人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用导学案

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用导学案，共11页。学案主要包含了学习目标，自主学习，小试牛刀，经典例题，跟踪训练，当堂达标，参考答案等内容，欢迎下载使用。
1.4.2  用空间向量研究距离、夹角问题【学习目标】课程标准学科素养1.理解点到平面、线面、面面距离的概念.（难点）2.会用向量法求点面、线面、面面距离.（重点）3.理解线线、线面、面面夹角的概念.（难点）4.会用向量法求线线、线面、面面夹角.（重点）1、直观想象2、数学运算3、空间想象【自主学习】一．空间距离的向量求法分类向量求法两点距设A、B为空间中的任意两点，则d＝    点线距设直线l的单位方向向量为u，A∈l，P∉l，设＝a，则点P到直线l的距离d＝             点面距已知平面α的法向量为n，A∈α，P∉α，则点P到平面α的距离为d＝    二．空间角的向量求法角的分类向量求法范围两异面直线l1与l2所成的角为θ设l1与l2的方向向量分别为u，v，则cosθ＝              ＝      直线l与平面α所成的角为θ设l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝            ＝      平面α与平面β的夹角为θ设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则cos θ＝              ＝        【小试牛刀】思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)（1）两条异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等．(　 　)（2）直线与平面所成的角等于直线与该平面法向量夹角的余角．(　 　)（3）二面角的大小就是该二面角两个面的法向量的夹角．(　 　)（4）若二面角两个面的法向量的夹角为120°，则该二面角的大小等于60°或120°.(　 　)  【经典例题】题型一 利用空间向量求距离例1 （点面距离）设A（2,3,1），B（4,1,2），C（6,3,７），D（－５,－4,8），求D到平面ABC的距离.   例2（线面距离）如图，已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点．则点D到平面PEF的距离为________；直线AC到平面PEF的距离为________．  【跟踪训练】1 （面面距离）已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，求平面AB1C与平面A1C1D间的距离．   题型二  求异面直线所成角例3 （线线角）如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，已知M，N分别是BD和AD的中点，则B1M与D1N所成角的余弦值为(　　)A.       B.      C.     D.   【跟踪训练】2 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E是棱AB上的动点．若异面直线AD1与EC所成角为60°，试确定此时动点E的位置．   题型三  求直线与平面所成角例4（线面角）如图，已知三棱柱ABC­A1B1C1，平面A1ACC1⊥平面ABC，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，A1A＝A1C＝AC，E，F分别是AC，A1B1的中点．(1)证明：EF⊥BC；(2)求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值．【跟踪训练】3 如图所示，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AB＝，BC＝1，AD＝AA1＝3.(1)证明：AC⊥B1D；(2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值．     题型四  求平面与平面所成角例5 （面面角）如图所示，在几何体S－ABCD中，AD⊥平面SCD，BC⊥平面SCD，AD＝DC＝2，BC＝1，又SD＝2，∠SDC＝120°，求平面SAD与平面SAB所成的锐二面角的余弦值．  【当堂达标】1.已知向量m，n分别是直线l的方向向量和平面α的法向量，若cos〈m，n〉＝－，则l与α所成的角为(　　)A．30°    B．60°    C．120°    D．150°2.(多选)已知二面角α－l－β的两个半平面α与β的法向量分别为a，b，若〈a，b〉＝，则二面角α－l－β的大小为(　　)A.       B.      C.       D. 3.正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为(　　)A.      B.     C.        D.4.已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角的大小为(　　)A．45°   B．135°   C．45°或135°   D．90°5.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知DA＝DC＝4，DD1＝3，则异面直线A1B与B1C所成角的余弦值为________．6.如图，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝AA1＝2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点．(1)求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；(2)求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值．        