人教A版 (2019)选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程2.4 圆的方程学案设计

2.4.1　圆的标准方程

【学习目标】

【自主学习】

一．圆的标准方程

1.圆的定义：平面上到    的距离等于    的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径．

2.确定圆的基本要素是      和     ，如图所示．

3.圆的标准方程：圆心为A(a，b)，半径长为r的圆的标准方程是                    .

当a＝b＝0时，方程为x2＋y2＝r2，表示以      为圆心、半径为r的圆．

二．点与圆的位置关系

 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其圆心为C(a，b)，半径为r，点P(x0，y0)，

设d＝|PC|＝.

【小试牛刀】

思辨解析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2表示圆．(　　)

(2)确定一个圆的几何要素是圆心和半径.(　 　)

(3)圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝4的圆心坐标是(1,2)，半径是4.(　 　)

(4) (0,0)在圆(x－1)2＋(y－2)2＝1上.(　 　)

【经典例题】

题型一　求圆的标准方程

点拨：确定圆的标准方程的方法

(1)几何法

它是利用图形的几何性质，如圆的性质等，直接求出圆的圆心和半径，代入圆的标准方程，从而得到圆的标准方程．

(2)待定系数法求圆的标准方程的一般步骤

例1 (1)圆心在点C(2,1)，半径长是的圆的标准方程为________________.

(2)经过点P(5,1)，圆心在点C(8，－3)的圆的标准方程为________________.

【跟踪训练】1 求过点A(1，－1)，B(－1,1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的标准方程．

提示：法一：利用待定系数法，设出圆的方程，根据条件建立关于参数方程组求解；法二：利用圆心在直线上，设出圆心坐标，根据条件建立方程组求圆心坐标和半径，从而求圆的方程；法三：借助圆的几何性质，确定圆心坐标和半径，从而求方程．

题型二　点与圆的位置关系

点拨：判断点与圆的位置关系的方法

(1)只需计算该点与圆的圆心距离，与半径作比较即可；

(2)把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的符号，并作出判断．

例2　已知圆的圆心M是直线2x＋y－1＝0与直线x－2y＋2＝0的交点，且圆过点P(－5,6)，求圆的标准方程，并判断点A(2,2)，B(1,8)，C(6,5)是在圆上，在圆内，还是在圆外？

【跟踪训练】2 已知点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的外部，则a的取值范围为_______.

题型三  与圆有关的最值问题

点拨：最值问题的常见类型及解法

(1)形如u＝形式的最值问题，可转化为过点(x, y)和(a, b)的动直线斜率的最值问题．

(2)形如l＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线y＝－ x＋截距的最值问题．

(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点(x, y)到定点(a, b)的距离的平方的最值问题．

(4)求圆外一点到圆的最大距离和最小距离， 可采用几何法，先求出该点到圆心的距离，再加上或减去圆的半径，即可得距离的最大值和最小值．

例3 已知x和y满足(x＋1)2＋y2＝，

（1）求x2＋y2的最值．

（2）求的取值范围．

【跟踪训练】3 圆的方程为(x＋1)2＋y2＝4，则过(0,0)的弦中，最长弦长为________，最短弦长为________．

【当堂达标】

1.以两点A(－3，－1)和B(5,5)为直径端点的圆的方程是(　　)

A.(x＋1)2＋(y＋2)2＝100          B.(x－1)2＋(y－2)2＝100

C.(x＋1)2＋(y＋2)2＝25           D.(x－1)2＋(y－2)2＝25

2.（多选）点在圆的内部，则的取值不可能是（    ）

A．          B．         C．       D．

3．圆心为直线x－y＋2＝0与直线2x＋y－8＝0的交点，且过原点的圆的标准方程是________．

4.与y轴相切，且圆心坐标为(－5，－3)的圆的标准方程为________________.

5.求以A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1)为顶点的三角形的外接圆的标准方程.

6.求经过点P(1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上的圆的标准方程.

【参考答案】

【自主学习】

定点  定长 圆心  半径  (x－a)2＋(y－b)2＝r2    原点O  ＞  ＞ ＝  ＜ ＜

【小试牛刀】

×    √    ×    ×

【经典例题】

例1 (1)(x－2)2＋(y－1)2＝3

(2)(x－8)2＋(y＋3)2＝25

【跟踪训练】1 解：法一：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，

由已知条件知解此方程组，得

故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.

法二：设点C为圆心，∵点C在直线x＋y－2＝0上，

∴可设点C的坐标为(a,2－a)．又∵该圆经过A，B两点，

∴|CA|＝|CB|.

∴＝，解得a＝1.

∴圆心坐标为C(1,1)，半径长r＝|CA|＝2.

故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.

法三：由已知可得线段AB的中点坐标为(0,0)，kAB＝＝－1，

所以弦AB的垂直平分线的斜率为k＝1，

所以AB的垂直平分线的方程为y－0＝1·(x－0)，

即y＝x.则圆心是直线y＝x与x＋y－2＝0的交点，由得

即圆心为(1,1)，圆的半径为r＝＝2，

故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.

例2 解：解方程组得∴圆心M的坐标为(0,1)，

半径r＝|MP|＝＝5.

∴圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝50.

∵|AM|＝＝＜r，

∴点A在圆内．∵|BM|＝＝＝r，

∴点B在圆上．∵|CM|＝＝＞r，

∴点C在圆外．

∴圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝50，且点A在圆内，点B在圆上，点C在圆外．

【跟踪训练】2　(－∞，－1)∪(1，＋∞) 解析：由题意知，(1－a)2＋(1＋a)2>4，2a2－2>0，即a<－1或a>1.

例3 解：（1）由题意知x2＋y2表示圆上的点到坐标原点距离的平方，显然当圆上的点与坐标原点的距离取最大值和最小值时，其平方也相应取得最大值和最小值．原点O(0,0)到圆心C(－1,0)的距离d＝1，故圆上的点到坐标原点的最大距离为1＋＝，最小距离为1－＝.因此x2＋y2的最大值和最小值分别为和.

（2）设k＝，变形为k＝，此式表示圆上一点(x, y)与点(0, 0)连线的斜率，

由k＝，可得y＝kx，此直线与圆有公共点，圆心到直线的距离d≤r，即≤，解得－≤k≤.即的取值范围是.

【跟踪训练】3  4　2　解析： 点(0,0)在圆内，最长的弦为过O的直径，所以最大弦长为2r＝4.最短弦是过O且与过O的直径垂直的弦，因为O(0,0)与圆的距离为1，所以最短弦长为2＝2.

【当堂达标】

1.D解析：∵AB为直径，∴AB的中点(1,2)为圆心，|AB|＝＝5为半径，∴该圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝25.

2.AD解析：由已知条件可得，即，解得.故选：AD.

3.(x－2)2＋(y－4)2＝20　解析：由可得，即圆心为(2,4)，从而r＝＝2，故圆的标准方程为(x－2)2＋(y－4)2＝20.

4.(x＋5)2＋(y＋3)2＝25 解析：∵圆心坐标为(－5，－3)，又与y轴相切，∴该圆的半径为5，

∴该圆的标准方程为(x＋5)2＋(y＋3)2＝25.

5.解：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，

则有解得

即△ABC的外接圆的标准方程为(x－4)2＋(y－1)2＝5.

6. 解：方法一　(待定系数法)

设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则有解得

∴圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25.

方法二　(几何法)

由题意知OP是圆的弦，其垂直平分线为x＋y－1＝0.

∵弦的垂直平分线过圆心，

∴由得即圆心坐标为(4，－3)，半径为r＝＝5.

∴圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25.