人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.1 直线的倾斜角与斜率导学案及答案

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.1 直线的倾斜角与斜率导学案及答案，共9页。学案主要包含了学习目标，自主学习，小试牛刀，经典例题，跟踪训练，当堂达标，参考答案等内容，欢迎下载使用。

【自主学习】
一．直线的倾斜角
当直线l与x轴相交时，我们取 作为基准，x轴 与直线l 方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．
直线的倾斜角α的取值范围是 ，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为 ．
注意三个条件：①x轴正向；②直线向上的方向；③小于180°的非负角．
二．斜率的概念及斜率公式
定义：倾斜角α(α≠90°)的 ．
记法：k＝ ．
三．斜率与倾斜角的对应关系
常见角与正切值：
四．斜率公式
经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式：k＝ ．
注意：当x1＝x2时，斜率不存在．
思考1：只给出一个倾斜角能确定一条直线吗？
思考2：当一条直线的倾斜角为0°时，这条直线一定与x轴平行吗？
【小试牛刀】
思辨解析(对的打“√”，错的打“×”)
(1)任一直线都有倾斜角，都存在斜率．( )
(2)倾斜角为135°的直线的斜率为1.( )
(3)若直线的倾斜角为α，则它的斜率为k＝tan α.( )
(4)直线斜率的取值范围是(－∞，＋∞).( )
【经典例题】
题型一 直线的倾斜角
点拨：求直线的倾斜角的方法及注意事项
(1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角．
(2)两点注意事项：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°.②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°.
例1 下列命题正确的是( )
A.两条不重合的直线，如果它们的倾斜角相等，那么这两条直线平行
B.若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α
C.若α，2α，3α分别为三条直线的倾斜角，则α的度数可以大于60°
D.若α是直线l的倾斜角，且tan α＝eq \f(\r(2),2)，则α＝45°
【跟踪训练】1 已知直线l向上方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为________.
题型二 直线斜率的运算
点拨：解决斜率问题的方法
(1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)，利用定义式k＝tan α(α≠90°)解决．
(2)由两点坐标求斜率，运用两点斜率公式k＝ eq \f(y2－y1,x2－x1) (x1≠x2)求解．
例2 （1）（利用斜率定义）若直线的倾斜角为60°，则直线的斜率为( )
A.eq \r(3) B．－eq \r(3) C.eq \f(\r(3),3) D．－eq \f(\r(3),3)
（2）（利用斜率公式）经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角α.
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①A(2,3)，B(4,5)；
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②C(－2,3)，D(2，－1)；
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③P(－3,1)，Q(－3,10).
【跟踪训练】2 已知过A(3,1)，B(m，－2)的直线的斜率为1，则m的值为________.
题型三 利用数形结合求倾斜角或斜率范围
点拨：求直线斜率的取值范围时，通常先结合图形找出倾斜角的范围，再得到斜率的范围．
例3 已知两点A(－3，4)，B(3，2)，过点P(1，0)的直线l与线段AB有公共点．
(1)求直线l的斜率k的取值范围；
(2)求直线l的倾斜角α的取值范围．
【跟踪训练】3 直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，eq \r(3))为端点的线段有公共点，求直线l的斜率和倾斜角的取值范围.
题型四 直线的斜率的应用
点拨：1.利用斜率可解决点共线问题，点A，B，C共线⇔kAB＝kAC或kAB与kAC都不存在．
2. eq \f(y2－y1,x2－x1) 的几何意义是直线的斜率，用之可通过几何方法解决函数的值域问题．
例4 已知实数x，y满足y＝－2x＋8，且2≤x≤3，求eq \f(y,x)的最大值和最小值．
【跟踪训练】4 已知三点A(0,1)，B(1,3)，C(2,5)，求证：A，B，C三点共线.
【当堂达标】
1.（多选）对于下列选项中正确的是( )
A.若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180°
B.若k是直线的斜率，则k∈R
C.任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率
