2021-2022学年江苏省南京市江宁区高一（下）期末数学试卷（含答案解析）

2021-2022学年江苏省南京市江宁区高一（下）期末数学试卷

1. 的值为(    )

A. 1 B.  C. i D.

2. 数据0，1，2，3，4，5，6，7，8，9的60百分位数为(    )

A. 6 B.  C. 7 D.

3. 设为平面内一个基底，已知向量，，，若A，B，D三点共线，则k的值是(    )

A. 2 B. 1 C.  D.

4. 已知圆锥的表面积等于，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为(    )

A. 1cm B. 2cm C. 3cm D.

5. 设函数在区间内有零点，则k的值为(    )

A.  B. 0 C. 1 D. 2

6. 已知，则(    )

A.  B.  C.  D.

7. 《九章算术》把底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”，把底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”．现有如图所示的“堑堵”，其中，，当“阳马”即四棱锥体积为时，则“堑堵”即三棱柱的外接球的体积为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 在中，，，，P为线段AB上的动点，且，则的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

9. 下列有关复数的说法正确的是(    )

A. 若复数，则
B. 若，则z是纯虚数
C. 若z是复数，则一定有
D. 若，，则

10. 已知，是不同的平面，m，n是不同的直线，则使得成立的充分条件是(    )

A. ， B. ，，
C. ， D. ，，

11. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，下列说法正确的是(    )

A. 若有两解
B. 若，有两解
C. 若为锐角三角形，则b的取值范围是
D. 若为钝角三角形，则b的取值范围是

12. 已知点O为所在平面内一点，且，则下列选项正确的有(    )

A.
B. 直线AO过BC边的中点
C. ：：1
D. 若，则

13. ______.
14. 在正方体中，P为的中点，则直线PB与所成的角为______ .
15. 在平面直角坐标系xOy中，点、、，以线段AB，AC为邻边作平行四边形，两条对角线中较长的对角线长为______.
16. 我国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数学九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积，把以上文字写出公式，即其中S为三角形面积，a，b，c为三角形的三边在非直角中，a，b，c为内角A，B，C所对应的三边，若且，则面积的最大值是______，此时外接圆的半径为______.
17. 已知复数，，，若一复数的实部与虚部互为相反数，则称此复数为“理想复数”，已知为“理想复数”．
    求实数a；
    定义复数的一种运算“⊗”：，求
18. 社会的进步与发展，关键在于人才，引进高素质人才对社会的发展具有重大作用．某市进行人才引进，需要进行笔试和面试，一共有200名应聘者参加笔试，他们的笔试成绩都在内，将笔试成绩按照…，分组，得到如图所示频率分布直方图．
    求频率分布直方图中a的值；
    求全体应聘者笔试成绩的众数和平均数每组数据以区间中点值为代表；
    若计划面试150人，请估计参加面试的最低分数线．

19. 已知，为锐角，
    求的值；
    求的值．
20. 在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，，，且，
    求A角大小；
    为BC边上一点，，且______，求的面积．
    从①AD为的平分线，②D为BC的中点，这两个条件中任选一个补充在上面的横线并作答．如果都选，以选①计分．
21. 如图，三棱锥中，为等边三角形，且面面BCD，
    求证：；
    当AD与平面BCD所成角为时，求二面角的余弦值．

22. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，P，Q为边BC上两点，，
    求AQ的长；
    过线段AP中点E作一条直线l，分别交边AB，AC于M，N两点，设，，求的最小值.
    

答案和解析

1.【答案】B 

【解析】解：
故选：
利用复数的定义、运算法则直接求解．
本题考查复数的运算，考查复数的定义、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

2.【答案】D 

【解析】解：由题意可知，共有10个数字，则第60百分位数的位置为，即在第6位和第7位上的数字和的平均数
故选：
根据百分位数的定义，判断第60百分位数的位置，即可确定对应的数字．
本题考查百分位数的定义，属于基础题．
 

3.【答案】D 

【解析】解：，，，
，
，B，D三点共线，
，，
，，
故选：
利用平面向量的线性运算，三点共线的性质，列出方程组，求解即可．
本题考查平面向量的线性运算，三点共线的性质，属于中档题．
 

