第八讲  圆的有关性质（二）

【教学目标】

1、  掌握垂径定理及其推论。

2、  理解掌握垂径定理的应用。

3、  掌握弧、弦、圆心角、圆周角的综合应用。

【教学重点】

 1、垂径定理及其推论。

 2、弧、弦、圆心角、圆周角的综合应用。

【教学难点】

弧、弦、圆心角、圆周角的综合应用。

【知识梳理】

1、 垂径定理：

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

推论一：平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧

　  推论二：弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧

　  推论三：平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧

　  推论四：在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等

注意点：1、垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：（1）过圆心；（2）垂直于弦；（3）平分弦；（4）平分弦所对的优弧；（5）平分弦所对的劣弧五个条件中的两个，那么可推出其中三个，注意解题过程中的灵活运用；

2、圆中常作的辅助线是过圆心作弦的垂线；3、垂径定理常用作计算，在半径r、弦a、弦心d、和拱高h中已知两个可求另外两个。

【例题1】1.下列说法正确的是（　　）

A．平分弦的直径垂直于弦   B．垂直于弦的直线必过圆心 

C．垂直于弦的直径平分弦   D．平分弦的直径平分弦所对的弧

【变式训练】1、下列说法正确的是(  )

   A.垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧  B.平分弦的直径垂直于弦

  C.垂直于直径的弦平分这条直径   D.弦的垂直平分线经过圆心

2、下列语句中，不正确的是（　　）

A．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形 

B．在平面内，到圆心的距离等于半径的点都在圆上 

C．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 

D．垂直于弦的直径也必平分弦

【例题2】1、如图，⊙O的直径AB＝10cm，CD⊥AB，OE＝3cm，则CD的长（　　）cm．

A．4 B．6 C．8 D．10

【变式训练2】（1）如图，已知⊙O的直径CD垂直于弦AB，垂足为点E，∠ACD=22.5°，若CD=6 cm，则AB的长为(  )

  A.4 cm  B.3 cm  C.2 cm  D.2 cm

（2）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC=5 cm，CD=6 cm，则BE=________.

【例题3】（2014•凉山州）已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB=8cm，且AB⊥CD，垂足为M，则AC的长为（　　）

 【变式训练3】1、圆内一弦与直径相交成30°，且分直径为2cm和10cm两部分，则该弦长为　　　　　　cm．

2、圆的半径为6cm，圆内有一点P，OP的长为3.6cm，则经过P点最长的弦长为　   　，最短的弦长为　　　　　

3 、在半径为10的⊙O中，弦AB＝12，弦CD＝16，且AB∥CD，则弦AB、CD的距离为（　　）

A．14 B．2 C．8或6 D．14或2

【例题4】(黄冈中考)如图，M是CD的中点，EM⊥CD，若CD=4，EM=8，则弧CED所在圆的半径为________.[来源:Z&xx&k.Com]

【变式训练】1、如图所示，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，⊙P与x轴交于O、A两点，点B是OA的中点，点B的坐标为（3，0），⊙P的半径为，则点P的坐标为　　　　　　．

2、（难）如图，在圆⊙O内有折线OABC，其中OA＝8，AB＝12，∠A＝∠B＝60°，则⊙O的半径为（　　）

A．12 B．10 C．2 D．4

【例题5】（佛山）如图，⊙O的直径为10cm，弦AB=8cm，P是弦AB上的一个动点，求OP的长度范围．

【变式训练】（盘锦三模）如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为E，，

（1）求AB的长；

（2）求⊙O的半径．

2、垂径定理及其应用

【例题6】(兰州中考)如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，若水面AB宽为8 cm，水的最大深度为2 cm，则该输水管的半径为(  )

  A.3 cm  B.4 cm  C.5 cm  D.6 cm

【变式训练6】1、一根横截面为圆形的下水管道的直径为1米，管内有少量的污水（如图），此时的水面宽AB为0.6米．

（1）求此时的水深（即阴影部分的弓形高）；

（2）当水位上升到水面宽为0.8米时，求水面上升的高度．

2、在直径为200cm的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图，若油面的宽AB=160cm，则油的最大深度为（　　）

【例题7】如图是某风景区的一个圆拱形门，路面AB宽为2米，净高5米，求圆拱形门所在圆的半径是多少米？[来]

【变式训练7】(茂名中考)如图，小丽荡秋千，秋千链子的长OA为2.5米，秋千向两边摆动的角度相同，摆动的水平距离AB为3米，则秋千摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差(即CD)为________米.

3、弧、弦、圆心角、圆周角，垂径定理的综合应用

【例题8】如图，在⊙O中，若圆心角∠AOB=100°，C是上一点，则∠ACB等于(    )．

A．80° B．100      C．130° D．140°

【变式训练8】如图，∠AOB=100°，点C在圆0上，且点C不与A、B重合，则∠ACB的度数为（     ）

A．　　  B．或    　　C．　　   D． 或

【例题9】如图，AB为⊙O的弦，⊙O的半径为5，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD＝l，则弦AB的长是             ．

【变式训练】如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB＝30°，⊙O的半径为cm，则弦CD的长为(    )．

A．cm          B．3cm         C．cm       D．9cm

【例题10】如图，⊙O的直径AB长为6，弦AC长为2，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求四边形ADBC的面积.

