云南师范大学附属中学2022-2023学年高三适应性月考卷（一）数学试题及答案

数学试卷

注意事项：

1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚．

2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．

3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟．

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 已知集合，集合，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】先求解集合，再利用交集运算即可.

【详解】解：由题得集合，所以.

故选：B．

2.

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用复数的除法可得计算结果.

【详解】，故选B.

【点睛】本题考查复数的除法，属于基础题.

3. 将函数的图象向右平移个单位，可以得到（    ）

A. 的图象 B. 的图象 C. 的图象 D. 的图象

【答案】D

【解析】

【分析】利用相位变化和诱导公式直接得到答案.

【详解】将函数的图象向右平移个单位得到的图像

故选：D

4. 若，则“”是 “”的

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】

本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.

【详解】当时，，则当时，有，解得，充分性成立；当时，满足，但此时，必要性不成立，综上所述，“”是“”的充分不必要条件.

【点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.

5. 已知函数，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】直接由指数、对数的运算以及特殊角的三角函数值求解即可.

【详解】，，，所以.

故选：B．

6. 一道有4个选项但只有一个选项正确的选择题，命题者估计某类考生会答该题的概率是0.5，并且会答时一定能答对；不会答时考生在4个答案中任选1个．已知该类考生中某一个考生回答正确，则他确实会答（不是蒙对）的概率等于（    ）

A. 0.25 B. 0.5 C. 0.75 D. 0.8

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意在“会答”的条件下答对的概率为1，在“不会答”的条件下答对的概率为0.25，利用条件概率的计算公式求解在“答对”的条件下，“会答”的概率即可.

【详解】解：设事件表示“答对”，事件表示“会答”，该考生会答该题的概率是，则，，，，

.

故选：D.

7. 我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，如图，利用了双曲线的光学性质：、是双曲线的左、右焦点，从发出的光线射在双曲线右支上一点，经点反射后，反射光线的反向延长线过；当异于双曲线顶点时，双曲线在点处的切线平分．若双曲线的方程为上，则下列结论不正确的是（    ）

A. 射线所在直线的斜率为，则

B. 当时，

C. 当过点时，光由到再到所经过的路程为

D. 若，直线与相切，则

【答案】C

【解析】

【分析】求出双曲线渐近线方程，可判断A选项；利用勾股定理以及双曲线的定义可判断B选项；利用双曲线的定义可判断C选项；利用角平分线定理结合双曲线的定义可判断D选项.

【详解】在双曲线中，，，则，易知点、，

设，，

对于A选项，因为双曲线的渐近线方程为，

当点在第一象限内运动时，随着的增大，射线慢慢接近于直线，此时，

同理可知当点在第四象限内运动时，，

当点为双曲线的右顶点时，，

综上所述，的取值范围是，A对；

对于B选项，当时，，

，所以，，B对；

对于C选项，，

故过点时，光由到再到所经过的路程为

，C错；

对于D选项，若，由角平分线定理可得，

即，解得，D对.

故选：C.

8. 若在上，函数的图象恒在函数的图象上方，则a的取值范围为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】先由时，求得，再结合放缩法证明时，对任意实数恒成立即可.

【详解】由题对任意实数，，即恒成立，一方面，当时，，

令，易知是增函数，，所以，得；当时，则，

即，于是对不成立，与题设矛盾；

另一方面，当时，，令，则，

易得当时，，单减，当时，，单增，则，即；

令，，当时，，单增，当时，，单减，

则，即，则，则，所以当时，恒成立.

故选：C．

二、不定项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）

9. 已知的展开式中第3项与第8项的二项式系数相等，则（    ）

A.  B.  C. 展开式中常数项为84 D. 展开式中所有项的系数和为0

【答案】AD

【解析】

【分析】由求得，再由二项展开式的通项求出常数项，由赋值法求得系数和即可求解.

【详解】展开式的通项公式为，由题，得，

所以，令，，所以展开式中的常数项为，

利用赋值法，令可得展开式中所有项的系数和是，综上，正确答案为A，D.

故选：AD.

10. 在研究某品牌汽车的使用年限x（单位：年）与残值y（单位：万元）之间的关系时，根据调研数据得到如下的对应值表：

利用最小二乘法，得到回归直线方程为，下列说法正确的是（    ）

A. x与y的样本相关系数 B. 回归直线必过点 C.  D. 预测该品牌汽车使用20年后，残值约为2万元

【答案】BC

【解析】

【分析】由数据知随的增大呈递减的趋势，结合相关系数的性质及回归直线的性质依次判断即可.

【详解】随的增大呈递减的趋势，所以与为负相关关系，所以与的样本相关系数，回归直线方程为的，

因为，，回归直线必过点，所以，得，

当时，（万元），综上，正确答案为B，C.

故选：BC.

