2022年内蒙古包头市中考数学试卷（含解析）

2022年内蒙古包头市中考数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 若，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

2. 若，互为相反数，的倒数是，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 若，则下列不等式中正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4. 几个大小相同，且棱长为的小正方体所搭成几何体的俯视图如图所示，图中小正方形中的数字表示在该位置小正方体的个数，则这个几何体的左视图的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 年月日北京冬奥会大幕落下，中国队在冰上、雪上项目中，共斩获金银铜，创造中国队冬奥会历史最好成绩．某校为普及冬奥知识，开展了校内冬奥知识竞赛活动，并评出一等奖人．现欲从小明等名一等奖获得者中任选名参加全市冬奥知识竞赛，则小明被选到的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 若，是方程的两个实数根，则的值为(    )

A. 或 B. 或 C. 或 D. 或

7. 如图，，是的两条直径，是劣弧的中点，连接，若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

8. 在一次函数中，的值随值的增大而增大，且，则点在(    )

A. 第四象限 B. 第三象限 C. 第二象限 D. 第一象限

9. 如图，在边长为的小正方形组成的网格中，，，，四个点均在格点上，与相交于点，连接，，则与的周长比为(    )

A. ： B. ： C. ： D. ：

10. 已知实数，满足，则代数式的最小值等于(    )

A.  B.  C.  D.

11. 如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，其中点与点是对应点，点与点是对应点．若点恰好落在边上，则点到直线的距离等于(    )

A.  B.  C.  D.

12. 如图，在矩形中，，点，分别在，边上，，，与相交于点，连接若，则与之间的数量关系正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共7小题，共21.0分）

13. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是______．
14. 计算：______．
15. 某校欲招聘一名教师，对甲、乙两名候选人进行了三项素质测试，各项测试成绩满分均为分，根据最终成绩择优录用，他们的各项测试成绩如下表所示：

根据实际需要，学校将通识知识、专业知识和实践能力三项测试得分按：：的比例确定每人的最终成绩，此时被录用的是______填“甲”或“乙”

16. 如图，已知的半径为，是的弦．若，则劣弧的长为______．

17. 若一个多项式加上，结果得，则这个多项式为______．
18. 如图，在中，，，为边上一点，且，连接，以点为圆心，的长为半径作弧，交于点异于点，连接，则的长为______．

19. 如图，反比例函数在第一象限的图象上有，两点，直线与轴相交于点，是线段上一点．若，连接，记，的面积分别为，，则的值为______．

三、解答题（本大题共6小题，共63.0分）

20. 年月日是第个全国中小学生安全教育日．某校为调查本校学生对安全知识的了解情况，从全校学生中随机抽取若干名学生进行测试，测试后发现所有测试的学生成绩均不低于分．将全部测试成绩单位：分进行整理后分为五组，并绘制成频数分布直方图如图．
    请根据所给信息，解答下列问题：
    在这次调查中，一共抽取了______名学生；
    若测试成绩达到分及以上为优秀，请你估计全校名学生对安全知识的了解情况为优秀的学生人数；
    为了进一步做好学生安全教育工作，根据调查结果，请你为学校提一条合理化建议．

21. 如图，是底部不可到达的一座建筑物，为建筑物的最高点，测角仪器的高米．某数学兴趣小组为测量建筑物的高度，先在处用测角仪器测得建筑物顶端处的仰角为，再向前走米到达处，又测得建筑物顶端处的仰角为，已知，，，，三点在同一水平线上，求建筑物的高度．
     

22. 由于精准扶贫的措施科学得当，贫困户小颖家今年种植的草莓喜获丰收，采摘上市天全部销售完．小颖对销售情况进行统计后发现，在该草莓上市第天取整数时，日销售量单位：千克与之间的函数关系式为，草莓价格单位：元千克与之间的函数关系如图所示．
    求第天小颖家草莓的日销售量；
    求当时，草莓价格与之间的函数关系式；
    试比较第天与第天的销售金额哪天多？

23. 如图，为的切线，为切点，是上一点，过点作，垂足为，交于点，连接并延长交于点，连接，，，已知．
    若的半径为，求的长；
    试探究与之间的数量关系，写出并证明你的结论．请用两种证法解答
     

24. 如图，在▱中，是一条对角线，且，，，是边上两点，点在点的右侧，，连接，的延长线与的延长线相交于点．
    如图，是边上一点，连接，，与相交于点．
    若，求的长；
    在满足的条件下，若，求证：；
    如图，连接，是上一点，连接若，且，求的长．
     

25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，点的坐标是，顶点的坐标是，是抛物线上一动点，且位于第一象限，直线与轴交于点．
    求该抛物线的解析式；
    如图，是抛物线上一点，且位于第二象限，连接，记，的面积分别为，当，且直线时，求证：点与点关于轴对称；
    如图，直线与轴交于点，是否存在点，使得若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
，
故选：．
同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
本题考查了同底数幂的乘法，掌握幂的运算法则是解答本题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：，互为相反数，的倒数是，
，，