【变式训练】如图所示，AB是⊙O的直径，C为弧AE的中点，CD⊥AB于D，交AE于F，连接AC，求证：AF＝CF．

【例题11】已知如图所示，OA、OB、OC是⊙O的三条半径，弧AC和弧BC相等，M、N分别是OA、OB的中点。求证：MC=NC

【变式训练】如图所示，△ABC为圆内接三角形，AB＞AC，∠A的平分线AD交圆于D，作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：BE=CF

【例题12】如图，在⊙O中，，OB，OC分别交AC，BD于E、F，求证：

【课堂练习】

1.(潍坊中考)如图，⊙O的直径AB=12，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为P，且BP∶AP=1∶5，则CD的长为(  )

   A.4  B.8  C.2  D.4

2.如图，已知⊙O的半径为4，OC垂直弦AB于点C，∠AOB=120°，则弦AB的长为________

3.如图，在⊙O中，AB、AC是互相垂直的两条弦，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，且AB=8 cm，AC=6 cm，那么⊙O的半径OA长为________

4.如图，以点P为圆心的圆弧与x轴交于A，B两点，点P的坐标为(4，2)，点A的坐标为(2，0)，则点B的坐标为________

5.如图，AB是⊙O的弦，AB长为8，P是⊙O上一个动点(不与A，B重合)，过点O作OC⊥AP于点C，OD⊥PB于点D，则CD的长为________

6.如图，AB是⊙O的直径，C、D、E都是⊙O上的点，则∠1+∠2=___________

7.如图，△ABC内接于⊙O，∠C＝45°，AB＝4，则⊙O的半径为（    ）．

A．      B．4       C．      D．5

8.(邵阳中考)如图所示，某窗户是由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度AB＝3 m，弓形的高EF＝1 m，现计划安装玻璃，请帮工程师求出弧AB所在圆O的半径r.

9.(湖州中考)已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C,D(如图所示).

(1)求证：AC=BD;[来源:学+科+网]

(2)若大圆的半径R=10,小圆的半径r=8,且圆心O到直线AB的距离为6，求AC的长.

10．如图，在⊙O 中，直径AB⊥弦CD于E，CD＝2，AE＝5．

（1）求⊙O半径r的值；

（2）点F在直径AB上，连接CF，当∠FCD＝∠DOB时，求AF的长．

11．已知，如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，AE＝1，BE＝5，∠AEC＝30°，求CD的长．

【课后练习】

1、如图，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，那么弦AB的长是（    ）

A．4       B．6        C．7        D．8

2、如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的一个动点，则线段OM长的最小值为（　　）

A．2      B．3      C．4      D．5

3、过⊙O内一点M的最长弦为10cm，最短弦长为8cm，则OM的长为（  ）

A．9cm       B．6cm       C．3cm      D．

4、如图，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子OA、OB在O点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O点靠在圆周上，读得刻度OE=8个单位，OF=6个单位，则圆的直径为（  ）

A．12个单位     B．10个单位          C．1个单位      D．15个单位

5、如图，的直径垂直弦于，且是半径的中点，，则直径的长是（　　）

A．       B．     C．      D．

6、下列命题中，正确的是（     ）

A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径 

B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦

C．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心 

D．在一个圆内平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心

7、如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为(     )

A．5米      B．8米      C．7米     D．5米

8、有4个命题，①直径相等的两个圆是等圆；②长度相等的两条弧是等弧；③圆中最长的弦是通过圆心的弦；④一条弦把圆分为两条弧，这两条弧不可能是等弧。其中真命题是(    )

A．①③ 　　　B．①③④ 　　　C．①④ 　　　D．①

9、在半径为5cm的圆中，弦AB∥CD，AB=6cm，CD=8cm，则AB和CD的距离是(     )
A．7cm 　　　B．1cm 　　　C．5cm　　　 D．7cm或1cm

10、 如图，EF是⊙O直径，OE=5cm，弦AB=8cm，EF两点到MN的距离之和等于(     )

A．12cm 　　　B．6cm 　　　C．8cm 　　　D．3cm

11、如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，∠BAC的平分线交BC于D，交⊙O于E，且AC＝6，AB＝8，求CE的长．

12、如图，AB为⊙O的直径，从圆上一点C作弦CD⊥AB，∠OCD的平分线交⊙O于点P，求证：＝．

13、如图所示，BC是⊙O的直径，AD⊥BC，垂足为D，AB＝AF，BF和AD相交于E；求证：BE＝AE．

14、已知：如图，是⊙O的直径，是⊙O上一点，CD⊥AB，垂足为点，是弧的中点，与相交于点，8 cm，cm.求的长；

15、已知⊙O中，＝．

（1）如图1，求证：CO⊥AE；

（2）如图2，CD⊥直径AB于D，若BD＝1，AE＝4，求⊙O的半径．