11. 《九章算术》里说：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”．如图，底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”，沿截面将一个“堑堵”截成两部分，其三棱锥称为“鳖臑”．在鳖臑中，，其外接球的体积为，当此鳖臑的体积V最大时，下列结论正确的是（    ）

A.

B

C. 直线与平面所成角的正弦值

D. 内切球的半径为

【答案】ACD

【解析】

【分析】由题可知的中点即为的外接球的球心，由球的体积公式可得球的半径，进而得到，利用锥体的体积公式计算可判断A、B项，利用线面垂直可判断直线与平面所成角即为，计算其正弦值即可判断C项，利用等体积法可求得内切球的半径，即可判断D项.

【详解】解：由题可知，的中点即为的外接球的球心，设外接球的半径为，则，得，

因为，所以，

鳖臑的体积，

当且仅当时，；故A项正确，B项错误.

因为三棱柱为直三棱柱，故平面，又平面，故，

因为,所以平面，

所以直线与平面所成角即为，；故C项正确；

设鳖臑的内切球半径为，由等体积法，得，所以，故D项正确.

故选：ACD.

12. 类比三角函数的定义，把角的终边与双曲线交点的纵坐标和横坐标分别叫做的双曲正弦函数、双曲余弦函数．已知，下列结论正确的是（    ）

A.

B.

C.

D. 若直线（c为常数）与曲线共有三个交点，横坐标分别为，则

【答案】BCD

【解析】

【分析】利用有理指数幂的运算性质判断选项A；把等式右侧化简变形判断选项B；利用导数运算判断选项C；结合双曲余弦函数和双曲正弦函数的性质，奇偶性、单调性、最值等来判断选项D.

【详解】解：对于A，，故A不正确；

对于B，

，故B正确；

对于C，，故C正确；

对于D，函数是奇函数，且在上单调递增，值域为，

所以直线与双曲正弦曲线只有一个交点，是偶函数，，于是由题可知，，，

由得，，，

所以，故D正确．

综上，正确答案B，C，D，

故选：BCD.

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 设平面向量，，若，则等于______．

【答案】

【解析】

【分析】根据向量垂直关系求得，得出的坐标，利用向量模的坐标运算即可求得模长.

【详解】因为平面向量，，且，

所以，

即

解得 ，

.

故答案为：

14. 成语“五音不全”中的五音指古乐的五声音阶：宫、商、角、徵、羽，是中国古乐基本音阶．把这五个音阶排成一列，形成一个音序．满足“徵”“羽”两音阶相邻且在“宫”音阶之前的不同音序的种数为___________．（用数字作答）

【答案】24

【解析】

【分析】把“徵”“羽”看成一个元素，排在“宫”的前面，再排“商”“角”，最后计算“徵”“羽”交换顺序排列即可.

【详解】解：把“徵”“羽”看成一个元素，在排好顺序的4个位置中选两个，按“宫”在后，“徵”“羽”在前的顺序，有种排法，

另两个位置排“商”“角”，有种排法，

“徵”“羽”又可交换顺序排列，有种排法，

故所求音序种数为.

故答案为：24.

15. 设抛物线的焦点为F，准线l与x轴交点为K，点A在C上，点A的横坐标为2，，以F为圆心且与直线相切的圆的方程为_________．

【答案】

【解析】

【分析】根据抛物线定义求出，所以抛物线方程为，根据点到直线距离求出圆的半径，继而求出圆的方程.

【详解】根据抛物线定义，，得，抛物线方程为，，，根据对称性，不妨设点在第一象限，则，直线的方程为，即，点到直线的距离，所求圆方程为.

故答案为：.

16. “物不知数”问题：“今有物，不知其数，三、三数之，剩二；五、五数之，剩三；七、七数之，剩二．问物几何？”即著名的“孙子问题”，最早由《孙子算经》提出，研究的是整除与同余的问题．现有这样一个问题：将1到2022这2022个数中，被3除余2且被5除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则此数列的中位数为____________．

【答案】1007

【解析】

【分析】由题意可知，数列满足，再根据与2022的大小关系确定数列共有135项，进而求得中位数即可

【详解】由题意可知，既是3倍数，又是5的倍数，即，所以，

当时，，

当时，，所以，

数列共有135项，因此中位数为第68项，.

故答案为：1007

四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 从①；②；③中选择一个补充到下面问题的条件中，并解决该问题：在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，且__________．

（1）求B；

（2）求的面积．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

【答案】（1）；   

（2）

【解析】

【分析】（1）选择①由余弦定理即可求解；选择②由正弦定理即可求解；选择③由辅助角公式即可求解；

（2）由正弦定理求得，再由和角公式求得，最后由面积公式求解即可.

【小问1详解】

选择①：由及余弦定理，得，又，所以；

选择②：由正弦定理及，得，因为，所以，即，又，所以；

选择③：由及辅助角公式，得，又，所以，所以，；

【小问2详解】

由正弦定理，，，

所以的面积为.

