高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第一章 集合与常用逻辑用语1.4 充分条件与必要条件导学案

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 《1.4.2   充要条件》  导学案

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本节内容选自《普通高中数学必修第一册》人教A版（2019）

第一章 集合与常用逻辑用语

1.4充分条件与必要条件

学习目标：

1．通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系,培养数学抽象的核心素养。

2．会对某些命题的充要条件进行证明，培养逻辑推理的核心素养。

学习重难点：

重点：理解充要条件的含义；

难点：会证明充要条件的关系

自主预习：

1. 本节所处教材的第     页.

2. 复习——①充分条件：                     

②必要条件：                     

3. 预习——充要条件：                       

新课导学 

学习探究

（一）新知导入

1. 创设情境，生成问题

古文中的逻辑——     我国战国时期墨子所著《墨经》对充分条件、必要条件的描述：

充分条件：“有之则必然，无之则未必不然”

必要条件：“无之则必不然，有之则未必然 ”

物理中的逻辑——

【思考】  在①、②两个电路中， A、C的开闭与灯泡B亮起来，会形成什么逻辑条件呢？

【思考】  你能举生活中存在“充分条件或必要条件”的逻辑语句或事例吗？

2. 探索交流，解决问题

【问题1】 已知p:整数a是6的倍数,q:整数a是2和3的倍数.

请判断:p是q的充分条件吗?p是q的必要条件吗?

【思考1】通过判断,你发现了什么?这种关系是否对任意一个“若p,则q”的命题只要具备上述命题的条件都成立?你能用数学语言概括出来吗?

（二）充要条件

如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作________．

此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的________________，简称为充要条件(sufficient and necessary condition)．显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的_____________．

概括地说，如果________，那么p与q互为充要条件．

【思考2】

（1）如果p是q的充要条件，那么p与q是两个相互等价的命题，这种说法对吗？

（2）“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？

（3）p是q的条件判断还有什么情况？

【辩一辩】  判断正误

(1)q是p的必要条件时，p是q的充分条件． (　　)

(2)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题． (　　)

(3)q不是p的必要条件时，“p q”成立． (　　)

【做一做】（1）已知a，b是实数，则“a>0且b>0”是“a＋b>0，且ab>0”的________条件．

（2）“x<2”是“<0”的(　　)

A．充要条件    B．必要不充分条件

C．充分不必要条件    D．既不充分又不必要条件

（三）充要条件的判断

例1.指出下列各组命题中，p是q的什么条件(充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分又不必要条件)．

(1)p：ab＝0，q：a2＋b2＝0；

(2)p：xy≥0，q：|x|＋|y|＝|x＋y|；

(3)p：m＞0，q：方程x2－x－m＝0有实根；

(4)p：|x－1|＞2，q：x＜－1.

【思维引导】  分两个步骤进行判断:①判断充分性p⇒q;②判断必要性q⇒p.

【巩固练习1】指出下列各组命题中，p是q的什么条件(充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分又不必要条件)．

(1)p：数a能被6整除，q：数a能被3整除；

(2)p：x>1，q：x2>1；

(3)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形；

(4)p：|ab|＝ab，q：ab>0.

（四）充要条件的探求与证明

例2.已知ab≠0，求证：a＋b＝1是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0的充要条件．

[思维引导]　从充分性、必要性两方面证明．

【巩固练习2】已知x，y都是非零实数，且x>y，求证：<的充要条件是xy>0.

例3.求关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件．

[思维引导]　至少有一个负根可能是一个负根也可能是两个负根，需要分类讨论．

【巩固练习3】 (1)“x2－4x<0”的一个充分不必要条件为(　　)

A．0<x<4       B．0<x<2     C．x>0         D．x<4

（2）已知方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0，求使方程有两个大于1的实数根的充要条件．

操作演练  素养提升 （时量：  5分钟  满分： 15 分） 计分:       

1．设x∈R，则“1<x<2”是“1<x<3”的(　　)

A．必要不充分条件　　 　B．充分不必要条件

C．充要条件   D．既不充分又不必要条件

2．“x为无理数”是“x2为无理数”的(　　)

A．充分不必要条件   B．必要不充分条件

C．充要条件   D．既不充分又不必要条件

3．已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的(　　)

A．充分不必要条件   B．必要不充分条件

C．充要条件   D．既不充分又不必要条件

4.已知a，b为实数，则“a＋b>4”是“a，b中至少有一个大于2”的(　　)

A．充分不必要条件   B．必要不充分条件

C．充要条件   D．既不充分又不必要条件

课堂小结

1. 通过这节课，你学到了什么知识？

2.  在解决问题时，用到了哪些数学思想

学习评价

【自我评价】 你完成本节导学案的情况为（  ）

A.很好          B.较好          C.一般           D.较差

【导学案评价】 本节导学案难度如何（  ）

A.很好          B.较好          C.一般           D.较差

【建议】 你对本节导学案的建议：                                  

课后作业

完成教材：第22页  练习1,2,3

第22页  习题1.4   第1,2,3,4,5题