2021学年3.2 函数的基本性质第1课时导学案

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 《3.2.1单调性与最大（小）值》

第1课时  函数的单调性  导学案

地 位：

本节内容选自《普通高中数学必修第一册》人教A版（2019）

第三章 函数的概念与性质

3.2  函数的基本性质

学习目标：

1.了解函数的单调区间、单调性等概念，培养学生数学抽象的核心素养；

2.会划分函数的单调区间，会利用图象判断函数的单调性，提升直观想象的核心素养；

3.会用定义证明函数的单调性，培养逻辑推理的核心素养。

学习重难点：

重点：1、函数单调性的定义；

2、函数单调性的判断和证明。

难点：根据定义证明函数单调性．

自主预习：

1. 本节所处教材的第     页.
2. 复习——

①函数的概念：                                     

②函数的表示：                                     

3. 预习——

      增函数：                                           

减函数：                                           

单调区间：                                                    

新课导学 

学习探究

（一）新知导入

1. 创设情境，生成问题

德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的记忆牢固程度进行了有关研究.他经过测试，得到了以下一些数据：

以上数据表明，记忆量y是时间间隔t的函数.艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”，如图.

【探究1】　(1)当时间间隔t逐渐增大，你能看出对应的函数值y有什么变化趋势？通过这个试验，你打算以后如何对待刚学过的知识？

(2)“艾宾浩斯遗忘曲线”从左至右是逐渐下降的，对此，我们如何用数学观点进行解释？

2. 探索交流，解决问题

【探究2】 作出函数   的图象，指出函数的变化趋势.

【思考1】 这种变化趋势反映了函数的什么性质？

（二）函数的单调性

1.增函数与减函数的定义

一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间           ：

(1)如果      ，当      时，都有       ，那么就称函数f(x)在区间D上       ，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们称它是        ．

(2)如果       ，当       时，都有         ，那么就称函数f(x)在区间D上       ，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们称它是       ．

注意：定义中的x1，x2有以下3个特征

(1)任意性，即“任意取x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；

(2)有大小，通常规定x1<x2；

(3)属于同一个单调区间．

2.函数的单调区间

如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)      ，区间D叫做y＝f(x)的        ．

注意：

（1）单调区间D⊆定义域I.

（2） 函数f(x)在定义域的某个区间D上单调，不一定在定义域上单调．如f(x)＝x2等.

（3） 函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，它是函数的一个局部性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开．

（4）并非所有的函数都具有单调性，如f(x)＝，它的定义域是N，但不具有单调性．

（5）当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示.

【辩一辩】 1．若f(x)在区间[a，b]和(b，c]上都是增函数，则f(x)在区间[a，c]上是增函数．(　　)

2．函数f(x)为R上的减函数，则f(－3)>f(3)．(　　)

3．若函数y＝f(x)在定义域上有f(1)<f(2)，则函数y＝f(x)是增函数．(　　)

4．若函数y＝f(x)在区间D上是增函数，则函数y＝－f(x)在区间D上是减函数．(　)

【做一做】如图是定义在[-5,5]上的函数图象，

根据图象得到函数的单调递增区间是：            ；单调递减区间是：                。

【探究3】  一次函数、二次函数及反比例函数具有怎样的单调性？

（三）利用函数图象求函数的单调区间

例1.  作出函数y＝－x2＋2|x|＋3的图象并指出它的单调区间．

【变式】 将本例函数改为f(x)＝|x2＋2x－3|，求f(x)的单调区间．

【类题通法】 求函数单调区间可以根据函数的图象．

在某区间内，由左至右图象是上升的，该区间就是函数的单调增区间；

在某区间内，由左到右图象是下降的，该区间就是函数的单调减区间．

(1)函数单调区间的两种求法

①图象法．即先画出图象，根据图象求单调区间．

②定义法．即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解．

(2)函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；在单调区间D上函数要么是增函数，要么是减函数，不能二者兼有．

【巩固练习1】已知x∈R,函数f(x)=x|x-2|,试画出y=f(x)的图象,并结合图象写出函数的单调区间.

（四）利用定义判断或证明单调性

例2.根据定义证明f＝x＋在(0,1)上是单调递减．

【类题通法】定义法判断函数单调性的四个步骤

【巩固练习2】根据定义，研究函数f(x)＝在x∈(－1,1)上的单调性．

（五）利用单调性求参数

例3.已知函数f(x)＝ax2－x＋1在(－∞，2)上单调递减，求a的取值范围．

【延伸】本例条件改为“函数f(x)＝ax2－x＋1的单调递减区间是(－∞，2)”，又该如何求解？

【类题通法】根据函数的单调性求参数取值范围的方法

(1)利用单调性定义：设单调区间内x1＜x2，由f(x1)－f(x2)＜0(或f(x1)－f(x2)＞0)恒成立求参数范围．

(2)利用具体函数本身所具有的特征：如二次函数单调区间被对称轴一分为二，根据对称轴相对于所给单调区间的位置求参数．

需注意：若一函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．

【巩固练习3】若函数f(x)＝在R上为增函数，

则实数b的取值范围是________．

操作演练  素养提升 （时量：  5分钟  满分： 15 分） 计分:       

1.函数f(x)＝x－在(0，＋∞)上(　　)

A．递增  B．递减

C．先增再减  D．先减再增

2.设f(x)＝(2a－1)x＋b在R上是减函数，则有(　　)

A．a≥　　　　　　 B．a≤

C．a>－  D．a<

3．函数f(x)＝2x2－mx＋3，当x∈[－2，＋∞)时，f(x)为增函数，当x∈(－∞，－2]时，函数f(x)为减函数，则m等于(　　)

A．－4  B．－8

C．8  D．无法确定

4.函数f(x)＝|x－1|的单调递增区间是________，单调递减区间是________．

课堂小结

1. 通过这节课，你学到了什么知识？

2.  在解决问题时，用到了哪些数学思想？

学习评价

【自我评价】 你完成本节导学案的情况为（  ）

A.很好          B.较好          C.一般           D.较差

【导学案评价】 本节导学案难度如何（  ）

A.很好          B.较好          C.一般           D.较差

【建议】 你对本节导学案的建议：                                  

课后作业

完成教材：第79页  练习     第2，3，4题

          第85 页   习题3.2  第1,2,3，8题