18. 已知数列的前n项和为，．

（1）求数列的通项公式；

（2）若数列满足，求数列的前n项和．

【答案】（1）；   

（2）

【解析】

【分析】（1）当时，由得是等比数列，再由等比数列通项求解即可；

（2）先求出，再由错位相减法求和即可.

【小问1详解】

因为，所以，所以，

所以，当时，，，

所以数列是首项，公比的等比数列，所以；

【小问2详解】

由得，所以，，

两式相减，得，，所以.

19. 如图，是边长为的等边三角形，E，F分别是的中点，G是的重心，将沿折起，使点A到达点P的位置，点P在平面的射影为点G．

（1）证明：；

（2）求平面与平面夹角的余弦值．

【答案】（1）证明见解析；   

（2）

【解析】

【分析】（1）由，证得平面，即可证得；

（2）过点作，先证得是平面与平面的交线，再由平面得为平面与平面所成二面角的平面角，求出相关边，再由余弦定理求解即可.

【小问1详解】

连接，因是等边三角形，是的中点，是的重心，所以在上，，

又点在平面的射影为点，即平面，平面，所以，

又，所以平面，又平面，所以.

【小问2详解】

过点作，连接，与，分别交于点，点.因为分别是，的中点，所以，

所以，是平面与平面的交线.由是等边三角形，是的重心，

知点，点分别是线段，的中点.平面，平面，所以，

又，平面，，则平面，所以平面，

又平面，于是，，为平面与平面所成二面角的平面角.

由等边三角形的边长为，可得，，，，

，在中，由余弦定理，得，

所以平面与平面夹角的余弦值为.

20. 2014年9月教育部发布关于深化考试招生制度改革的实施意见，部分省份先行改革实践，目前，全国多数省份进入新高考改革．改革后，考生的高考总成绩由语文、数学、外语3门全国统一考试科目成绩和3门选择性科目成绩组成．

方案一：选择性考试科目学生可以从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中任选3门参加选择性考试．

方案二：3门选择性科目由学生先从物理、历史2门科目中任选1门，再从思想政治、地理、化学、生物4门科目中任选2门参加选择性考试．

（1）某省执行方案一，甲同学对选择性科目的选择是随机的，求甲同学在选择物理科目的条件下，选择化学科目的概率；

（2）某省执行方案二，为调查学生的选科情况，从某校高二年级抽取了10名同学，其中有6名首选物理，4名首选历史，现从这10名同学中再选3名同学做进一步调查，将其中首选历史的人数记作X，求随机变量X的分布列和数学期望．

【答案】（1）   

（2）分布列见解析，期望

【解析】

【分析】（1）先求出选择物理的概率，再求出同时选择物理和化学的概率，由条件概率公式求解即可；

（2）X的取值为0，1，2，3，分别求出对应概率，列出分布列，计算期望即可.

【小问1详解】

“甲同学选择物理”记作事件A，“甲同学选择化学”记作事件B，则，，则；

【小问2详解】

随机变量X的取值为0，1，2，3．，，，，

随机变量X分布列为

.

21. 在上任取一点，记，当P在圆C上运动时，点Q的轨迹记为．

（1）写出的标准方程，并说明的离心率是定值（与无关）；

（2）当时，分别记为，若直线与交于4个点，在直线l上从上到下顺次记为A，B，C，D．

①与是否相等？证明你的结论；

②已知，求面积的最大值．

【答案】（1），答案见解析   

（2）①，证明见解析；②最大值为.

【解析】

【分析】(1)利用代点法求出点Q的轨迹，再求其离心率即可；

(2)①联立方程组，利用设而不求法证明的中点重合，由此证明，②求出的面积的解析式，再求其最值.

【小问1详解】

设，则，

所以，化为，

所以的标准方程为.

，，，为定值.

【小问2详解】

①设与的交点为，，与的交点为，，

联立消，整理得，

，

所以，，   

所以的中点与的中点坐标均为，

即的中点与的中点重合，故

②直线：被椭圆：截得的弦长为

，

所以，

，

，

点到直线的距离为，

所以面积为，

所以当时，的面积最大，最大值为.

【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：

(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；

(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．

22. 已知函数．

（1），求实数a的取值范围；

（2），使，求证：．

【答案】（1）   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）由得，构造函数，利用导数得出，即可得出实数a的取值范围；

（2）由得出，构造函数，由导数证明，再由导数证明即可.

【小问1详解】

由得，即，其中，

令，，得，

设，，

则，所以在上单调递增，

所以，所以，

所以在上单调递增，在上有最大值，

，

所以的取值范围为.

【小问2详解】

，即，

整理为，

令，，

则，所以在上单调递增，

不妨设，所以，从而，

所以，

所以.

下面证明：，即证明：，

令，即证明，其中，只要证明.

设，则，

所以在上单调递增，所以，

所以，

所以，

所以.

【点睛】关键点睛：在问题二中，关键在于将双变量问题转化为单变量问题，利用导数证明不等式.