高中人教A版 (2019)4.1 指数第1课时导学案及答案

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第一课时 n次方根
地 位：
本小节内容选自《普通高中数学必修第一册》人教A版（2019）第四章《指数函数与对数函数》的《4.1 指数》，是学习和运用指数函数图象与性质的基础和保障.
学习目标：
11. 理解n次方根、n次根式的概念，达成数学抽象的核心素养.
2.能正确运用根式的性质化简求值，培养数学运算的核心素养.
学习重难点：
重点：根式的概念和n次根式的性质。
难点：n次根式的性质。
自主预习：
本节所处教材的第 页.
复习——
整数指数幂的概念及运算法则： ；
平方根与立方根： 。
预习——
n次方根：
根式的概念：
n次根式的性质：

新课导学
学习探究
（一）新知导入
1. 创设情境，生成问题
公元前五世纪，古希腊有一个数学学派名叫毕达哥拉斯学派，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数来表示，希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数eq \r(2)的诞生.
希帕索斯
【想一想】根据初中所学知识，思考一下边长为1的正方形的对角线长是如何计算出来的呢？
探索交流，解决问题
【问题1】 (1)若x2＝3，这样的x有几个？它们叫做3的什么？怎么表示？若呢？
(2)若，这样的x有几个？它们叫做3的什么？怎么表示？若呢？
（3）若，这样的x有几个？它们叫做3的什么？怎么表示？若呢？
（4）若，这样的x有几个？它们叫做3的什么？怎么表示？若呢？
（二）n次方根
1.a的n次方根的定义
一般地，如果——————，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.
2.a的n次方根的表示 求解a的n次方根时要注意对n的奇偶性讨论
【做一做】 1.10的平方根为________.
2.－243的5次方根为________.
3．（多选题）下列四个命题中正确的是（ ）
A．正数的偶次方根是一个正数 B．正数的奇次方根是一个正数
C．负数的偶次方根是一个负数 D．负数的奇次方根是一个负数
（三）根式
【想一想】根据n次方根的定义，当n为奇数时，是否对任意实数a都存在n次方根？n为偶数呢？
1.根式的概念
式子 叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数.
2.根式的性质 根式的性质是化简根式的重要依据
(1)负数没有 方根.
(2)0的任何次方根都是 ，记作 .
(3)(eq \r(n,a))n＝ (n∈N*，且n>1).
(4)eq \r(n,an)＝ (n为大于1的奇数).
(5)eq \r(n,an)＝|a|＝ (n为大于1的偶数).
【做一做】
化简eq \r(（x＋3）2)－eq \r(3,（x－3）3)得________.
（四）典例透析
1.利用根式的性质化简或求值
【例1】 化简：
(1) eq \r(3,－73)；
(2)eq \r(π－42)；
(3)(eq \r(a－1))2＋eq \r(（1－a）2)＋eq \r(3,（1－a）3).
【类题通法】
n为奇数时，(eq \r(n,a))n＝eq \r(n,an)＝a，a为任意实数均可；n为偶数时，a≥0，(eq \r(n,a))n才有意义，且(eq \r(n,a))n＝a；而a为任意实数eq \r(n,an)均有意义，且eq \r(n,an)＝|a|.
【巩固练习1】求下列各式的值：
(1)eq \r(3,－64)；
(2)eq \r(4,（3a－3）4)(a≤1)；
(3)eq \r(3,a3)＋eq \r(4,（1－a）4).
2.由根式的意义求范围
【例1】 若eq \r(a2－2a＋1)＝a－1，求实数a的取值范围.
【变式探究】（变条件）若将本例中的“eq \r(a2－2a＋1)＝a－1”改为“”呢？
【类题通法】对于eq \r(n,a)，当n为偶数时，要注意两点：(1)只有a≥0才有意义；(2)只要eq \r(n,a)有意义，eq \r(n,a)必不为负.
【巩固练习2】若eq \r(4,a－2)＋(a－3)0有意义，则实数a的取值范围是( )
A．a≥2 B．a≥2且a≠3
C．a≠2 D．a≠3
3.有限制条件的根式的化简
【例3】 设－3