．
故选：．
两数互为相反数，和为；两数互为倒数，积为，由此可解出此题．
本题考查的是相反数和倒数的概念，两数互为相反数，则它们的和为；两数互为倒数，它们的积为．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，不符合题意；
B、，不符合题意；
C、，不符合题意；
D、，
，
，符合题意；
故选：．
A、不等式的两边同时减去，不等号的方向不变；
B、不等式的两边同时乘以，不等号的方向改变；
C、不等式的两边同时减去，不等号的方向不变；
D、不等式的两边同时乘以，不等号的方向改变．
本题主要考查了不等式的性质，掌握不等式的个性质是解题关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：由俯视图可以得出几何体的左视图为：

则这个几何体的左视图的面积为，
故选：．
根据俯视图中正方体的个数画出左视图即可得出结论．
本题主要考查三视图的知识，根据俯视图作出左视图是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：名一等奖获得者中任选名参加全市冬奥知识竞赛，
小明被选到的概率为，
故选：．
根据概率公式直接计算即可．
本题主要考查概率的知识，熟练掌握概率公式是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
，
或，
，时，，
，时，，
故选：．
先用因式分解法解出方程，然后分情况讨论，然后计算．
本题主要考查了解一元二次方程因式分解法，掌握因式分解法解出方程的步骤，分情况讨论是解题关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：连接，
，，
，
，
是劣弧的中点，
，
，
由圆周角定理得：，
故选：．
连接，根据等腰三角形的性质求出，根据三角形内角和定理求出，进而求出，再根据圆心角定理计算即可．
本题考查的是圆周角定理、三角形内角和定理、等腰三角形的性质，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
 

8.【答案】 

【解析】解：在一次函数中，随的增大而增大，
，
．
，
，同号，
．
点在第三象限．
故选：．
根据一次函数的增减性，确定自变量的系数的符号，再根据，确定的符号，从而确定点所在的象限．
本题考查了一次函数的性质，对于一次函数，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图所示，

由网格图可知：，，，，
，
．
，
．
在中，
，
在中，
，
，
，
，，
，
，
∽，
与的周长比．
故选：．
利用网格图，勾股定理求得，的长，利用直角三角形的边角关系定理得出，进而得到，则，再利用相似三角形的判定与性质解答即可．
本题主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，平行线的判定与性质，充分利用网格图的特征是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
，




，
代数式的最小值等于，
故选：．
由题意得，代入代数式可得，故此题的最小值是．
此题考查了代数式的变式与二次函数最值问题的解决能力，关键是能对以上知识准确理解并正确变形、计算．
 

11.【答案】 

【解析】解：连接，如图，

，，，
，，
将绕点顺时针旋转得到，
，，，
，，
为等边三角形，
，
，
为等边三角形，
过点作于点，
，
，
点到直线的距离为，
故选：．
由直角三角形的性质求出，，由旋转的性质得出，，，证出和为等边三角形，过点作于点，由等边三角形的性质及直角三角形的性质可得出答案．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了直角三角形的性质及等边三角形的判定与性质．
 

12.【答案】 

【解析】解：过点作于，

在矩形中，，，
四边形是正方形，
，
，
，
，
即，
故选：．
过点作于，得出四边形是正方形，再根据线段等量关系得出，根据勾股定理得出，即可得出结论．
本题主要考查矩形和正方形的性质，熟练掌握矩形和正方形的性质及勾股定理等知识是解题的关键．
 

13.【答案】且 

【解析】解：根据题意，得，
解得且，
故答案为：且．
根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不等于零，列不等式组，解出即可．
本题主要考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，掌握这两个知识点的应用，列出不等式组是解题关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：原式

，
故答案为：．
根据同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减，分子分解因式后，一定要约分．
本题考查了分式加减法，熟练运用同分母分式加减法法则是解题关键．
 

15.【答案】甲 

【解析】解：甲的测试成绩为：分，
乙的测试成绩为：分，
，
甲将被录用．
故答案为：甲．
将两人的总成绩按比例求出测试成绩，比较得出结果．
此题考查了平均数，熟记加权平均数公式是解答本题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：的半径为，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
的长．
故答案为：．
根据勾股定理的逆定理和弧长的计算公式解答即可．
本题主要考查了勾股定理逆定理和弧长的计算，熟练掌握相关的定理和计算公式是解答本题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：由题意得，这个多项式为：


