2021-2022学年浙江省衢州市高一（下）期末数学试卷

这是一份2021-2022学年浙江省衢州市高一（下）期末数学试卷，共22页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年浙江省衢州市高一（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中只有1项符合题目要求.1．（5分）已知集合，2，，，3，，则　　A．，2，3， B．， C．， D．2．（5分）“”是“”的　　A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．（5分）已知，，，则　　A． B． C． D．4．（5分）已知，则的值为　　A． B． C． D．5．（5分）已知函数的图象如图所示，则可能是　　A． B． C． D．6．（5分）设的内角，，的对边分别为，，，若，，，则面积为　　A．2 B． C． D．67．（5分）随着社会的发展，小汽车逐渐成了人们日常的交通工具．小王在某段时间共加92号汽油两次，两次加油单价不同．现在他有两种加油方式：第一种方式是每次加油200元，第二种方式是每次加油30升．我们规定这两次加油哪种加油方式的平均单价低，哪种就更经济，则更经济的加油方式为　　A．第一种 B．第二种 C．两种一样 D．不确定8．（5分）已知函数，若，，，则　　A． B．2 C．4 D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.9．（5分）已知复数是虚数单位），下列说法正确的是　　A．在复平面内所对应的点位于第四象限 B．复数的虚部是 C．若为的共轭复数，则 D．10．（5分）下列四个命题为真命题的是　　A．已知平面向量，若，，则 B．若，，则可作为平面向量的基底 C．若，，则在上的投影向量为 D．若，，，则11．（5分）已知函数，则下列说法正确的是　　A．（1） B．的值域为 C．方程最多只有两个实数解 D．方程有5个实数解12．（5分）在正方体中，是的中点，是线段上的一点．下列说法正确的有　　A．平面中一定存在直线与平面平行 B．直线，可以与平面垂直 C．存在一点使得，为 D．直线与平面所成的角为，平面与平面所成的锐二面角为，则三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分..13．（5分）已知数据，，，的方差为，数据，，，的方差为，则　　．14．（5分）若命题“，”是假命题，则实数的取值范围是　　．15．（5分）已知正实数，满足，则的最小值是 　　．16．（5分）如图，在平面四边形中，，，为等腰直角三角形，且，则长的最大值为 　　．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.17．（10分）已知向量，．（1）当为何值时，；（2）若，求实数的值．18．（12分）某县在创文明县城期间安排了“垃圾分类知识普及实践活动”．为了解市民的学习成果，该县从某社区随机抽取了160名市民作为样本进行测试，记录他们的成绩，测试卷满分为100分，将数据收集，并整理得到频率分布直方图，如图所示：（1）求的值；（2）估计此样本中的160名市民成绩的平均数和第75百分位数．19．（12分）如图，在棱长为2的正方体中，点，分别为棱和的中点．（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积．20．（12分）已知函数．（1）求函数的最小正周期及单调递增区间；（2）把的图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，已知关于的方程在上有两个不同的解，．①求实数的取值范围；②证明：．21．（12分）如图1，在中，，，，且，分别为，的中点，延长交于点．现将沿翻折至△，使得，如图2所示．（1）求证：；（2）点为线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值．22．（12分）已知函数．（1）若（2），求的值；（2）若，求在，上的最小值（a）；（3）若方程有3个不相等的正实数根，，，且，证明：．
2021-2022学年浙江省衢州市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中只有1项符合题目要求.1．（5分）已知集合，2，，，3，，则　　A．，2，3， B．， C．， D．【解答】解：集合，2，，，3，，则，．故选：．2．（5分）“”是“”的　　A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解答】解：当时，成立，故“” “”为真命题故“”是“”的充分条件；当时，或，即不成立故“” “”为假命题故“”是“”的不必要条件；综上“”是“”的充分不必要条件；故选：．3．（5分）已知，，，则　　A． B． C． D．【解答】解：，，，，，故选：．4．（5分）已知，则的值为　　A． B． C． D．【解答】解：，所以，所以．故选：．5．（5分）已知函数的图象如图所示，则可能是　　A． B． C． D．【解答】解：由图象可知，排除；又（1），而选项中（1），排除，故选：．6．（5分）设的内角，，的对边分别为，，，若，，，则面积为　　A．2 B． C． D．6【解答】解：在中，角、、的对边分别为，，，且满足，可得，利用正弦定理得，由于，，故，又，所以解得，又，，所以由余弦定理，可得，整理可得，解得，所以面积．故选：．7．（5分）随着社会的发展，小汽车逐渐成了人们日常的交通工具．小王在某段时间共加92号汽油两次，两次加油单价不同．现在他有两种加油方式：第一种方式是每次加油200元，第二种方式是每次加油30升．我们规定这两次加油哪种加油方式的平均单价低，哪种就更经济，则更经济的加油方式为　　A．第一种 B．第二种 C．两种一样 D．不确定【解答】解：设第一次的油价为，第二次的油价为，且，第一种加油方式的平均油价为，第二种加油方式的平均油价为，因为，则，因此，更经济的加油方式为第一种．故选：．8．（5分）已知函数，若，，，则　　A． B．2 C．4 D．【解答】解：根据题意，函数，则，则，又由，则，故，故选：．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.9．