②eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,5)＝1的形状，则________更扁．(填序号)
4.设F1，F2是椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为直线x＝eq \f(3a,2)上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为________．
5.已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B，若椭圆C的中心到直线AB的距离为eq \f(\r(6),6)|F1F2|，求椭圆C的离心率．









【参考答案】
【自主学习】
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1 －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a 坐标轴 原点 2b 2a F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c) 2c
离心率 越扁
思考：不是，离心率是比值，比值相同不代表a，c值相同，它反映的是椭圆的扁圆程度．
【小试牛刀】
(1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)√
【经典例题】
例1 解：把已知方程化成标准方程为eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,9)＝1，所以a＝4，b＝3，c＝eq \r(16－9)＝eq \r(7)，
所以椭圆的长轴长和短轴长分别是2a＝8和2b＝6；离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(7),4)；
两个焦点坐标分别是(－eq \r(7)，0)，(eq \r(7)，0)；四个顶点坐标分别是(－4,0)，(4,0)，(0，－3)，(0,3)．
【跟踪训练】1 解：(1)由椭圆C1：eq \f(x2,100)＋eq \f(y2,64)＝1，可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标为(6,0)，(－6,0)，离心率e＝eq \f(3,5).
(2)椭圆C2：eq \f(y2,100)＋eq \f(x2,64)＝1.性质如下：
①范围：－8≤x≤8，－10≤y≤10；②对称性：关于x轴、y轴、原点对称；③顶点：长轴端点(0,10)，(0，－10)，短轴端点(－8,0)，(8,0)；④焦点：(0,6)，(0，－6)；⑤离心率：e＝eq \f(3,5).
例2 解：(1)若焦点在x轴上，则a＝3，
∵e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(6),3)，∴c＝eq \r(6)，∴b2＝a2－c2＝9－6＝3.∴椭圆的方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,3)＝1.
若焦点在y轴上，则b＝3，
∵e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1－\f(b2,a2))＝eq \r(1－\f(9,a2))＝eq \f(\r(6),3)，解得a2＝27.∴椭圆的方程为eq \f(y2,27)＋eq \f(x2,9)＝1.
∴所求椭圆的方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,3)＝1或eq \f(y2,27)＋eq \f(x2,9)＝1.
(2)法一：由题意知e2＝1－eq \f(b2,a2)＝eq \f(1,2)，所以eq \f(b2,a2)＝eq \f(1,2)，即a2＝2b2，设所求椭圆的方程为eq \f(x2,2b2)＋eq \f(y2,b2)＝1或eq \f(y2,2b2)＋eq \f(x2,b2)＝1.将点M(1,2)代入椭圆方程得eq \f(1,2b2)＋eq \f(4,b2)＝1或eq \f(4,2b2)＋eq \f(1,b2)＝1，解得b2＝eq \f(9,2)或b2＝3.
故所求椭圆的方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,\f(9,2))＝1或eq \f(y2,6)＋eq \f(x2,3)＝1.
法二：设所求椭圆方程为eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,6)＝k1(k1>0)或eq \f(y2,12)＋eq \f(x2,6)＝k2(k2>0)，将点M的坐标代入可得eq \f(1,12)＋eq \f(4,6)＝k1或eq \f(4,12)＋eq \f(1,6)＝k2，解得k1＝eq \f(3,4)，k2＝eq \f(1,2)，故eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,6)＝eq \f(3,4)或eq \f(y2,12)＋eq \f(x2,6)＝eq \f(1,2)，即所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,\f(9,2))＝1或eq \f(y2,6)＋eq \f(x2,3)＝1.
【跟踪训练】2 解： 法一：若椭圆的焦点在x轴上，则设椭圆的标准方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)．由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a＝3·2b，,\f(9,a2)＋\f(0,b2)＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝3，,b＝1.))所以椭圆的标准方程为eq \f(x2,9)＋y2＝1.
若椭圆的焦点在y轴上，则设椭圆的标准方程为eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)．
由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a＝3·2b，,\f(0,a2)＋\f(9,b2)＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝9，,b＝3.))
所以椭圆的标准方程为eq \f(y2,81)＋eq \f(x2,9)＝1.
综上所述，椭圆的标准方程为eq \f(x2,9)＋y2＝1或eq \f(y2,81)＋eq \f(x2,9)＝1.
法二：设椭圆方程为eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,n)＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，
则由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(9,m)＝1，,2\r(m)＝3·2\r(n)))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(9,m)＝1，,2\r(n)＝3·2\r(m)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝9,n＝1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝9，,n＝81.))
所以椭圆的标准方程为eq \f(x2,9)＋y2＝1或eq \f(y2,81)＋eq \f(x2,9)＝1.
例3 A 解析：不妨设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，B为椭圆的上顶点．
依题意可知，△BF1F2是正三角形．
∵在Rt△OBF2中，|OF2|＝c，|BF2|＝a，∠OF2B＝60°，∴cs 60°＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)，即椭圆的离心率e＝eq \f(1,2)，故选A.
【跟踪训练】3 解：由题意知PF1⊥PF2，所以点P在以F1F2为直径的圆上，即在圆x2＋y2＝c2上．
又点P在椭圆上，所以圆x2＋y2＝c2与椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1有公共点．
连接OP(图略)，则易知0＜b≤c＜a，所以b2≤c2＜a2，即a2－c2≤c2＜a2.
所以eq \f(a2,2)≤c2＜a2，所以eq \f(\r(2),2)≤e＜1.所以e∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1)).
【当堂达标】
1.A解析：由题易知点P(3,0)，Q(0,2)分别是椭圆长轴和短轴的一个端点，故椭圆的焦点在x轴上，所以a＝3，b＝2，故椭圆的标准方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1.
2.AC 解析：依题意知，c＝1，e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)，即a＝2，b2＝a2－c2＝3，因此椭圆的焦点在X轴和Y轴两种可能，所以椭圆的方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1或 eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,4)＝1。
3. ① 解析：把x2＋9y2＝36化为标准形式eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,4)＝1，离心率e1＝eq \f(\r(36－4),6)＝eq \f(2\r(2),3)，而eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,5)＝1的离心率e2＝eq \f(\r(9－5),3)＝eq \f(2,3)，这里e2＜e1，故①更扁．
4.eq \f(3,4) 解析：由题意，知∠F2F1P＝∠F2PF1＝30°，
∴∠PF2x＝60°.∴|PF2|＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)a－c))＝3a－2c.
∵|F1F2|＝2c，|F1F2|＝|PF2|，∴3a－2c＝2c，∴e＝eq \f(c,a)＝eq \f(3,4).
5.解：由题意知A(a,0)，B(0，b)，从而直线AB的方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1，
即bx＋ay－ab＝0，又|F1F2|＝2c，∴eq \f(ab,\r(a2＋b2))＝eq \f(\r(6),3)c.∵b2＝a2－c2，∴3a4－7a2c2＋2c4＝0，
解得a2＝2c2或3a2＝c2(舍去)，∴e＝eq \f(\r(2),2).课程标准
学科素养
1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形．(重点)
2.根据几何条件求出曲线方程，利用曲线的方程研究它的性质，并能画出相应的曲线．(重点、难点)
1、直观想象
2、数学运算
3、逻辑推理
焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
焦点的
位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准
方程
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)
(a>b>0)
范围


对称性
对称轴为 ，对称中心为
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)
B1(－b,0)，B2(b,0)
轴长
短轴长|B1B2|＝ ，长轴长|A1A2|＝
焦点


焦距
|F1F2|＝