高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用第1课时学案设计

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用第1课时学案设计，共9页。学案主要包含了学习目标，自主学习，小试牛刀，经典例题，跟踪训练，当堂达标，课堂小结，参考答案等内容，欢迎下载使用。
1.4.1  用空间向量研究直线、平面的位置关系第1课时 空间向量与平行关系【学习目标】课程标准学科素养1.了解空间中点、直线和平面的向量表示．2.掌握直线的方向向量，平面的法向量的概念及求法．(重点)3.熟练掌握用方向向量，法向量证明线线、线面、面面间的平行关系．(重点、难点)1、直观想象2、数学运算3、逻辑推理【自主学习】一．空间中点、直线和平面的向量表示点P的位置向量在空间中，取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P可以用向量    表示，我们把向量     称为点P的位置向量.空间直线的向量表示式a是直线l的方向向量，在直线l上取＝a，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝        ，也可以表示为＝         .这两个式子称为空间直线的向量表示式.空间平面ABC的向量表示式设两条直线相交于点O，它们的方向向量分别为a和b，P为平面内任意一点，则存在唯一的有序实数对(x，y)，使得＝        .那么取定空间任意一点O，可以得到，空间一点P在平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使＝              ，这就是空间平面ABC的向量表示式. 二．直线的方向向量与平面的法向量1.直线的方向向量的定义直线的方向向量是指和这条直线        的非零向量，一条直线的方向向量有    个．2.平面的法向量的定义直线l⊥α，取直线l的         a，则向量a叫做平面α的法向量．三．空间中平行关系的向量表示线线平行设两条不重合的直线l1，l2的方向向量分别为u1＝(a1，b1，c1)，u2＝(a2，b2，c2)，则l1∥l2⇔       ⇔                     线面平行设l的方向向量为u＝(a1，b1，c1)，α的法向量为n＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔         ⇔                  面面平行设α，β的法向量分别为n1＝(a1，b1，c1)，n2＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔         ⇔   【小试牛刀】思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直线l的方向向量a一定是单位向量．(　　)(2)直线l的一个方向向量为a＝(－1,2,1)，平面α的一个法向量为n＝(－1，－1,1)，l⊄α，则l∥α.(　　)(3)平面α的法向量是唯一的，即一个平面不可能存在两个不同的法向量．(    )(4)若点A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的向量参数方程可以为＝t.(　　)(5)两个平面的法向量平行，则这两个平面平行；两个平面的法向量垂直，则这两个平面垂直．(    )【经典例题】题型一　求平面的法向量点拨：求平面法向量的步骤1.设法向量n＝(x，y，z)；2.在已知平面内找两个不共线向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)；3.建立方程组4.解方程组：用一个未知量表示其他两个未知量，然后对用来表示两未知量的未知量赋以特殊值，从而得到平面的一个法向量．例1 如图所示，在四棱锥S－ABCD中，底面是直角梯形，AD∥BC，∠ABC＝90°，SA⊥底面ABCD，且SA＝AB＝BC＝1，AD＝，建立适当的空间直角坐标系，求平面SCD与平面SBA的一个法向量．   【跟踪训练】1 已知A(1,0,1)，B(0,1,1)，C(1,1,0)，求平面ABC的一个法向量．    题型二  证明线线平行点拨：证明两直线平行的方法法一：平行直线的传递性法二：基向量法，分别取两条直线的方向向量m，n，证明m∥n，即m＝λn.法三：坐标法，建立空间直角坐标系，把直线的方向向量用坐标表示，如m1＝(x1，y1，z1)，m2＝(x2，y2，z2)，即证明m1＝λm2，即x1＝λx2且y1＝λy2且z1＝λz2.例2 在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝2，P，Q，R，S分别是AA1，D1C1，AB，CC1的中点．求证：PQ∥RS.   【跟踪训练】2 已知a＝(λ＋1,0,2)，b＝(6,2μ－1,2λ)，若a∥b，则λ与μ的值可以是(　　)A．2，     B．，     C．－3,2      D．2,2 题型三   证明线面、面面平行点拨：1.向量法证明线面平行的思路(1)设直线l的方向向量是a，平面α的法向量是u，则要证明l∥α，只需证明a⊥u,即a·u＝0.(2)根据线面平行的判定定理，要证明一条直线和一个平面平行，在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可．2.证明面面平行的方法设平面α的法向量为μ，平面β的法向量为v，则α∥β⇔μ∥v.例3　已知u是平面α的一个法向量，a是直线l的一个方向向量，若u＝(3,1,2)，a＝(－2,2,2)，则l与α的位置关系是________． 【跟踪训练】3 已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，求证：(1)FC1∥平面ADE；(2)平面ADE∥平面B1C1F.   【当堂达标】1.已知a＝(2,4,5)，b＝(3，x，y)分别是直线l1、l2的方向向量．若l1∥l2，则(　　)A．x＝6，y＝15     B．x＝3，y＝    C．x＝3，y＝15    D．x＝6，y＝2.设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为b，若a·b＝0，则(　　)A．