（5分）已知复数是虚数单位），下列说法正确的是　　A．在复平面内所对应的点位于第四象限 B．复数的虚部是 C．若为的共轭复数，则 D．【解答】解：复数是虚数单位），在复平面内所对应的点为，位于第四象限，故正确；复数的虚部为，故错误；的共轭复复数，则，故错误；，故正确．故选：．10．（5分）下列四个命题为真命题的是　　A．已知平面向量，若，，则 B．若，，则可作为平面向量的基底 C．若，，则在上的投影向量为 D．若，，，则【解答】解：对于，若，则，不一定共线，故错误，对于，，即，不共线，故，可作为平面向量的基底，故正确，对于，在上的投影向量为，，故正确，对于，由平面向量数量积可得，故正确，故选：．11．（5分）已知函数，则下列说法正确的是　　A．（1） B．的值域为 C．方程最多只有两个实数解 D．方程有5个实数解【解答】解：作出函数的图象如图，（1），（1），故正确；由图可知，的值域为，故正确；当时，方程有三个实数解，故错误；由，得或，解得或，由，得方程有三个根，由，得方程有两个根，方程有5个实数解，故正确．故选：．12．（5分）在正方体中，是的中点，是线段上的一点．下列说法正确的有　　A．平面中一定存在直线与平面平行 B．直线，可以与平面垂直 C．存在一点使得，为 D．直线与平面所成的角为，平面与平面所成的锐二面角为，则【解答】解：对于，平面与平面相交，根据线面平行判定定理可知：平面内与两平面交线平行的直线与平面平行，故正确；对于，如图，连接，，则，，则平面，，同理可证，又，平面，故错误；对于，，，存在点，使得，故正确；对于，如图，连接，过，与，交点分别为，，连接，，由题意得，则平面平面，则可得，，，，且，，，故正确．故选：．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分..13．（5分）已知数据，，，的方差为，数据，，，的方差为，则　9　．【解答】解：设数据，，，的均值为，则，，，的均值为，故且，故，故答案为：9．14．（5分）若命题“，”是假命题，则实数的取值范围是　　．【解答】解：命题“，”的否定为：“，”．由“，”是假命题，得“，”是真命题．△，即．实数的取值范围是．故答案为：．15．（5分）已知正实数，满足，则的最小值是 　　．【解答】解：因为，则，所以，当且仅当，即时等号成立．故答案为：．16．（5分）如图，在平面四边形中，，，为等腰直角三角形，且，则长的最大值为 　6　．【解答】解：设，则由余弦定理可得，故，，则，且，因为为等腰直角三角形，且，故，，在中，由余弦定理可得，整理得，设，则，故，整理得，故△，整理得到，即，即，当时，，即，此时，因为，故此时唯一存在，综上，长的最大值为6．故答案为：6．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.17．（10分）已知向量，．（1）当为何值时，；（2）若，求实数的值．【解答】解：（1）根据题意，向量，，若，则，解可得，（2）根据题意，若，则有，变形可得，即，解可得：．18．（12分）某县在创文明县城期间安排了“垃圾分类知识普及实践活动”．为了解市民的学习成果，该县从某社区随机抽取了160名市民作为样本进行测试，记录他们的成绩，测试卷满分为100分，将数据收集，并整理得到频率分布直方图，如图所示：（1）求的值；（2）估计此样本中的160名市民成绩的平均数和第75百分位数．【解答】解：（1）根据频率分布直方图可得：，解得：；（2）同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，则，设第75百分位数为，，则有，．19．（12分）如图，在棱长为2的正方体中，点，分别为棱和的中点．（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积．【解答】解：（1）证明：如图，连接，又点，分别为棱和的中点，，，且，，，且，四边形为平行四边形，，又平面，平面，平面；（2）．20．（12分）已知函数．（1）求函数的最小正周期及单调递增区间；（2）把的图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，已知关于的方程在上有两个不同的解，．①求实数的取值范围；②证明：．【解答】解：（1），所以函数的最小正周期；令，，解得，，；综上：的最小正周期；单调增区间为，；（2）①，又关于的方程在上有两个不同的解，，则，，且，，，所以，即，；证明：②由题可知，且，即，，所以．21．（12分）如图1，在中，，，，且，分别为，的中点，延长交于点．现将沿翻折至△，使得，如图2所示．（1）求证：；（2）点为线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值．【解答】证明：（1）在图1中，根据题意可得为等边三角形，为的中点，则，即在图2中，，，，平面，则；解：（2）根据图1可得，在，上取点，，使得，，连接，，，，，，平面，平面，平面，同理可得平面，，则平面平面，则直线与平面所成角即为直线与平面所成角，设为，由（1）可知，，即，，则平面，同理可证平面，则三棱锥的高为，，则平面，，则，，设三棱锥的高为，则，即，则，直线与平面所成角的正弦值，即直线与平面所成角的正弦值为．22．（12分）已知函数．（1）若（2），求的值；（2）若，求在，上的最小值（a）；（3）若方程有3个不相等的正实数根，，，且，证明：．【解答】解：（1）由（2）得：，即，所以，将两边平方可得：．解：（2）当时，，因为，在，上均为增函数，所以函数在，上均为增函数，任取，，且，则，所以，所以，所以函数在，上为增函数，同理可证函数在上为减函数，所以函数的增区间为，，，，减区间为，因为（1），（a），（1）（a），当时，（1）（a），则的最小值为（1）；当时，（1）（a），则的最小值为（1）；当时，（1）（a），则的最小值为（a）；综上所述，（a）．证明：（3）由可得：，方程有3个不相等的正实数根、、，且，当时，可得，则△，由求根公式可得，则，，所以；当时，可得，则△，由求根公式可得，由题意可得：，，且，解得：，所以，所以，下证：，只需证，只需证，即证，只需证，当时，不等式显然成立，因为，则，所以，因为，所以．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/7/2 16:30:29；用户：高中数学；邮箱：sdgs@xyh.com；学号：28144983