【参考答案】 【自主学习】|AB|     |cos<u，v>|      |cos<u，n>|      |cos<n1，n2>|   【小试牛刀】× × × √【经典例题】例1 解：∵A（2,3,1），B（4,1,2），C（6,3,７），D（－５,－4,8），∴;设平面ABC的法向量=（x，y，z），则·=0，·=0，∴即令z=－2，则=（3，2，－2）由点到平面的距离公式：==.∴点D到平面ABC的距离为.例2 解：建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，P(0，0，1)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，E，F，＝，＝，＝(－1，0，1)，＝(0，0，1).设平面PEF的法向量为n＝(x，y，z)，则即解得x＝y，令x＝y＝2，得n＝(2，2，3)，因此，点D到平面PEF的距离为＝＝.因为E，F分别为AB，BC的中点，所以EF∥AC，又EF⊂平面PEF，所以AC∥平面PEF，所以直线AC到平面PEF的距离为＝＝.【跟踪训练】 1 解析　建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B1(1,1,1)，C1(0,1,1)，D1(0,0,1)．设平面A1C1D的一个法向量为⇒⇒⇒故n＝(－1，－1,1)，所以平面AB1C与平面A1C1D间例3  A 解析：建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则B1(2,2,2)，M(1,1,0)，D1(0,0,2)，N(1,0,0)，∴＝(－1，－1，－2)，＝(1,0，－2)，∴cos〈，〉＝＝.【跟踪训练】2 解　以DA所在直线为x轴，以DC所在直线为y轴，以DD1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．设E(1，t,0)(0≤t≤2)，则A(1,0,0)，D(0,0,0)，D1(0,0,1)，C(0,2,0)，＝(1,0，－1)，＝(1，t－2,0)，根据数量积的定义及已知得：1＋0×(t－2)＋0＝×·cos 60°，所以t＝1，所以点E的位置是AB的中点．例4 解：　(1)连接A1E，因为A1A＝A1C，E是AC的中点，所以A1E⊥AC.又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E⊂平面A1ACC1，平面A1ACC1∩平面ABC＝AC，所以，A1E⊥平面ABC.如图，以点E为原点，分别以射线EC，EA1为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系E­xyz.不妨设AC＝4，则A1(0,0,2)，B(，1,0)，B1(，3，2)，F，C(0,2,0)．因此，＝，＝(－，1,0)．由·＝0得EF⊥BC.(2)设直线EF与平面A1BC所成角为θ，由(1)可得＝(－，1,0)，＝(0,2，－2)，设平面A1BC的法向量为n＝(x，y，z)，由，得，取n＝(1，，1)，故sin θ＝|cos〈，n〉|＝＝.因此直线EF与平面A1BC所成角的余弦值为.【跟踪训练】3 (1)证明　以A为原点，以，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，C(，1,0)，B1(，0,3)，D(0,3,0)，C1(，1,3)，D1(0,3,3)．易知＝(，1,0)，＝(－，3，－3)，∴·＝0，∴AC⊥B1D.(2)解　设平面ACD1的法向量为m＝(x，y，z)，＝(，1,0)，＝(0,3,3)，则即令x＝1，则y＝－，z＝，∴平面ACD1的一个法向量为m＝(1，－，)．设直线B1C1与平面ACD1所成的角为θ，∵＝(0,1,0)，∴sin θ＝＝，∴直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为.例5 解　如图，过点D作DC的垂线交SC于E，以D为原点，以DC，DE，DA所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．∵∠SDC＝120°，∴∠SDE＝30°，又SD＝2，∴点S到y轴的距离为1，到x轴的距离为，则有D(0,0,0)，S(－1，，0)，A(0,0,2)，C(2,0,0)，B(2,0,1)，设平面SAD的法向量为m＝(x，y，z)，∵＝(0,0，－2)，＝(－1，，－2)，∴取x＝，得平面SAD的一个法向量为m＝(，1,0)．又＝(2,0，－1)，设平面SAB的法向量为n＝(a，b，c)，则即令a＝，则n＝(，5,2)，∴cos〈m，n〉＝＝＝，故平面SAD与平面SAB所成的锐二面角的余弦值是.【当堂达标】1. A 解析：设l与α所成的角为θ且θ∈[0,90°]，则sin θ＝|cos〈m，n〉|＝.∴θ＝30°.2.AB 解析：由于二面角的范围是[0，π]，而二面角的两个半平面α与β的法向量都有两个方向，因此二面角α－l－β的大小为或，故选AB.3.D 解析：设正方体的棱长为1，建系如图．则D(0,0,0)，B(1,1,0)，B1(1,1,1)．平面ACD1的一个法向量为＝(1,1,1)．又＝(0,0,1)，则cos〈，〉＝＝＝.故BB1与平面ACD1所成角的余弦值为＝.C解析：∵cos〈m，n〉＝＝，∴二面角的大小为45°或135°.5.  解析：如图，建立空间直角坐标系．由已知得A1(4,0,0)，B(4,4,3)，B1(4，4,0)，C(0,4,3)．∴＝(0,4,3)，＝(－4,0,3)，∴cos〈，〉＝.6.解：如图，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，设AC，A1C1的中点分别为O，O1，则OB⊥OC，OO1⊥OC，OO1⊥OB，以{，，}为基底，建立空间直角坐标系O­xyz.因为AB＝AA1＝2，所以A(0，－1,0)，B(，0,0)，C(0,1,0)，A1(0，－1，2)，B1(，0,2)，C1(0,1,2)．(1)因为P为A1B1的中点，所以P，从而＝，＝(0,2,2)，故|cos〈，〉|＝＝＝.因此，异面直线BP与AC1所成角的余弦值为.(2)因为Q为BC的中点，所以Q，因此＝，＝(0,2,2)，＝(0,0,2)．设n＝(x，y，z)为平面AQC1的一个法向量，则即不妨取n＝(，－1,1)．设直线CC1与平面AQC1所成的角为θ，则sin θ＝|cos〈，n〉|＝＝＝，所以直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值为.