l∥α        B．l⊂α     C．l⊥α        D．l⊂α或l∥α3.（多选）在直三棱柱ABC－A1B1C1中，以下向量可以作为平面ABC法向量的是(　　)．A.      B.      C.      D. 4.已知直线l的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为，且l∥α，则m＝________.5.已知平面α经过三点A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)，求平面α的一个法向量．  6.在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是正方形，侧棱PD垂直于底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点．证明：PA∥平面EDB.   【课堂小结】1.应用向量法证明线面平行问题的方法(1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．(2)证明直线的方向向量与平面内的某一直线的方向向量共线．(3)证明直线的方向向量可用平面内的任意两个不共线的向量表示．即用平面向量基本定理证明线面平行．2.证明面面平行的方法设平面α的法向量为n1＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量为n2＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔n1∥n2⇔(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)(k∈R)．3.直线的方向向量和平面的法向量都不唯一，各有无数个，且直线的方向向量都是共线向量，平面的法向量也都是共线向量．  【参考答案】【自主学习】一．   ＋ta   ＋t  xa＋yb   ＋x＋y二．平行或共线  无数   方向向量  三．u1∥u2    (a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2)  u·n＝0   a1a2＋b1b2＋c1c2＝0n1∥n2   (a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2)【小试牛刀】(1)×　(2)√　(3) ×　(4)√  (5)√【经典例题】例1 解　以A为坐标原点，AD，AB，AS所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，D，C(1,1,0)，S(0,0,1)，则＝，＝.向量＝是平面SAB的一个法向量．设n＝(x，y，z)为平面SDC的一个法向量，则即取x＝2，得y＝－1，z＝1，故平面SDC的一个法向量为(2，－1,1)．【跟踪训练】1解　设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，由题意知＝(－1,1,0)，＝(1,0，－1)．∵n⊥，n⊥，∴解得令x＝1，则y＝z＝1.∴平面ABC的一个法向量为n＝(1,1,1)．例2 证明：法一：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D­xyz.则P(3,0,1)，Q(0,2,2)，R(3,2,0)，S(0,4,1)，＝(－3,2,1)，＝(－3,2,1)，∴＝，∴∥，即PQ∥RS.法二：＝＋＝－＋，＝＋＝＋－，∴＝，∴∥，即RS∥PQ.【跟踪训练】2 A解析：若a∥b，则2μ－1＝0且＝，解得μ＝且λ＝2或λ＝－3，故选A.例3  l⊂α或l∥α 解析：　因为u·a＝(3,1,2)·(－2,2,2)＝3×(－2)＋1×2＋2×2＝0.所以u⊥a，所以l⊂α或l∥α.【跟踪训练】3 证明　(1)以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系Dxyz，则有D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,2,1)，F(0,0,1)，B1(2,2,2)，所以＝(0,2,1)，＝(2,0,0)，＝(0,2,1)．设n1＝(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量，则n1⊥，n1⊥，即得令z1＝2，则y1＝－1，所以n1＝(0，－1,2)．因为·n1＝－2＋2＝0，所以⊥n1.又因为FC1⊄平面ADE，所以FC1∥平面ADE.(2)因为＝(2,0,0)，设n2＝(x2，y2，z2)是平面B1C1F的一个法向量．由n2⊥，n2⊥，得得令z2＝2，得y2＝－1，所以n2＝(0，－1,2)，因为n1＝n2，所以平面ADE∥平面B1C1F. 【当堂达标】1.D解析：由l1∥l2得，＝＝，解得x＝6，y＝.2.D 解析：∵a·b＝0，∴l⊂α或l∥α.3.BC 解析：∵AA1⊥平面ABC，B1B⊥平面ABC，∴与可以作为平面ABC的法向量．4.－8解析：∵l∥α，∴l的方向向量与α的法向量垂直．∴(2，m,1)×＝2＋m＋2＝0.解得m＝－8.5.解：因为A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)，所以＝(1，－2，－4)，＝(2，－4，－3)．设平面α的法向量为n＝(x，y，z)，则有即得z＝0，x＝2y，令y＝1，则x＝2，所以平面α的一个法向量为n＝(2,1,0)．6.证明　如图所示，建立空间直角坐标系，D是坐标原点，设PD＝DC＝a.方法一连接AC，交BD于点G，连接EG，依题意得D(0,0,0)，A(a,0,0)，P(0,0，a)，E(0，，)．因为四边形ABCD是正方形，所以G是此正方形的中心，故点G的坐标为(，，0)，所以＝(，0，－)．又＝(a,0，－a)，所以＝2，这表明PA∥EG.而EG⊂平面EDB，且PA⊄平面EDB，所以PA∥平面EDB.方法二　设平面BDE的法向量为n＝(x，y，z)，＝(0，，)，＝(a，，－)，则有即即令y＝－1，则所以n＝(1，－1,1)，又＝(a,0，－a)，所以n·＝(1，－1,1)·(a,0，－a)＝a－a＝0.所以n⊥.所以PA∥平面EDB.