4.【答案】B 

【解析】

【分析】
设圆锥的底面圆的半径为r，母线长为l，利用侧面展开图是一个半圆，求得母线长与底面半径之间的关系，代入表面积公式求
本题考查圆锥的表面积公式及圆锥的侧面展开图，解题的关键是利用侧面展开图是一个半圆，求得母线长与底面半径之间的关系．
【解答】
解：设圆锥的底面圆的半径为r，母线长为l，
侧面展开图是一个半圆，
，
圆锥的表面积为，
，，
故圆锥的底面半径为
故选：  

5.【答案】C 

【解析】解：由，可得在R上单调递增，由，，可得在内存在零点，则
故选：
利用函数零点判定定理判断即可．
本题考查函数零点判定定理，属于基础题．
 

6.【答案】D 

【解析】解：，，
  则，
故选：
由题意，利用诱导公式求得的值，再利用二倍角的余弦公式，求得的值．
本题主要考查诱导公式、二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．
 

7.【答案】B 

【解析】解：由已知可得，平面，
则，
解得
此时“堑堵”即三棱柱的外接球的直径，
三棱柱的外接球的体积为
故选：
首先利用锥体的体积公式求出BC长度，进一步求出球的直径，再由球的体积公式得答案．
本题考查锥体的体积公式的应用，多面体外接球体积的求法，考查空间想象能力和思维能力，考查运算求解能力，是中档题．
 

8.【答案】C 

【解析】解：设，，根据题意得，解得，，，，
，，又、P、B三点共线，，
，当且仅当，
即时，等号成立．
故选：
设，，根据题意得，解此方程组，然后结合A、P、B三点共线可解决此题．
本题考查平面向量数量积性质及基本不等式应用，考查数学运算能力，属于难题．
 

9.【答案】AD 

【解析】解：对于A，设，，则，
若，则，，故A正确；
对于B，设时，，而z不是纯虚数，故B错误；
对于C，当时，则，，
，故C错误；
对于D，令，，
则，
，
，，
，
若，，则，故D正确．
故选：
由共轭复数的概念及复数相等，判断A；应用特殊值法，令及，判断BC；利用共轭复数的概念及复数乘法判断
本题考查复数的运算，考查复数的定义、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

10.【答案】BC 

【解析】解：若，，则m，n平行，相交，异面，错误，
若，，，根据线面平行的性质，则，正B确，
若，，根据线面垂直的性质，则，正确，
若，，，根据线面，面面平行的性质，则m，n平行，异面，错误．
故选：
利用空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系逐个判断即可得到答案．
本题考查空间中线线，线面平行与面面平行的判定与性质，属于中档题．
 

11.【答案】AC 

【解析】解：A选项，，有两解，故A正确；
B选项，，是锐角，是确定的，至多有一解，故B错误；
C选项，为锐角三角形，，所以，即，
，，，，故C正确；
D选项，事实上，当时，恰好有，；当时，必有，故D错误．
故选：
可根据三角形有几个解所要满足的条件判断：如：，有两解；或，有一解；，有0解，由此逐项判断．
本题考查了正弦定理的应用，属于中档题．
 

12.【答案】ACD 

【解析】解：对于A，，，
，故A正确；
对于B，若直线AO必过BC边的中点D，则与A矛盾，故B错误；
对于C，由奔驰定理得：，
：：：3：4，故C正确；
对于D，，，
，，
，故D正确．
故选：
利用向量加法公式、向量数量积公式直接求解．
本题考查命题真假的判断，考查向量加法公式、向量数量积公式等基础知识，考查运算求解能力等基础知识，是中档题，也是易错题．
 

13.【答案】 

【解析】解：
故答案为：
把变为，然后利用两角差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简可得的值．
此题考查学生灵活运用两角差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简求值，是一道基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解，是直线PB与所成的角或所成角的补角，
设正方体的棱长为2，
则，，，
，
，
直线PB与所成的角为，
故答案为：
由，得是直线PB与所成的角或所成角的补角，由此利用余弦定理，求出直线PB与所成的角．
本题考查异面直线所成角和余弦定理，考查运算求解能力，是基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：在平面直角坐标系xOy中，点、、，
，，
，，
，，
以线段AB，AC为邻边作平行四边形，两条对角线中较长的对角线长为
故答案为：
由向量坐标运算法则得到，，然后利用向量的加法和减法运算法则能求出以线段AB，AC为邻边作平行四边形，两条对角线中较长的对角线长．
本题考查向量的坐标运算法则、向量加法和减法运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