D.任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角
2.如图所示，直线l的倾斜角为( )
A．45° B．135°C．0° D．不存在
3.若经过A(m,3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角为45°，则m等于( )
A.2 B.1 C.－1 D.－2
4.一条直线的斜率等于eq \f(\r(3),3)，则此直线的倾斜角等于________．
5.求经过A(m,3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角α的取值范围是________.(其中m≥1)
6.如果三点A(2,1)，B(－2，m)，C(6,8)在同一条直线上，求实数m的值.
【参考答案】
【自主学习】
一．x轴 正向 向上 {α|0°≤α＜180°} 0°
二.正切值 tan α
三.90° k＝0 k>0 k<0
四.eq \f(y2－y1,x2－x1)
思考1：不能．倾斜角只能确定直线的方向，要确定直线还需知道直线上的一个点．
思考2:不一定，也可能与x轴重合．
【小试牛刀】
(1) × (2)× (3)× (4) √
【经典例题】
例1 A 解析 0°≤α＜180°，当α＝90°，此时直线不存在斜率，B错；α＝60°时，3α＝180°，C错；tan 45°＝1，D错．
【跟踪训练】1 60°或120° 解析 有两种情况：①如图(1)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为60°，即直线l的倾斜角为60°.
②如图(2)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为120°，即直线l的倾斜角为120°.
例2 （1） A 解析 k＝tan 60°＝eq \r(3).
解 = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①存在.直线AB的斜率kAB＝eq \f(5－3,4－2)＝1，即tan α＝1，
又0°≤α<180°，所以倾斜角α＝45°.
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②存在.直线CD的斜率kCD＝eq \f(－1－3,2－－2)＝－1，即tan α＝－1，又0°≤α<180°，所以倾斜角α＝135°.
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③不存在.因为xP＝xQ＝－3，所以直线PQ的斜率不存在，所以倾斜角α＝90°.
【跟踪训练】2 0 解析 由斜率公式计算斜率
例3 解 如图所示，由题意，知kPA＝eq \f(4－0,－3－1)＝－1，kPB＝eq \f(2－0,3－1)＝1.
(1)要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是k≤－1或k≥1.
(2)由题意可知直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45°，PA的倾斜角是135°，所以α的取值范围是45°≤α≤135°.
【跟踪训练】3解 如图所示.
∵kAP＝eq \f(1－0,2－1)＝1，kBP＝eq \f(\r(3)－0,0－1)＝－eq \r(3)，∴k∈(－∞，－eq \r(3)]∪[1，＋∞)，∴45°≤α≤120°.
例4 解 如图所示，由于点(x，y)满足关系式2x＋y＝8，且2≤x≤3，可知点P(x，y)在线段AB上移动，并且A，B两点的坐标可分别求得为(2，4)，(3，2)．
由于eq \f(y,x)的几何意义是直线OP的斜率，且kOA＝2，kOB＝eq \f(2,3)，
所以可求得eq \f(y,x)的最大值为2，最小值为eq \f(2,3).
【跟踪训练】4 证明 ∵kAB＝eq \f(3－1,1－0)＝2，kBC＝eq \f(5－3,2－1)＝2，∴kAB＝kBC，∴A，B，C三点共线.
【当堂达标】
ABC
B
3.A 解析 由题意知，tan 45°＝eq \f(2－3,1－m)，得m＝2.
4. 30° 解析 k＝tan α＝eq \f(\r(3),3)，又0°≤α＜180°，故α＝30°.
5.0°<α≤90° 解析 当m＝1时，倾斜角α＝90°；当m>1时，tan α＝eq \f(3－2,m－1)>0，
∴0°<α<90°.故0°<α≤90°.
6.解 kAB＝eq \f(m－1,－2－2)＝eq \f(1－m,4)，kAC＝eq \f(8－1,6－2)＝eq \f(7,4)，∵A，B，C三点共线，∴kAB＝kAC，即eq \f(1－m,4)＝eq \f(7,4)，∴m＝－6.课程标准
学科素养
理解直线的倾斜角和斜率的概念.
掌握求直线斜率的两种方法(重点).
3.了解在平面直角坐标系中确定一条直线的几何要素．
1、直观想象
2、数学运算
3、数形结合
图示
倾斜角
(范围)
α＝0°
0°<α<90°
α＝
90°<α<180°
斜率
(范围)


不存在

k的增
减情况
k随α的增大而增大
k随α的增大而增大
斜率k
0
eq \f(\r(3),3)
1
eq \r(3)
不存在
－eq \r(3)
－1
－eq \f(\r(3),3)
倾斜角α
0°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°