第17讲 三角恒等变换-【暑假自学课】2022年新高一数学暑假精品课（人教版2019必修第一册）

第17讲 三角恒等变换

       【学习目标】

1. 经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义

2.能从两角差的余弦公式推导两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系

3.能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆）

        【基础知识】

一、两角和与差的三角函数公式

1.两角和与差的余弦公式

2.两角和与差的正弦公式

3.两角和与差的正切公式

4.两角和与差的正切公式的变形

tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)；

tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ)；

二、二倍角的三角函数

1. 二倍角的正弦、余弦、正切公式

2.二倍角公式的变形形式

(1)(sinα±cosα)2＝1±sin2α；

(2)cos2α＝；

(3)sin2α＝.

3．用正切来表示正弦、余弦的倍角公式，也叫“万能公式”，公式如下：

(1)sin2α＝2sinαcosα＝＝，即sin2α＝.

(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝＝，即cos2α＝.

4.半角公式

三、积化和差与和差化积公式

1.积化和差公式

sinαcosβ＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]．

cosαsinβ＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]．

cosαcosβ＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]．

sinαsinβ＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]．

2.和差化积公式

sinα＋sinβ＝2sincos.

sinα－sinβ＝2cossin.

cosα＋cosβ＝2coscos.

cosα－cosβ＝－2sinsin.

四、辅助角公式

辅助角公式：asinx＋bcosx＝sin(x＋φ).

其中角φ所在象限由a，b的符号确定，角φ的值由tanφ＝确定或由sinφ＝和cosφ＝共同确定．

【考点剖析】

考点一：给角求值

例1．（2021-2022学年四川省成都市蓉城名校联盟学高一下学期期中）（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】因为sin(59°+61°)=sin(120°)=sin(180°-60°)=sin60°=.故选D.

考点二：给值求值

例2．（2021-2022学年山东省名校（历城二中、章丘四中等校）高一下学期5月联考）若，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为

＝＝

＝. 故选B.

考点三：给值求角

例3．（2021-2022学年江苏省苏州高新区第一中学高一下学期期中）设，且，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】因为，所以，且，所以，则，故选A．

考点四：辅助角公式的应用

例4．（2021-2022学年陕西省安康中学高一上学期期末）当时，函数取得最大值，则_______________．

【答案】

【解析】当时，取得最大值（其中），

∴，即，

∴．

考点五：两角和与差正切公式变形的应用

例5. （2021-2022学年江苏省南通市如皋市高一下学期教学质量调研）已知，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为，故，

故，同理，

故，故B成立.

而

故，故A错误.

而，故

因，故，所以，

又若，则， 解得，

因为，

，故无解，故D错误.

若，则，则，

这与矛盾，故D错误.故选B.

考点六：平方相加求值

例6．（2021-2022学年浙江省“新高考名校联盟”高一下学期5月）已知，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由得，

由得，

两式相加得，得.故选A

考点七：三角函数式的化简

例7．（2021-2022学年江西省名校高一下学期期中调研）化简______

【答案】

【解析】因为所以

考点八：三角函数式的证明

例8．（2021-2022学年江西省名校高一下学期期中调研）（1）证明：

（2）求值：

【解析】（1）证明：因为左边

右边，所以原命题成立.

（2）因为，

所以，

所以

        【真题演练】

1．(2020年高考数学课标Ⅱ卷)若α为第四象限角，则 (　　)

A．cos2α>0 B．cos2α<0 C．sin2α>0 D．sin2α<0

【答案】D

【解析】当时，，选项B错误；当时，，选项A错误；由在第四象限可得：，则，选项C错误，选项D正确；故选D．

2．(2020年高考数学课标Ⅰ卷)已知，且，则 (　　)

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】，得，即，解得或（舍去），又．故选A．

3．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知2tanθ–tan(θ+)=7，则tanθ= (　　)

A．–2 B．–1 C．1 D．2

【答案】D

【解析】，，令，则，整理得，解得，即．故选D．

4.(2021年高考全国甲卷)若，则 (　　)

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】，，

，，，解得，

，．故选A．

5.（多选）（2020-2021学年辽宁省大连市第二十四中学高一下学期期中）已知，，则恒等于（       ）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【解析】由可得，即，又，

，整理得，则，B，C正确；A，D错误.故选BC.

6.（多选）（2021-2022学年江西省临川一中高一下学期月考）下列选项化简值为1的有（       ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【解析】对于A，，故A正确；

对于B，，故B 正确；

对于C，，故C不正确；

对于D，，故D正确.故选ABD.

7.（2021-2022学年山东省烟台市高一下学期期中）若，则______．

【答案】

【解析】

．

8.（2020-2021学年辽宁省大连市第二十四中学高一下学期期中）化简下列各式：

(1)；

(2)．

【解析】 (1)

；

(2)

.

       【过关检测】

1. （2021-2022学年湖北省荆州市沙市中学高一下学期期中）化简：（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

故选A

2.（2021-2022学年甘肃省天水市第一中学高一下学期段考）已知，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】因为，

所以，即，

因为，所以、，即，

又，解得或（舍去）；故选A

3.（2021-2022学年贵州省黔东南州高一下学期期中）设，，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据正余弦和正切的二倍角公式有，，，.因为，，，故，故选B

4.（2021-2022学年辽宁省辽南协作体高一下学期期中）若，，且，，则的值是（       ）

A． B． C．或 D．或

【答案】B

【解析】，又∵，∴.

又∵，∴，

于是

，易得，则.

故选B.

5.（多选）（2021-2022学年江苏省徐州市睢宁县高一下学期期中）已知，以下选项正确的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】BCD

【解析】根据题意，，两边平方，得，所以，，故A错误；

又因为，所以，，故B正确；

，故C正确；

，故D正确；

故选BCD

6.（多选）（2021—2022学年江西省南昌市第二中学高一下学期第一次月考） 下列等式中，正确的是（       ）

A．

B．

C．

D．

【答案】ACD

【解析】对于A，，故A正确；

对于B，，故B不正确；

对于C，

，所以，故C正确；

对于D，，

，

所以，故D正确.故选ACD.

7.（2021-2022学年云南省临沧市云县高一下学期期中）已知，均为锐角，且，，则cos＝___．

【答案】

【解析】因为均为锐角，则，又，即，，

于是得，，又，

所以．

8.（2021-2022学年四川省内江市第六中学高一下学期期中）在△ABC中，，则的取值范围是______．

【答案】

【解析】因为，

所以，

所以，

所以，

因为，所以，

所以，

因为，所以，

所以，

所以

，

因为，所以，

所以

所以，

所以的取值范围为

9.（2021-2022学年四川省广安市广安第三中学校高一下学期第一次考）（1）化简

（2）已知，求的值.

【解析】（1），

故，

又，

故

（2），解得或

则或

10.（2021-2022学年辽宁省重点高中沈阳市郊联体高一下学期期中）小萌在一次研究性学习中发现，以下5个式子都成立．

①；

②；

③；

④；

⑤．

她觉着好像有某种规律，你能帮她总结出这个规律么？并证明这个结论；并利用这一结论计算的值．

【解析】猜想规律：.

证明：

=.

=

=.