．
故答案为：．
现根据题意列出算式，再去掉括号合并同类项即可．
本题考查整式的加减法，能根据题意列出算式是解答本题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：，，
，，
，，
，．
，
．
，
，
，
，，
．
．
，
．
在和中，
，
≌．
．
故答案为：．
利用等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质，同圆的半径相等，三角形的内角和定理和全等三角形的判定与性质解答即可．
本题主要考查了等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质，同圆的半径相等，三角形的内角和定理和全等三角形的判定与性质，准确找出图中的全等三角形是解题的关键．
 

19.【答案】 

【解析】解：反比例函数在第一象限的图象上有，两点，
，
，
，
设直线的解析式为，
，
解得：，
，
令，
，
解得：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
根据反比例函数定值求出点坐标，根据待定系数法求出直线的解析式，进而求出点的坐标，求出，的长度，根据，得到，根据，是等高的三角形，得到，从而，根据得到，从而得出答案．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，根据得到，根据，是等高的三角形，得到是解题的关键．
 

20.【答案】 

【解析】解：名，
故答案为：；
人，
故优秀的学生人数约为人；
加强安全教育，普及安全知识：通过多种形式，提高安全意识，结合校内，校外具体活动，提高避险能力．
把各组频数相加即可；
利用样本估计总体即可；
估计的结论解答即可．
本题主要考查频数分布直方图及样本估计总体，解题的关键是根据直方图得出解题所需数据及样本估计总体思想的运用．
 

21.【答案】解：由题意得：
米，米，，，
设米，
米，
在中，，
米，
在中，，
，
，
经检验：是原方程的根，
米，
建筑物的高度为米． 

【解析】根据题意得：米，米，，，然后设米，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义列出关于的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

22.【答案】解：当时，，
当时，千克，
第天小颖家草莓的日销售量是千克．
当时，设草莓价格与之间的函数关系式为，
点，在的图象上，
，
解得：，
函数解析式为．
当时，，
当时，，
当时，；
当时，，
当时，，
当时，
第天的销售金额为：元，
第天的销售金额为：元，
，
第天的销售金额多． 

【解析】当时，，把代入，求出其解即可；
利用待定系数法即可求得草莓价格与之间的函数关系式；
利用销售金额销售量草莓价格，比较第天与第天的销售金额，即可得答案．
此题考查了一次函数的应用．此题难度适中，解题的关键是理解题意，利用待定系数法求得函数解析式，注意数形结合思想与函数思想的应用．
 

23.【答案】解：连接，

，
，
，
，
为的切线，为切点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
的半径为，
，
是的直径，
，
在中，；
．
方法一：
证明：，
，
，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
，
即；
方法二：
证明：连接，

过点作于，
，
，
四边形是矩形，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
≌，
，
，
． 

【解析】连接，由切线的性质及圆周角定理证出是等边三角形，由等边三角形的性质得出，由直角三角形的性质可得出答案；
方法一：证明为等边三角形，由等边三角形的性质得出，由直角三角形的性质可得出结论；
方法二：连接，过点作于，证明四边形是矩形，得出，证明≌，由全等三角形的性质得出，则可得出结论．
本题是圆的综合题，考查了切线的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，圆周角定理，等边三角形的判定与性质等知识；熟练掌握切线的性质和等边三角形的判定与性质是解决问题的关键．
 

24.【答案】解：四边形是平行四边形，
，，，，
，，
∽，
，
，
，
，
．
证明：，
，
，，
≌，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
．
连接，
，，
，
，
，
≌，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
∽，
，
，
，
设，则，
，
，
，
即，
，
． 

【解析】根据平行四边形的性质和相似三角形的判定定理解答即可；
根据全等三角形的判定定理和等腰三角形的性质解答即可；
连接，通过相似三角形的判定定理和方程思想解答即可．
本题主要考查了四边形的相关知识，熟练掌握相似三角形的判定定理和性质定理，等腰三角形的性质定理，全等三角形的判定定理是解答本题关键．
 

25.【答案】解：抛物线与轴交于，顶点的坐标是，
，
解得，
该抛物线的解析式为；
证明：过点作轴，垂足为，

当与都以为底时，
，
，
当时，则，
解得，
，
，
，，
设点的坐标为，
点在第一象限，
，
，
即，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
，
设直线的解析式为，
，
，
即直线的解析式为，将其代入中，
得，
解得或，
点在第二象限，
，
，
点与点关于轴对称；
过点作轴，垂足为，令，

，，
，
，，
在和中，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
解得，
当时，，
，
存在点，使得． 

【解析】用待定系数法求出解析式即可；
过点作轴，垂足为，根据面积关系得出，设点的坐标为，求出点的坐标，用待定系数法求出直线的解析式，根据点坐标求出直线的解析式，确定点的坐标，即可得出结论；
过点作轴，垂足为，令，用的代数式表示出和，利用三角函数得出和的代数式，根据，得出关于的方程，求出的值即可得出点的坐标．
本题主要考查二次函数的图象和性质，熟练掌握待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，三角函数，一次函数的性质等知识是解题的关键．