16.【答案】  3 

【解析】解：因为，
由正弦定理得，
所以，
即，
因为，
所以，
由正弦定理得，
由题意可得，
当时，三角形ABC的面积最大，此时，，，
解得，
设外接圆的半径为R，，可得，可得
故答案为：；
由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简，然后结合已知三角形的面积公式进行化简，结合二次函数的性质可求．
本题主要考查了余弦定理，正弦定理，和差角公式的应用，还考查了二次函数的性质，属于中档题．
 

17.【答案】解：复数，，，
，
是“理想复数”，，

由知，，则，
，
由，
得 

【解析】由复数运算法则得，再由是“理想复数”，得，由此能求出
由，运算复数的运算法则能求出
本题考查复数的运算，考查复数的定义、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

18.【答案】解：由频率分布直方图的性质得：
，
解得
应聘者笔试成绩的众数为：，
应聘者笔试成绩的平均数为：

由频率分布直方图可知：
中有：，
中有：，
中有：，
中有：，
设分数线定为x，则
，
解得
故分数线为 

【解析】由频率分布直方图的性质列出方程组，能求出
由频率分布直方图的性质能求出应聘者笔试成绩的众数、平均数．
由频率分布直方图分别求出中有30，中有40，中有60，中有40，设分数线定为x，列出方程能求出分数线．
本题考查频率、众数、平均数、分数线的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

19.【答案】解：，
，为锐角，则，而，则，
于是，
 

【解析】由题意，利用同角三角函数的基本关系式，二倍角的余弦公式，计算求得结果．
先求得的值，再利用两角差的正切公式求得的值，可得的值．
本题主要考查同角三角函数的基本关系式，二倍角公式的应用，两角差的正切公式的应用，属于基础题．
 

20.【答案】解：，，且，
，
，
，
在三角形ABC中，，
，故；
选①：因为AD为的平分线，所以，
又因为，所以，
即，则，
又由余弦定理可得，即，
所以，即，解得或舍去
所以；
选②：因为D为BC的中点，则，，则，
故有，即，
又由余弦定理可得，解得，
所以 

【解析】利用向量共线的坐标运算可求得，再利用正弦定理可求得，从而可求得角A的大小；
选①：利用，结合三角形面积公式可得，再由余弦定理求得bc，即可求出面积；
选②：利用中点以及，得到，再利用余弦定理求得bc，即可求出面积．
本题考查三角函数的恒等变换和三角形的余弦定理、面积公式的运用，考查方程思想和化简运算能力，属于中档题．
 

21.【答案】解：在三棱锥中，面面BCD，面面，又，面BCD，
面ABC，又面ABC，
；

取BC中点F，连接AF，Df，如图，
因，于是得平面BCD，是AD与平面BCD所成角，即，
令，则，因，即有，由知，则有，
过C作于O，在平面ABD内过O作交BD于点E，从而得是二面角的平面角，
中，，，
中，由余弦定理得
，，显然E是斜边中点，则，
中，由余弦定理得
二面角的余弦值为 

【解析】根据给定条件证得平面ABC，即可证得；
由AD与平面BCD所成角确定正三角形ABC边长与CD长的关系，再作二面角的平面角，借助余弦定理计算可得答案．
本题考查线线垂直的证明，面面角的求法，属中档题．
 

22.【答案】解：在与中分别有正弦定理可得：和，
两式相除可得：，
又因为，所以可得，
因为，，
所以或，
因为，所以，，
又，在中，由余弦定理可得，可得，
在和中由余弦定理可得：
，即，
可得，
所以；
因为，所以，得，
得，
所以，
同理：设，，得，
因为E为AP中点，所以，
所以可得：，
可得：，
，
当且仅当：时取等号，即，，
所以的最小值 

【解析】在与中，由正弦定理及题意可得的值，再在中，由余弦定理可得b的值，再在和中，由余弦定理可得AQ的值；
因为，可得与的关系，设，，再由已知向量的关系x，y的关系，再由均值不等式可得的最小值．
本题考查三角形的正余弦定理的应用，及向量的运算性质和均值不等式的应用，属于中档题．